2017-2018学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2017-2018学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷一填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分把答案填在答卷纸相应位置上1（3分）不等式（x+3）（x2）0的解集为 2（3分）已知等差数列an的公差为3，且a22，则a6 3（3分）在ABC中，若A60，B45，BC1，则AC 4（3分）已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为 5（3分）已知数列an的通项公式为，则它的前10项的和为 6（3分）若不等式x2+ax+b0的解集为x|3x4，则a+b的值为 7（3分）设等比数列an满足a1+a310，a2+a45，则a1a2an的最大值为

2、 8（3分）已知p0，q0，且pq，记A（1+p）（1+q），B（1+）2，C2+pq，则A、B、C的大小关系为 （用“”连接）9（3分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，b2acosB，c2，则ABC的面积等于 10（3分）已知a，bR+，且a+b1，则的最小值为 11（3分）函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是 12（3分）已知x0，且xy1，则的最大值是 13（3分）已知数列an中，a11，a23，若an+2+2an+1+an0对任意nN*都成立，则数列an的前n项和Sn 14（3分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a2b2+3abc

3、osC0，则c（+）的最小值为 二解答题：本大题共6小题，共计58分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（8分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a2b2+c2+bc，ab（1）求sinA的值；（2）求cosC的值16（8分）解下列关于x的不等式：（1）；（2）（|x|2）（x+3）017（8分）记数列an的前n项和为Sn，且Sn3n1（1）求数列an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和Tn18（10分）如图，在海岸A处，发现南偏东45方向距A为（22）海里的B处有一艘走私船，在A处正北方向，距A为2海里的C处的缉私船立即奉命以10海里/时

4、的速度追截走私船（1）刚发现走私船时，求两船的距离；（2）若走私船正以10海里/时的速度从B处向南偏东75方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间（精确到分钟，参考数据：1.4，2.5）19（12分）设关于x的不等式（axa29）（xb）0的解集为A，其中a，bR（1）当b6时，若A（，+），求a的值；记Ldc为闭区间c，d的长度当a0时，求区间A的长度L的最小值；（2）当b2a8，且a9时，求A20（12分）设数列an满足a1，（1）证明：数列为等比数列，并求数列an的通项公式；（2）设cn（3n+1）an，证明：数列cn中任意三项不可能构成等差数列2017-2018

5、学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分把答案填在答卷纸相应位置上1（3分）不等式（x+3）（x2）0的解集为（3，2）【分析】求出不等式对应方程的两个实数根，即可写出不等式的解集【解答】解：不等式（x+3）（x2）0，令（x+3）（x2）0，解得方程的实数根为3和2，所以不等式的解集为（3，2）故答案为：（3，2）【点评】本题考查了解一元二次不等式的应用问题，是基础题2（3分）已知等差数列an的公差为3，且a22，则a610【分析】由已知条件求解得到a1的值，然后利用等差数列的通项公式化简代值即可得答案【解答】解：在等差

6、数列an中，公差为3，且a22，a1+d2，即a15则a6a1+5d5+5310故答案为：10【点评】本题考查了等差数列的通项公式，是基础题3（3分）在ABC中，若A60，B45，BC1，则AC【分析】由正弦定理得，由此能求出AC【解答】解：ABC中，A60，B45，BC1，AC故答案为：【点评】本题考查三角形的线段长的求法，考查正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4（3分）已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为3【分析】设出等差数列的首项为a，公差为d，根据等差数列的通项公式分别表示出第2，3，6项，根据等比数列的性质

7、列出关于a与d的等式，由d不为0得到d与a的关系式，用a表示出d，代入表示出的第2，3，6项，此三项可以用a表示，然后根据等比数列的性质可用第3项除以第2项即可求出公比q的值【解答】解：设等差数列的首项为a，公差为d（d不为0），则等差数列的第2，3，6项分别为a+d，a+2d，a+5d，则（a+2d）2（a+d）（a+5d），即d2+2ad0，d0，在等式两边同时除以d得：d2a，等差数列的第2，3，6项分别为：a，3a，9a，公比q3故答案为：3【点评】此题考查了等差数列的通项公式，等比数列的性质熟练掌握等差、等比数列的性质是解本题的关键5（3分）已知数列an的通项公式为，则它的前10项的

8、和为【分析】由（），根据裂项求和即可求出【解答】解：（），故它的前10项的和为（1+）（1），故答案为：【点评】本题考查了裂项求和，考查了转化能力，属于基础题6（3分）若不等式x2+ax+b0的解集为x|3x4，则a+b的值为13【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求得a、b的值，再求和【解答】解：不等式x2+ax+b0的解集为x|3x4，则3和4是x2+ax+b0的实数根，由根与系数的关系知，解得a1，b12，a+b13故答案为：13【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题7（3分）设等比数列an满足a1+a310，a2+a45，则a1a2

