2017-2018学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷（含详细解答）

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1、二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知cos，（0，）（1）求sin（+）的值；（2）若cos（+），（0，），求的值16（14分）已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，S32a3，S42a4+4（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn17（14分）如图，在平面四边形ABCD中，ABC，ABAD，AB1（1）若3，求ABC的面积；（2）若BC2，AD5，求CD的长度18（16分）如图，长方形材料ABCD中，已知AB2，AD4点P为材料ABCD内部一点，PEAB于E，PFAD于F，且PE

2、1，PF现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足MPN150，点M，N分别在边AB，AD上（1）设FPN，试将四边形材料AMPN的面积S表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值19（16分）已知函数f（x）（1）当a4，b2时，求满足f（x）2x的x的值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数存在t1，1，使得不等式f（t2t）f（2t2k）有解，求实数k的取值范围；若函数g（x）满足f（x）g（x）+22x2x，若对任意xR且x0，不等式g（2x）mg（x）10恒成立，求实数m的最大值20（16分）设

3、数列an的前n项和为Sn，2Sn+an3，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足：对于任意的nN*，都有a1bn+a2bn1+a3bn2+anb1（）n1+3n3成立求数列bn的通项公式；设数列cnanbn，问：数列cn中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由2017-2018学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1（5分）已知集合Ax|0x2，Bx|x1，则ABx|1x2【分析】利用交集定义直接求解【解答】角：集合Ax|

4、0x2，Bx|x1，ABx|1x2故答案为：x|1x2【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（5分）一组数据1，2，3，4，5，则这组数据的方差等于2【分析】先根据平均数的定义确定平均数，然后利用方差公式计算即可；【解答】解：（1+2+3+4+5）3S2（13）2+（23）2+（33）2+（43）2+（53）22故答案为：2【点评】本题主要考查了方差的知识，牢记方差公式是解题关键3（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间40，80中，其频率分布直方图如图

5、所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间40，60）内的汽车有80辆【分析】由频率分布直方图先求出时速在区间40，60）内的汽车的频率，由此能求出时速在区间40，60）内的汽车数量【解答】解：由频率分布直方图得：时速在区间40，60）内的汽车的频率为（0.01+0.03）100.4时速在区间40，60）内的汽车有0.420080（辆）故答案为：80【点评】本题考查频数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用4（5分）袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于【分析】从中一次摸出2个球，基本事件总数n1

6、0，摸出1个黑球和1个白球包含的基本事件个数m6，由此能求出摸出1个黑球和1个白球的概率【解答】解：袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，基本事件总数n10，摸出1个黑球和1个白球包含的基本事件个数m6，摸出1个黑球和1个白球的概率p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（5分）设向量（1，4），（1，x），+3，若，则实数x的值是4【分析】先求出+3（2，4+3x），再由，能求出实数x的值【解答】解：向量（1，4），（1，x），+3（2，4+3x），解得x4，实数x的值是4故答案为：4【点评】本题考

7、查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6（5分）如图所示的算法流程图中，最后输出值为25【分析】据程序框图的运行过程，写出前4次循环得到的结果，即可得出结束循环时输出的结果【解答】解：第一次循环得到T155，i10；第二次循环得到T51050，i15；第三次循环得到T5015750，i20；第四次循环得到T7502015000，i25；此时不满足判断框中的条件，终止循环，输出i25故答案为：25【点评】本题考查了程序框图的运行应用问题，通过执行框图转化为数学求积问题，是基础题7（5分）公元五世纪张丘建所著张丘建算经卷22题

8、为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为尺（1匹4丈，1丈10尺）【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列前n项和公式能求出d，即可【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺，由题意知，S30305390，解得d尺故答案为：【点评】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用8（5分）如图所示，在64的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点O，A，B，C均为格点（格

9、点是指每个小正方形的顶点），则12【分析】首先利用已知条件建立平面直角坐标系，进一步求出A、B、C的坐标，再利用向量的坐标运算和数量积运算求出结果【解答】解：如图所示：以O为坐标原点，向右为x轴的正方向，向上为y轴的正方向，故：A（1，4），B（5，1），C（3，2），所以：，则：故答案为：12【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算和向量的数量积的运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型9（5分）已知角位的终边上一点P的坐标（3，4），则的值为【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得sin和 cos的值，再利用二倍角的三角公式求得的值【解答】解：角位的终边上一点P的坐

10、标（3，4），sin，cos，则，故答案为：【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的三角公式的应用，属于基础题10（5分）已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，则+的值为1【分析】由A，B，C成等差数列，即可求出B，再由余弦定理化简计算即可得答案【解答】解：A，B，C成等差数列，2BA+C，又A+B+C，B，由余弦定理得b2a2+c22accosBa2+c2ac+故答案为：1【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了余弦定理的应用，是中档题11（5分）已知关于x的方程|x|（xa）1在（2，+）上有三个相异实根，则实数a的取值范围是（，2

