2017-2018学年江苏省南京市高一（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、二、解答题（本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写出答题纸的指定区域内）15（14分）已知数列an为等差数列，且a22，a810（1）求数列an的通项公式；（2）已知数列bn为等比数列，其前n项和为Sn，且b1a4，b4a11，Sn510，求n的值16（14分）如图，在ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，b6，cosB，C（1）求c的值；（2）已知点D在边BC上，DC2，求cosDAC17（14分）志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AECE，ABAD，矩形的周长为8cm（1）设ABxcm，试用x表示出图中D

2、E的长度，并求出x的取值范围；（2）计划在ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽18（16分）已知函数f（x）ax2+ax2（aR）（1）当a1时，解关于x的不等式f（x）0；（2）解关于x的不等式f（x）3x10，其中aR19（16分）在ABC中（1）已知AD是BAC的平分线，用正弦定理证明：；已知AB2AC，ADAB+BC，求实数，的值；（2）已知E为边BC的中点，BAE，CAE，AE1，求ABC的面积20（16分）已知数列an，其前n项和Sn满足2Sn3（an1），nN（1）求数列an的通项公式；（2）已知bn，求数列bn的前n项和Tn；（3）已

3、知，对任意nN*，都有cn+1cn成立，试确定实数的取值范围2017-2018学年江苏省南京市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写字答题卡相应位置上）1（5分）不等式（x1）（x2）0的解集是（1，2）【分析】将“不等式（x1）（x2）0”转化为“不等式组 或”，利用一元一次不等式的解法求解【解答】解：依题意，不等式化为 不等式组 或，解得1x2，故答案为：（1，2）【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解2（5分）已知数列an为等差数列，公差是2，a35，则a23【分析】利用等差数列的通项公式即

4、可得出【解答】解：由a35a1+22，解得a11则 a21+23故答案为：3【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3（5分）已知三个实数3，x，12成等比数列，则x6【分析】根据等比数列的性质得到x2312，由此求得x的值【解答】解：三个实数 3，x，12 成等比数列，x231236，x6故答案是：6【点评】本题考查了等比数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（5分）已知函数f（x）x+（x0），则函数f（x）的最小值是2【分析】方法一，先求导，判断函数的单调性，根据函数的单调性即可求出最小值方法二，利用基本不等式即可求出【解答】解：方法一：f

5、 （ x ）x+（ x0），f（x）1，令f（x）0，解得x，x（舍去），当f（x）0时，解得x，即函数f（x）单调递增，当f（x）0时，解得0x，即函数f（x）单调递减，f（x）minf（）+2，方法二：f（x）x+22，当且仅当x时取等号，故答案为：2【点评】本题考了导数和函数单调性和最值的关系，考查了运算能力，属于中档题5（5分）在ABC中，a，b分别是A，B所对的边，A，B，b8，则a的值为4【分析】运用三角形的正弦定理可得a，代入计算可得所求值【解答】解：A，B，b8，由正弦定理可得a4，故答案为：4【点评】本题考查三角形的正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题6（5分）已知数列a

6、n为等差数列，其前n项和为Sn，若a58，a924，则S13208【分析】设等差数列an的公差为d，由a58，a924，利用通项公式可得a1+4d8，a1+8d24，联立解得：a1，d，再利用求和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a58，a924，a1+4d8，a1+8d24，联立解得：a18，d4，则S1313（8）+208故答案为：208【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）已知m，n均为正实数，且m+2n1，则mn的最大值为【分析】由条件结合基本不等式可得m2n（）2，计算可得所求最大值【解答】解：m，n 均为正实数

7、，且m+2n1，可得m2n（）2，即mn，当且仅当m2n，mn取得最大值，故答案为：【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题8（5分）若锐角ABC的面积为，且AB5，AC8，则BC等于7【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC【解答】解：因为锐角ABC的面积为，且AB5，AC8，所以，所以sinA，所以A60，所以cosA，所以BC7故答案为：7【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础9（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且S8，S7，S9成等差数列，则公比q为2【分析】当q1时，27a18a1+9a1，解得a1+，由此能

8、求出q的值【解答】解：等比数列an 的前 n 项和为 Sn，且 S8，S7，S9 成等差数列，2S7S8+S9，当q1时，27a18a1+9a1，解得a10，不成立；当q1时，2S7S8+S9，即+，q7（q2+q2）0，解得q2或q1（舍），q2故答案为：2【点评】本题考查数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用10（5分）在ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则C15或105【分析】根据余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入化简后得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而求出sinA的值，又b比a的值，利用正