9、an的最大值为64【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2an，然后求解最值【解答】解：等比数列an满足a1+a310，a2+a45，可得q（a1+a3）5，解得qa1+q2a110，解得a18则a1a2ana1nq1+2+3+（n1）8n，当n3或4时，表达式取得最大值：2664故答案为：64【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力8（3分）已知p0，q0，且pq，记A（1+p）（1+q），B（1+）2，C2+pq，则A、B、C的大小关系为CAB（用“”连接）【分析】作差即可得出大小关系【解答】解：p0，q0，且pq，AC1+p+q+pq（2+pq）+

10、q0AC又BA1+p+q+（1+p+q+pq）0，BA综上可得：CAB故答案为：CAB【点评】本题考查了通过作差比较两个数的大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9（3分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，b2acosB，c2，则ABC的面积等于【分析】由正弦定理可得B，进而确定三角形为边长为2的等边三角形，即可得到所求面积【解答】解：A，b2acosB，c2，由正弦定理可得sinB2sinAcosB，可得tanB2sin，即有B，即ABC为边长为2的等边三角形，可得ABC的面积为4，故答案为：【点评】本题考查三角形的正弦定理和面积公式，考查方程思想和运算能力，属

11、于基础题10（3分）已知a，bR+，且a+b1，则的最小值为9【分析】+（+）（a+b），展开后使用基本不等式可求最小值【解答】解：a+b1，+（+）（a+b）5+59，当且仅当时取等号，由解得a，b，+的最小值为9，故答案为：9【点评】该题考查利用基本不等式求函数的最值，注意使用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等11（3分）函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是m1【分析】函数的定义域为R，则等价mx22x+10恒成立，然后解不等式即可【解答】解：函数f（x）的定义域为R，mx22x+10恒成立若m0，则不等式等价为2x+10，即x，不满足条件若m0，要使不等式恒成立，则，即

12、，解得m1，综上m1，故答案为：m1【点评】本题主要考查函数定义域的应用，利用函数定义域为R，得到mx22x+10恒成立是解决本题 的关键，利用二次函数和二次不等式之间的关系进行求解是突破点12（3分）已知x0，且xy1，则的最大值是【分析】由题意可得xy+1（y1），可得y+1+y+，运用基本不等式可得最大值【解答】解：x0，且xy1，可得xy+1（y1），则y+1+y+（y）+2+，当且仅当y时，上式取得最大值，则的最大值是，故答案为：【点评】本题考查基本不等式的运用，注意最值取得的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题13（3分）已知数列an中，a11，a23，若an+2+2an+

13、1+an0对任意nN*都成立，则数列an的前n项和Sn【分析】a11，a23，an+2+2an+1+an0对任意nN*都成立，可得an+2+an+1（an+1+an），a2+a14利用等比数列的通项公式可得：an+1+an4（1）n1分类讨论可得：n2k1时，a2k1+a2k4（1）2k24可得SnS2kn2k时，a2k+a2k+14可得Sna1+（a2+a3）+（a2k2+a2k1）即可得出【解答】解：a11，a23，an+2+2an+1+an0对任意nN*都成立，可得：an+2+an+1（an+1+an），a2+a14则数列an+1+an是等比数列，首项为4，公比为1an+1+an4（1）

14、n1n2k1时，a2k+a2k14（1）2k24SnS2k4k2nn2k时，a2k+1+a2k4Sna1+（a2+a3）+（a2k2+a2k1）14（k1）54k5432nSn故答案为：【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（3分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a2b2+3abcosC0，则c（+）的最小值为2【分析】利用余弦定理化简已知可得：c23a2+，根据余弦定理化简所求可得c（+）+，利用基本不等式即可得解【解答】解：3a2b2+3abcosC0，3a2b2+3ab

15、0，整理可得：c23a2+，c（+）c（+）+22，当且仅当时等号成立即c（+）的最小值为2故答案为：2【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题二解答题：本大题共6小题，共计58分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（8分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a2b2+c2+bc，ab（1）求sinA的值；（2）求cosC的值【分析】（1）根据题意，由余弦定理，可得cosA，结合A的范围，分析可得答案；（2）正弦定理，得，由同角三角函数的基本关系式计算可得cosB的值，又由cosCco

16、s（A+B）cos（A+B），由和角公式计算可得答案【解答】解：（1）根据题意，a2b2+c2+bc，又由余弦定理，得a2b2+c22bccosA，则cosA又A（0，），则（2）由正弦定理，得，由（1）cosA0，又A+B+C，cosCcos（A+B）cos（A+B）cosAcosB+sinAsinB【点评】本题考查三角形中的几何计算，关键是掌握正弦定理和余弦定理的形式16（8分）解下列关于x的不等式：（1）；（2）（|x|2）（x+3）0【分析】（1）根据题意，原不等式等价于（3x+2）（x+3）0且x+30，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，原不等式等价于或，分别解出x的范