11、）【分析】由题意可得ax，设f（x）x，画出f（x）在x2且x0上的图象，通过图象观察，即可得到所求范围【解答】解：关于x的方程|x|（xa）1，显然x0方程不成立，可得ax，设f（x）x，则f（x），画出f（x）的图象，可得当a2时，ya和yf（x）的图象有3个交点，即关于x的方程|x|（xa）1在（2，+）上有三个相异实根，故答案为：（，2）【点评】本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想方法，考查化简变形能力，属于中档题12（5分）已知a0，b0，且+1，则3a+2b+的最小值等于11【分析】直接利用关系式的恒等变换和均值不等式求出结果【解答】解：已知a0，b0，且+1，则3a+2b+3

12、a（）+2b（）+，5+，故答案为：11【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型13（5分）将关于x的方程sin（x）a（0a1）所有正整数解从小到大排列构成数列an，且a1，a2，a3构成等比数列，则a1【分析】由正弦函数的图象和性质可得x2k+arcsina或2k+arcsina，kZ，分别求得数列an的前三项，运用等比数列中项性质，解方程可得arcsina，即可得到所求首项【解答】解：关于x的方程sin（x）a（0a1），可得x2k+arcsina或x2k+arcsina，kZ，可得a1+arcsina，a2ar

13、csina，a3+arcsina，a1，a2，a3构成等比数列，可得a22a1a3，即（arcsina）2（+arcsina）（+arcsina），解得arcsina，则a1+arcsina故答案为：【点评】本题考查等比数列的中项性质，以及三角方程的解法，考查方程思想和运算能力，属于中档题14（5分）已知函数f（x）x2+（12a）x+a2，若关于x的不等式f（f（x）0恒成立则实数a的取值范围是，+）【分析】将函数f（x）配方可得对称轴和最小值，由yf（f（x）是将f（x）中的x换为f（x）得到的函数式，则xa也为yf（f（x）的对称轴，且取得最小值，求得最小值，令其大于等于0，解不等式可得

14、a的范围【解答】解：函数f（x）x2+（12a）x+a2，配方可得f（x）（x+a）2+a，由yf（f（x）是将f（x）中的x换为f（x）得到的函数式，则xa也为yf（f（x）的对称轴，且取得最小值，则f（f（a）0，即为（a+a）2+a0，解得a，故答案为：，+）【点评】本题考查二次函数的最值求法，不等式恒成立问题解法，注意转化为函数最值，考查运算能力，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知cos，（0，）（1）求sin（+）的值；（2）若cos（+），（0，），求的值【分析】（1）先利用同角三

15、角函数的基本关系求得sin，再利用两角差的三角公式求得sin（+）sincos+cossin 的值（2）先利用同角三角函数的基本关系求得sin（+）的值，再利用两角差的三角公式求得sinsin（+）的值【解答】解：（1）由cos，（0，），sin，所以sin（+）sincos+cossin+（2）因为（0，），所以+（0，）又cos（+），则 sin（+）所以sinsin（+）sin（+）coscos（+）sin，【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题16（14分）已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，S32a3，S42a4+4（1）求数列an的

16、通项公式；（2）求数列的前n项和Tn【分析】（1）设等差数列an的公差为d，其中d0，运用等差数列的通项公式和求和公式，可得首项和公差的方程组，解方程可得所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，可得Snn（n+1），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，其中d0由S32a3，得3a1+3d2（a1+2d），即a1d，由S42a4+4，得4a1+6d2（a1+3d）+4，即a12，所以a1d2故an2+2（n1）2n；（2）由（1）得Snn（n+1），则，所以前n项和Tn1+1【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，数列的裂项

17、相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题17（14分）如图，在平面四边形ABCD中，ABC，ABAD，AB1（1）若3，求ABC的面积；（2）若BC2，AD5，求CD的长度【分析】（1）由3，结合向量的数量积的定义可求BC，代入面积公式SABC可求；（2）在ABC中，由余弦定理得，可求AC，然后由正弦定理得：，可求sinBAC，最后在ACD中，由余弦定理可求CD【解答】解：（1）因为3，所以3，即|cosABC3（2分）又因为ABC，AB1，所以|cos3，则BC3（5分）所以SABC            （7分）（2）在ABC

18、中，由余弦定理得，113，AC                                 （9分）在ABC中，由正弦定理得：，即，sinBAC     （11分）cosCADcos（BAC）sinBAC   （13分）在ACD中，由余弦定理得，CD2AD2+AC22ADACcosCAD，25+132518，即CD3     （14分）【点评】本题综合考查了向量的数量积的 定义，和差

19、角公式，正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是把图形中的问题转化为数学问题18（16分）如图，长方形材料ABCD中，已知AB2，AD4点P为材料ABCD内部一点，PEAB于E，PFAD于F，且PE1，PF现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足MPN150，点M，N分别在边AB，AD上（1）设FPN，试将四边形材料AMPN的面积S表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值【分析】（）分别计算出SAPN，SAPM，则SSAPN+SAPM，即可求出，（）化简S，利用基本不等式，即可求得结论【解答】

