2017-2018学年江苏省苏州市吴中区高一（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、9（5分）某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚78元则这两筐椰子原来的总个数为   10（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足：当x0时，f（x）log2（2+x）+ax+b（a，b为常数），若f（2）1，则f（14）的值为   11（5分）已知函数f（x）的值域是8，1，则实数a的取值范围是   12（5分）若函数f（x）（x2）|xa|（aR）在区间3，4上单调递增，则实数a的取值范围是   13（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（

2、2）0，若x1，x2（，0），且x1x2时，0恒成立，则不等式（x+2）f（x）0的解集是   14（5分）已知集合Ax|x23x40，xR，函数f（x）（3x4）的值域为B，如果AB，则a的取值范围是   二、解答题（本大题共6小题，共90分）15（14分）设集合Ax|4x1，集合Bx|x+a|1（1）若a3，求R（AB）；（2）若ABB，求实数a的取值范围16（14分）已知函数f（x）log3log3（3x）（1）解不等式f（x）0；（2）当函数f（x）的定义域为1，9时，求f（x）的值域17（14分）已知函数f（x）满足f（x1）loga（2x）logax（1）求函数

3、f（x）的解析式及定义域；（2）解关于x的不等式f（2x）018（16分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%（1）请分析函数y+1是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用函数模型y作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值19（16分）设函数f（x）axax（a0且a1）（1）若f（1）0判断并证明函数f（x）的单调性；解关于x的不等式f（x2+2）+f（x4）0；（2）若f（

4、1），且对任意的x1，+），不等式a2x+a2x2mf（x）+20恒成立，求实数m的取值范围20（16分）已知函数f（x）x24，g（x）k|xa|（1）当a2时，求函数yf（x）+g（x）在区间0，4上的最大值；（2）当a2时，若函数yf（x）g（x）有且仅有一个零点，求实数k的取值范围2017-2018学年江苏省苏州市吴中区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1（5分）设集合A0，1，2，3，B2，3，4，则AB等于0，1，2，3，4【分析】根据集合的并集的运算计算即可【解答】解：A0，1，2，3，B2，3，4，AB0，1，2，3，4

5、，故答案为：0，1，2，3，4【点评】本题考查了并集的定义，是一道基础题2（5分）已知幂函数的图象过点（2，），则幂函数的解析式f（x）【分析】用待定系数法，设出幂函数的解析式，求出的值即可【解答】解：设幂函数的解析式为yx，（R）；函数的图象过点（2，），2，；y，故答案为：【点评】本题考查了求幂函数的解析式的问题，解题时应用待定系数法，是容易题3（5分）计算：2lg5+lg4的值是2【分析】直接由对数的运算性质计算得答案【解答】解：2lg5+lg42lg5+2lg22lg（52）2故答案为：2【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础题4（5分）函数的定义域为x|x4且x1【分析】根据分式有

6、意义的条件，分母不能为0，偶次根式，被开方数大于等于0，可求出函数的f（x）的定义域【解答】解：解得x4且x1即函数的定义域为x|x4且x1故答案为：x|x4且x1【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法，解题的关键是注意分母不能为0，偶次根式被开方数大于等于0，属于基础题5（5分）若函数y的图象关于原点对称，则实数a等于1【分析】根据函数y的图象关于原点对称，得到函数yf（x）是R上的奇函数，根据奇函数的定义求出a的值即可【解答】解：令yf（x），函数y的图象关于原点对称，函数yf（x）是R上的奇函数，f（x）f（x）a1，故答案为：1【点评】本题考查了函数的奇偶性，是一道基础题6（5分）

7、已知f（x1）2x+3，且f（m）6，则m等于【分析】设，则x2t+2，从而f（t）4t+7，由此能求出结果【解答】解：f（1）2x+3，设，则x2t+2，f（t）4t+7，f（m）6，4m+76，解得m故答案为：【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用7（5分）已知集合Ax|x2k+1，kZ，Bx|0log2（x+1）3，xR，则AB的子集个数是8【分析】根据题意，解0log2（x+1）3可得集合B，由交集的定义可得集合AB1，3，5，分析可得答案【解答】解：根据题意，0log2（x+1）31x+180x7，则集合Bx|1x7又由集合Ax|x2k+1，