9、弦定理得到sinB与sinA的比值，进而求出sinB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再根据三角形的内角和定理求出C的度数【解答】解：因为，所以根据余弦定理得：cosA，由A（0，180），得到A30，则sinA，又，根据正弦定理得：，即sinBsinA，由B（0，180），得到B45或135，则C15或105故答案为：15或105【点评】此题的突破点是利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入求出cosA的值本题的答案有两解，产生两解的原因是在（0，180）范围内正弦值对应两个角，学生做题时容易遗漏解11（5分）已知f（n）+，若f（n）10，则正整数n的最大值为119

10、【分析】由，利用累加求和、裂项求和方法即可得出【解答】解：，f（n）+1，由f（n）10，110，解得n120则正整数n的最大值为119故答案为：119【点评】本题考查了数列的通项公式与求和、裂项求和方法、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）关于 x 的不等式 2kx2+kx0 的解集为空集，则实数 k 的取值范围是（3，0【分析】根据题意，讨论k0与k0时，不等式解集为空集的k满足的条件，从而得出k的取值范围【解答】解：根据题意，得；当k0时，不等式化为0，其解集为空集，满足题意；当k0时，应满足，即，解得，即3k0；综上，k的取值范围是（3，0故答案为：（3，0【

11、点评】本题考查了不等式恒成立的应用问题，解题时应结合二次函数的图象与性质进行讨论，是基础题13（5分）若x，y（0，+），x+y+xy4，则的取值范围是（，【分析】由基本不等式可得x+y+xy2+xy，可得（）2+40，可得0xy2，即有1xy+13，化简所求式子，运用对勾函数的单调性，可得所求范围【解答】解：x，y（0，+），x+y+xy4，可得x+y+xy2+xy，可得（）2+40，2，可得0xy2，即有1xy+13，则，可令txy+1，由（xy+1）+t+在（1，3递减，可得（xy+1）+，17），则的取值范围是（，故答案为：（，【点评】本题考查基本不等式的运用：求取值范围，注意运用变形

12、和对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题14（5分）对于数列an，定义bn（k）an+an+k，其中n，kN*若a11，a322a330，且对任意n，kN*，都有bn+1（k）bn（k），则实数的取值范围为或【分析】由题意可得an+an+1，an+an+2，an+an+3成等比数列，故an为等比数列，求得a33，设q（q为an的公比），可得q23，即可得到所求范围【解答】解：对任意n，kN*，都有bn+1（k）bn（k），可得任意n，kN*，an+an+k均为等比数列，即an+an+1，an+an+2，an+an+3成等比数列，故an为等比数列，又a322a330，解得a33或a31又a1

13、10，故a33，设q（q为an的公比），可得q23，即q或q，即或故答案为：或【点评】本题考查实数的范围，注意运用等比数列的定义和通项公式，以及不等式的解法，考查运算能力，属于中档题二、解答题（本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写出答题纸的指定区域内）15（14分）已知数列an为等差数列，且a22，a810（1）求数列an的通项公式；（2）已知数列bn为等比数列，其前n项和为Sn，且b1a4，b4a11，Sn510，求n的值【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由a22，a810可得a1+d2，a1+7d10，联立解得a1，d，即可得出（2）设等

14、比数列bn的公比为q，且b1a42，b4a112116162q3，解得q利用求和公式即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，a22，a810a1+d2，a1+7d10，联立解得a14，d2，an4+2（n1）2n6（2）设等比数列bn的公比为q，且b1a42，b4a112116162q3，解得q2Sn510，解得n8【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（14分）如图，在ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，b6，cosB，C（1）求c的值；（2）已知点D在边BC上，DC2，求cosDAC【分析】（1）运用三角形的

15、正弦定理和同角的平方关系，即可得到所求值；（2）运用余弦定理求得AD，再由余弦定理可得所求值【解答】解：（1）b6，cos B，C，可得sinB，解得c5；（2）在ADC中，可得AD2AC2+DC22ACDCcosC36+426228，即有AD2，则cosDAC【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题17（14分）志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AECE，ABAD，矩形的周长为8cm（1）设ABxcm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；（2）计划在ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使ADE的面积最大，