20、解：（1）在直角NFP中，因为PF，FPN，所以NFtan，所以SAPNNAPF（1+tan）        （2分）在直角MEP中，因为PE，EPM，所以MEtan（），所以SAPMMAPE（+tan（）1    （4分）所以SSAPN+SAPMtan+tan（）+，0，（7分）（注：定义域错误扣1分）（2）因为Stan+tan（）+tan+     （9分）令t1+tan，由0，得t1，4，（11分）所以S+（t+）+（12分）2+2+           &n

21、bsp;          （14分）当且仅当t时，即tan时等号成立           （15分）此时，AN，Smin2+答：当AN时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为2+（16分）【点评】本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积19（16分）已知函数f（x）（1）当a4，b2时，求满足f（x）2x的x的值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数存在t1，1，使得不等式f（t2t）f（2t2k）有解，求实数k的

22、取值范围；若函数g（x）满足f（x）g（x）+22x2x，若对任意xR且x0，不等式g（2x）mg（x）10恒成立，求实数m的最大值【分析】（1）由题意可得2x，解方程可得x；（2）由f（x）为奇函数，可得a，b的值，进而得到f（x）的解析式，判断f（x）的单调性，由题意可得f（t2t）f（2t2k），所以t2t2t2k，由参数分离和二次函数的最值，可得k的范围；由条件求得g（x）2x+2x（x0），运用换元法和基本不等式，计算可得m的最大值【解答】解：（1）因为a4，b2，所以2x，化简得（2x）232x40，即2x4（1舍去），所以x2；（2）因为f（x）是奇函数，所以f（x）+f（x）0

23、，所以+0，化简并变形得：（a+b）（2x+2x）+2ab+20，要使上式对任意的x成立，则a+b0且ab+10，解得a1，b1或a1，b1，因为f（x）的定义域是R，所以a1，b1舍去，所以a1，b1，所以f（x）；f（x）1对任意x1，x2R，x1x2有：f（x1）f（x2），因为x1x2，所以2x12x2，即2x12x20，所以f（x1）f（x2），因此f（x）在R上递增因为f（t2t）f（2t2k），所以t2t2t2k，即kt2+t在t1，1时有解当t1，1时，t2+t的最大值为2，所以k2；因为f（x）g（x）+22x2x，所以g（x）2x+2x（x0），所以g（2x）22x+22x

24、（2x+2x）22不等式g（2x）mg（x）10恒成立，即（2x+2x）22m（2x+2x）10，令t2x+2x，t2，则mt+在t2时恒成立因为t2，由基本不等式可得：t+4，当且仅当t2时，等号成立所以m4，则实数m的最大值为4【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查不等式恒成立和有解的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题20（16分）设数列an的前n项和为Sn，2Sn+an3，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足：对于任意的nN*，都有a1bn+a2bn1+a3bn2+anb1（）n1+3n3成立求数列bn的通项公式；设数列cnanbn，问：数列cn中

25、是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由【分析】（1）将n换为n1，运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项；（2）将等式中的n换为n1，乘以，相减可得所求通项公式；求得cnanbn，讨论单调性，假设存在三项cs，cp，cr成等差数列，其中s，p，rN*，运用等差数列中项性质和不等式的性质，推理运算，即可得到所求结论【解答】解：（1）由2Sn+an3，得2Sn1+an13，（n2），由得2an+anan10，即anan1（n2）对取n1得，a110，所以an0，所以an为等比数列，首项为1，公比为，即an（）n1，nN*（2）由an（）n

26、1，可得对于任意nN*有bn+bn1+（）2bn2+（）n1b1（）n1+3n3，则bn1+bn2+（）2bn3+（）n2b1（）n2+3n6，n2，则bn1+（）2bn2+（）3bn3+（）n1b1（）n1+n2，n2，由得bn2n1（n2），对取n1得，b11也适合上式，因此bn2n1，nN*由（1）（2）可知cnanbn，则cn+1cn，所以当n1时，cn+1cn，即c1c2，当n2时，cn+1cn，即cn在n2且nN*上单调递减，故c1c2c3c4c5，假设存在三项cs，cp，cr成等差数列，其中s，p，rN*，由于c1c2c3c4c5，可不妨设spr，则2cpcs+cr（*），即+，因为s，p，rN*，且spr，则sp1且p2，由数列cn的单调性可知，cscp1，即，因为cr0，所以+，即，化简得p，又p2且pN*，所以p2或p3，当p2时，s1，即c1c21，由r3时，crc21，此时c1，c2，cr不构成等差数列，不合题意当p3时，由题意s1或s2，即cs1，又cpc3，代入（*）式得cr因为数列cn在n2且nN*上单调递减，且c5，r4，所以r5综上所述，数列cn中存在三项c1，c3，c5或c2，c3，c5构成等差数列【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列中项性质，以及分类讨论思想方法，考查运算能力和推理能力，属于中档题