8、kZ，则AB1，3，5，共3个元素，其子集有238个；故答案为：8【点评】本题考查集合的子集与真子集，关键是正确解出集合B，求出集合AB8（5分）函数f（x）|x2|ln（x+2）1的零点个数为3【分析】把函数f（x）|x2|ln（x+2）1的零点转化为两个函数yln（x+2）与y图象交点的横坐标，作出两函数的图象，数形结合得答案【解答】解：f（x）|x2|ln（x+2）1的零点即方程|x2|ln（x+2）10的根，也就是两个函数yln（x+2）与y图象交点的横坐标，作出两函数的图象如图：当x0时，ln（x+2）ln2，两函数图象在x2时有3个交点，即函数f（x）|x2|ln（x+2）1的零点

9、个数为3故答案为：3【点评】本题考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题9（5分）某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚78元则这两筐椰子原来的总个数为120个【分析】设两筐椰子原来总共有x个，成本价为y元/个，根据题意列出方程组，再解方程组即可得出这两筐椰子原来的总个数【解答】解：设两筐椰子原来总共有x个，成本价为y元/个，则，化简得，xy+x12y390，把代入得，x12y90，x90+12y，xyy（90+12y）300，2y2+15y500，解得

10、y2.5，y10（不合题意，舍去） x120；这两筐椰子原来总共有120个故答案为：120个【点评】本题考查了二元二次方程的应用问题，解题时应读懂题意，根据题目中的条件，找出等量关系，列方程组，求出解答10（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足：当x0时，f（x）log2（2+x）+ax+b（a，b为常数），若f（2）1，则f（14）的值为3【分析】根据定义在R上的奇函数f（0）0，求出b值，利用f（2）1，求出a，再由f（14）f（14）得到答案【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）log2（2+x）+ax+b故f（0）1+b0，f（2）2+2a+b1，解得：b1a

11、0，f（x）log2（2+x）1，f（14）f（14）log2（2+14）13，故答案为：3【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的定义和性质，是解答的关键11（5分）已知函数f（x）的值域是8，1，则实数a的取值范围是（0，3【分析】由二次函数的性质可得当4x0时，函数的值域刚好为8，1，故只需y2x，ax0的值域应为8，1的子集，可得a的不等式，结合指数函数的单调性可得【解答】解：当4x0时，f（x）x22x（x+1）2+1，图象为开口向下的抛物线，对称轴为x1，故函数在4，1单调递增，1，0单调递减，当x1时，函数取最大值1，当x4时，函数取最小值8，又函数f（x

12、）的值域为8，1，y2x，ax0的值域应为8，1的子集，又y2x单调递减，y2a，1），故只需2a8即可，解得0a3故答案为：（0，3【点评】本题考查函数的值域，涉及分段函数和指数函数，属基础题12（5分）若函数f（x）（x2）|xa|（aR）在区间3，4上单调递增，则实数a的取值范围是（，36，+）【分析】先去绝对值得到f（x），结合函数f（x）在区间3，4上单调递增，得实数a的取值范围【解答】解：f（x）；（1）a2时，f（x）的单调递增区间为2，和a，+），若函数f（x）在区间3，4上单调递增，则4，或a3解得：a2，36，+）（2）a2时，f（x）的单调递增区间为（，a和，+），在区间

13、3，4上恒单调递增，综上a（，36，+）故答案为：（，36，+）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，难度中档13（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）0，若x1，x2（，0），且x1x2时，0恒成立，则不等式（x+2）f（x）0的解集是（，02，+）【分析】由已知可得f（x）在（，0）和在（0，+）上递减，f（2）f（2）0，进而可得答案【解答】解：当x1x2，x1，x2（，0），0恒成立，f（x1 ）f（x2），当x1x2，x1，x2（，0），0恒成立，f（x1 ）f（x2），f（x）在（，0）上递减，又f（x）在R上是奇函数，f（x）在（，0）和在（0，+）