16、那么应怎样设计队徽的长和宽【分析】（1）由题意可得AD4x，求得2x4，再由直角三角形ADE中运用勾股定理，化简可得DE的函数式；（2）运用三角形的面积公式，化简整理再由基本不等式即可得到所求最大值，以及矩形的长和宽【解答】解：（1）由题意可得AD4x，且x4x0，可得2x4，由CEAExDE，在直角三角形ADE中，可得AE2AD2+DE2，即（xDE）2（4x）2+DE2，化简可得DE4（2x4）；（2）SADEADDE（4x）（4）2（6x）2（62）128，当且仅当x2，4x42，即有队徽的长和宽分别为2，42，可得ADE的面积取得最大值【点评】本题考查函数在实际问题中的运用，考查基本不

17、等式的运用：求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题18（16分）已知函数f（x）ax2+ax2（aR）（1）当a1时，解关于x的不等式f（x）0；（2）解关于x的不等式f（x）3x10，其中aR【分析】（1）中把a1代入解不等式即可，（2）中需将a进行分区间讨论，分别解出【解答】解：（1）当a1时，f（x）x2+x2，解x2+x20得x2或x1故不等式 f （ x）0的解集为x|x2或x1（2）f （ x）3x10，ax2+ax23x10，ax2+（a3）x30，即（x+1）（ax3）0，当a0时，解得x1，当a0时，解得x1或x，当a0时，不等式（x+1）（ax3）0，即为（x+1

18、）（x）0，当a3时，解得x1，当3a0时，解得x1，当a3时，解得1x，故当a0时，解集为x|x1或x，当a0时，解集为x|x1，当3a0，解集为x|x1当a3时，解集为x|x1，当a3时，解集为x|1x【点评】本题考查不等式的解法和含参二次不等式的解法，解题的关键是转化和对参数的范围进行分类讨论，分类解不等式，解答此类题时要严谨，避免考虑不完善出错19（16分）在ABC中（1）已知AD是BAC的平分线，用正弦定理证明：；已知AB2AC，ADAB+BC，求实数，的值；（2）已知E为边BC的中点，BAE，CAE，AE1，求ABC的面积【分析】（1）分别在ABD和ACD中运用正弦定理，结合诱导公

19、式，即可得证；运用平面向量基本定理，以及向量的加减运算，即可得到所求值；（2）在ABE和ACE中，运用正弦定理可得，再由由SABCSABE+SAEC，化简计算可得所求值【解答】解：（1）证明：在ABD中，可得，同样在ACD中，可得，由sinADCsin（180ADB）sinADB，且sinBADsinCAD，两式相除可得；AB2AC，ADAB+BC，由可得2，+，而+（）+，可得，则1，；（2）E为边BC的中点，即BECE，BAE，CAE，AE1，在ABE中，可得，即为，在ACE中，可得，即为，两式相除可得，即有，由SABCSABE+SAEC，可得ABACsinABAEsin+ACAEsin，

20、化为（+）ABAC2AB+2AC，解得AC22，AB，则SABC（22）（）1【点评】本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查等积法和向量法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题20（16分）已知数列an，其前n项和Sn满足2Sn3（an1），nN（1）求数列an的通项公式；（2）已知bn，求数列bn的前n项和Tn；（3）已知，对任意nN*，都有cn+1cn成立，试确定实数的取值范围【分析】（1）Sn（an1），a1S1，解得a13，anSnSn1，n2，从而，进而数列an是首项为3，公比为3的等比数列，由此能求出an（2）由bn，利用错位相减法能求出数列bn的前n项和Tn（3）由4

21、n1+（1）n13n，得（1）n1恒成立由此能求出实数的取值范围【解答】解：（1）数列an，其前n项和Sn满足2Sn3（an1），nNSn（an1），nNa1S1，解得a13，anSnSn1，n2，数列an是首项为3，公比为3的等比数列，an3n（2）bn，数列bn的前n项和：Tn1，1，得：+nn，Tn（3）4n1+（1）n13n，对任意nN*，都有cn+1cn成立，4n+（1）n3n+14n1+（1）n13n，即有（1）n1恒成立当n为奇数时，由递增，可得n1时，取得最小值，即有；当n为偶数时，由递增，可得n2时，取得最小值，即有，解得；故实数的取值范围是（，）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用、数列的单调性问题的解法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类讨论与整合思想、函数与方程思想，是中档题