17、围，综合即可得答案【解答】解：（1）（3x+2）（x+3）0且x+30，解可得：，则原不等式的解集为；（2）（|x|2）（x+3）0或，解得3x2或x2；，x无解；原不等式的解集为3，22，+），【点评】本题考查其他不等式的解法，关键是将原不等式等价转化17（8分）记数列an的前n项和为Sn，且Sn3n1（1）求数列an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和Tn【分析】（1）由数列的递推式：当n1时，a1S1，当n2且nN*时，anSnSn1，计算可得所求通项；（2）求得nan2n3n1运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式可得所求和【解答】解：（1）Sn3n1当n1时，a1

18、S12，当n2且nN*时，anSnSn13n3n123n1，对n1时也适合，an23n1，nN*（2）nan2n3n1Tn230+431+632+2n3n1，3Tn231+432+（2n2）3n1+2n3n由得：2Tn2+2（31+32+3n1）2n3n（12n）3n1，所以Tn【点评】本题考查数列的递推式，等比数列的求和公式，以及数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题18（10分）如图，在海岸A处，发现南偏东45方向距A为（22）海里的B处有一艘走私船，在A处正北方向，距A为2海里的C处的缉私船立即奉命以10海里/时的速度追截走私船（1）刚发现走私船时，求两船的距离；

19、（2）若走私船正以10海里/时的速度从B处向南偏东75方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间（精确到分钟，参考数据：1.4，2.5）【分析】（1）在ABC中，运用余弦定理，计算可得所求BC的长；（2）在ABC中运用正弦定理求得ABC和ACB，设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，在BCD中运用正弦定理可得BCD45，BDC15，再由正弦定理解方程可得t【解答】解：（1）在ABC中AB（22）海里，AC2海里，BAC135，由余弦定理，得两船的距离BC4（海里）；（2）根据正弦定理，可得sinABC，ABC30，易知ACB15，设缉私船应沿CD方

20、向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则有CD10t（海里），BD10t（海里）而CBD120，在BCD中，根据正弦定理，可得sinBCD，BCD45，BDC15，根据正弦定理，得，解得故缉私船沿南偏东60方向，需47分钟才能追上走私船【点评】本题考查解三角形的实际应用问题，考查正弦定理和余弦定理，以及化简整理的运算能力，属于中档题19（12分）设关于x的不等式（axa29）（xb）0的解集为A，其中a，bR（1）当b6时，若A（，+），求a的值；记Ldc为闭区间c，d的长度当a0时，求区间A的长度L的最小值；（2）当b2a8，且a9时，求A【分析】（1）讨论a0和a0时，求出不等式的解

21、集为（，+）时a的值；求出a0时不等式的解集，计算L的最小值以及对应a的值；（2）讨论a0、a0以及a0时，求出对应不等式的解集【解答】解：（1）a0时，不等式为9（x6）0，求得解集为A（，6，不符题意舍去；当a0时，令，解得a3，此时不等式的解集为A（，+）； （3分）a0时，不等式化为（x）（x6）0，解得不等式的解集为A，所以L6，当且仅当a3时，取等号，因此区间A的长度L的最小值为12； （3分）（2）当a0时，因为2a8，所以，当0a9时，不等式的解集为x|x或x2a8；（2分）当a0时，b8，不等式的解集为x|x8； （1分）10当1a0时，不等式的解集为x|x2a8；20当a1

22、时，不等式的解集为10；30当a1时，不等式的解集为x|2a8x （3分）【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，是难题20（12分）设数列an满足a1，（1）证明：数列为等比数列，并求数列an的通项公式；（2）设cn（3n+1）an，证明：数列cn中任意三项不可能构成等差数列【分析】（1）根据题意，由构造，两式相除即可得，由等比数列的定义分析可得答案；（2）用反证法分析：假设存在正整数l，m，n且1lmn，使得cl，cm，cn成等差数列，由等差数列的定义可得2（3m1）3l+3n2，即23m3l+3n，变形可得3ml（23nm）1，分析可得矛盾，即可得证明【解答】解：（1）证明：由条件，由a1知an0，an+10得，且，是首项为，公比为的等比数列因此，（2）证明：由（1）得，cn（3n+1）an3n1，（反证法）假设存在正整数l，m，n且1lmn，使得cl，cm，cn成等差数列则2（3m1）3l+3n2，即23m3l+3n， 则有23ml1+3nl，即23ml3nl1，则有3ml23nl（ml）1，即3ml（23nm）1l，m，nN*且1lmn，3mlN*，lmn与lmn矛盾，故假设不成立，所以数列cn中任意三项不可能构成等差数列【点评】本题考查等比数列、等差数列的性质以及应用，涉及反证法的运用，（2）注意用反证法分析