14、上递减，f（2）f（2）0，对于不等式（x+2）f（x）0，当x+20，即x2时，f（x）0，即f（x）f（2），x2，当x+20，即x2时，f（x）0，即f（x）f（2），2x0，或x2不等式（x+2）f（x）0的解集是：（，02，+）故答案为：（，02，+）【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键14（5分）已知集合Ax|x23x40，xR，函数f（x）（3x4）的值域为B，如果AB，则a的取值范围是（，5，+）【分析】先求解集合A，函数f（x）零点分段化简，求解值域，根据AB，即可a的取值范围【解答】解：集合Ax|x23x40，xRx|1x4函数

15、f（x），当a0时，可得f（x）0，不满足题意；当a0时，0x4，f（x）是递增函数，其值域为0，a；而3x0，f（x）是递增函数，其值域为a+，0）；AB，解得：a5当a0时，0x4，f（x）是递减函数，其值域为a，0而3x0，f（x）是递减函数，其值域为（0，a+；AB，解得：a，综上可得a的取值范围是（，5，+），故答案为：（，5，+）【点评】本题考查函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是理解题意，是中档题二、解答题（本大题共6小题，共90分）15（14分）设集合Ax|4x1，集合Bx|x+a|1（1）若a3，求R（AB）；（2）若ABB，求实数a的取值范围【分析

16、】（1）将a3代入，求出集合B，再根据并集和补集的定义即可求出；（2）根据ABB，可得BA，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：（1）当a3时，由|x+3|1，解得4x2，即集合B4，2，AB4，1，R（AB）（，4）（1，+），（2）ABB，BA，Ax|4x14，1，集合Bx|x+a|1a1，a+1，解得0a3，即实数a的取值范围为0，3【点评】本题考查了解绝对值不等式问题考查分类讨论思想，是一道中档题16（14分）已知函数f（x）log3log3（3x）（1）解不等式f（x）0；（2）当函数f（x）的定义域为1，9时，求f（x）的值域【分析】利用对数的运算性质化简f（x）的解析式（1

17、）求解一元二次不等式可得log3x的范围，进一步求解对数不等式得答案；（2）由x的范围得到log3x的范围，再由二次函数的单调性得答案【解答】解：f（x）log3log3（3x）（log3x2）（log3x+1）（1）由f（x）0，得（log3x2）（log3x+1）0，即log3x1或log3x2，0或x9不等式f（x）0的解集为（0，）（9，+）；（2）f（x）log3log3（3x）（log3x2）（log3x+1）由1x9，得0log3x2，当log3x时，；当log3x2时，f（x）max0f（x）的值域为【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用换元法求解对数不等式，是中档题17（

18、14分）已知函数f（x）满足f（x1）loga（2x）logax（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）解关于x的不等式f（2x）0【分析】（1）令tx1，利用换元法，可得函数的解析式及定义域；（2）由（1）由函数解析式及定义域，结合对数函数的图象和性质，分类讨论，可得不等式f（2x）0的解集；【解答】解：（1）令tx1，则xt+1，由2x0且x0得：x（0，1），即t（1，1），f（x1）loga（2x）logaxf（t）loga（t+1）loga（t+1）f（x），函数的定义域为：（1，1），（2）f（2x）当a（0，1）时，f（2x）0可化为：，解得：x（，0），当a（1，+）时，f

19、（2x）0可化为：，解得：x（0，）【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数解析式的求法，分类讨论思想，难度中档18（16分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%（1）请分析函数y+1是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用函数模型y作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值【分析】（1）设奖励函数模型为yf（x），根据“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）

20、的增加而增加，说明在定义域上是增函数，且奖金不超过9万元，即f（x）9，同时奖金不超过投资收益的20%即f（x）（2）先将函数解析式进行化简，然后根据函数的单调性，以及使g（x）9对x10，1000恒成立以及使g（x）对x10，1000恒成立，建立不等式，求出相应的a的取值范围【解答】解：（1）对于函数模型yf（x）+1，当x10，1 000时，f（x）为增函数，（1分）f（x）maxf（1 000）+1+19，所以f（x）9恒成立，（2分）又因为当x10，1 000时f（x）+1f（10）0，所以f（x）恒成立，（3分）故函数模型y+1符合公司要求（4分）（2）对于函数模型yg（x），即g（

21、x）10，当3a+200，即a时递增，（5分）为使g（x）9对于x10，1 000恒成立，即要g（1 000）9，3a+181 000，即a，（7分）为使g（x）对于x10，1 000恒成立，即要5，即x248x+15a0恒成立，即（x24）2+15a5760（x10，1 000）恒成立，又2410，1 000，故只需15a5760即可，所以a（9分）综上，a，故最小的正整数a的值为328（10分）【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及函数的最值得应用，同时考查了函数的单调性和恒成立问题，以及转化的思想，属于中档题19（16分）设函数f（x）axax（a0且a1）（1）若f（1）0判

22、断并证明函数f（x）的单调性；解关于x的不等式f（x2+2）+f（x4）0；（2）若f（1），且对任意的x1，+），不等式a2x+a2x2mf（x）+20恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；根据函数的单调性和奇偶性得到关于x的不等式，解出即可；（2）求出a，设g（x）22x+22x2m（2x2x）+2（2x2x）22m（2x2x）+4设tf（x）2x2x，则g（t）t22mt+4（tm）2+4m2通过m的范围讨论求解即可【解答】解：（1）f（1）0，a0，a1，f（x）axax是R上的递增函数，证明：设x1，x2是R上的任意两个值，且x1x2，f

23、（x1）f（x2）+（）（1+），a1，且x1x2，0，f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2）f（x）是R上的增函数；函数的定义域是R，且f（x）f（x），故函数yf（x）是R上的奇函数，f（x2+2）+f（x4）0，f（x2+2）f（x4）f（4x），x2+24x，解得：2x1，故不等式的解集是x|2x1；（2）因为f（1），所以a，解得a2（a0），设g（x）22x+22x2m（2x2x）+2（2x2x）22m（2x2x）+4，设tf（x）2x2x，则由x1，得tf（1），g（t）t22mt+4（tm）2+4m2，若m，则当tm时，ymin4m20，解得：m2，若m，则当t时，ymi

24、n3m0，解得m，综上得m2【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题20（16分）已知函数f（x）x24，g（x）k|xa|（1）当a2时，求函数yf（x）+g（x）在区间0，4上的最大值；（2）当a2时，若函数yf（x）g（x）有且仅有一个零点，求实数k的取值范围【分析】（1）yf（x）+g（x），所以其最大值只可能是f（0）、f（2）、f（4）其中之一再由f（4）f（0），可得函数的最大值（2）由题意得，方程x24k|x2|0有且仅有一个解，显然，x2已是该方程的解故关于x的方程x+2k0（x2）有且仅有一个等于2的解或无解，且x+

25、2+k0（x2）无解，从而求得实数k的取值范围【解答】解：（1）当x0，4时yf（x）+g（x），因为yf（x）+g（x）在区间0，4上图象由两段抛物线段组成，且这两个抛物线开口均向上，所以其最大值只可能是f（0）、f（2）、f（4）其中之一 又f（0）2k4，f（2）0，f（4）12+2k，显然f（4）f（0）所以当k6时，所求最大值为f（4）122k；当k6时，所求最大值为f（2）0（2）由题意得，yf（x）g（x）x24k|x2|，方程x24k|x2|0有且仅有一个解，显然，x2已是该方程的解，当x2时，方程变为（x2）（ x+2k）0；当x2时，方程变为（x2）（ x+2+k）0从而关于x的方程x+2k0（x2）有且仅有一个等于2的解或无解，且x+2+k0（x2）无解又x2时，k4，此时x6也是方程的解，不合题意所以关于x的方程x+2k0（x2）无解，且x+2+k0（x2）无解所以，k4且k4综上，k4，即实数k的取值范围为（，4【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，函数的零点的定义，函数的奇偶性，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于中档题