2018-2019学年江苏省南京一中高一（下）2月月考数学试卷（含详细解答）

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1、19市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域是半径为R的圆面该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界ABAD2万米，BC3万米，CD1万米（注解：圆内接四边形对角互补）（1）求原棚户区建筑用地ABCD中对角A，C两点的距离；（2）请计算出原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆的半径R；（3）因地理条件的限制，边界AD，DC不能变更，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值20（16分）设an是首项为a，公差为d的等差数列（d0），Sn是前n

2、项和记bn，nN*，其中c为实数（1）若数列cn满足cn，证明：数列cn等差数列（2）若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk（k，nN*）；（3）若bn是等差数列，证明：c02018-2019学年江苏省南京一中高一（下）2月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1（3分）等差数列an中，a1+a510，a47，则数列an的公差为2【分析】由等差数列的性质，结合a1+a510求出a3，由等差数列的定义求得公差【解答】解：在等差数列an中，由a1+a510，得2a310，a35又a47，数列an的公差d为a4a3752故答案为：2【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中

3、项的概念，是基础题2（3分）在ABC中，a7，b4，则ABC的最小角为弧度【分析】由三角形中大边对大角可知，边c所对的角C最小，然后利用余弦定理的推论求得cosC，则答案可求【解答】解：在ABC中，a7，b4，由大边对大角可知，边c所对的角C最小，由余弦定理可得：cosC0C，C故答案为：【点评】本题考查余弦定理的应用，考查了三角形中的边角关系，是基础题3（3分）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A、C两点之间的距离为千米【分析】先由A点向BC作垂线，垂足为D，设ACx，利用三角形内角和求得ACB，进而表示出AD，进而在RtABD中，表示出AB和AD的关系求得

4、x【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设ACx，CAB75，CBA60，ACB180756045ADx在RtABD中，ABsin60xx（千米）答：A、C两点之间的距离为千米故答案为：下由正弦定理求解：CAB75，CBA60，ACB180756045又相距2千米的A、B两点，解得AC答：A、C两点之间的距离为千米故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用主要是利用了三角形中45和60这两个特殊角，建立方程求得AC4（3分）设Sn为等比数列an的前n项和，若8a2+a50，则11【分析】利用等比数列的通项公式将已知等式8a2+a50用首项和公比表示，求出公比；再利用等比数列的前n项

5、和公式表示，将公比的值代入其中求出值【解答】解：8a2+a508a1q+a1q40q2故答案为：11【点评】解决等比数列、等差数列两个特殊数列的有关问题，一般利用通项及前n项和公式得到关于基本量的方程，利用基本量法来解决5（3分）在ABC中，B30，AB2，面积S，AC2【分析】由已知利用三角形的面积公式可求BC的值，进而根据余弦定理可求AC的值【解答】解：在ABC中，B30，AB2，面积SABBCsinB，解得：BC2，由余弦定理可得：AC2故答案为：2【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题6（3分）等比数列an的前n项和为Sn，已知S

6、1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为【分析】先根据等差中项可知4S2S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，ana1qn1，又4S2S1+3S3，即4（a1+a1q）a1+3（a1+a1q+a1q2），解故答案为【点评】本题主要考查了等比数列的性质属基础题7（3分）在ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a5，A，cosB，则边c7【分析】利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinB，利用正弦定理即可求b的值，利用余弦定理即可解得c的值【解答】解：c

7、osB，a5，A，sinB，由正弦定理可得：b4，由余弦定理可得：b2a2+c22accosB，即：3225+c26c，解得：c7或1（舍去）故答案为：7【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题8（3分）在ABC中，已知a，b，c分别为内角A、B、C的对边，若b2a，BA+60，则A30【分析】通过正弦定理以及两角和的正弦函数，化简b2a，求出tanA，然后求出A的大小【解答】解：因为b2a由正弦定理得：sinB2sinA，BA+60sin（A+60）2sinAsinA+cosA2sinAcosA3sinAtanA，而A（0

8、，180）所以A30故答案为：30【点评】本题考查正弦定理以及两角和的正弦函数的应用，考查计算能力9（3分）在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c已知a+c2b，sinBsinC，则cosA【分析】利用正弦定理化简已知第二个等式得到bc，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的b与a代入计算即可求出值【解答】解：将sinBsinC利用正弦定理化简得：bc，代入a+c2b中得a+c2c，即ac，cosA故答案为：【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键10（3分）已知在ABC中，D是AC边上的点，且ABAD，BDAD，BC2AD，则sinC的

9、值为【分析】由已知直接利用正弦定理和余弦定理即可求出结果【解答】解：在ABC中，D是AC边上的点，且ABAD，BDAD，则：在ABD中，利用余弦定理可得：cosA，由于0A，则：sinA，在ABC中，利用正弦定理：，ABAD，BC2AD，解得：sinC故答案为：【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，属于基础题11（3分）已知an是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S42S2+4，若对任意的nN*，都有SnS8成立，则首项a1的取值范围（8，7【分析】根据S42S2+4可得d1，又因为对任意的nN*，都有SnS8成立，所以，所以，解得

10、8a17【解答】解：依题意，an是公差为d的等差数列，S42S2+4，即4a1+6d4a1+2d+4，所以d1，又因为对任意的nN*，都有SnS8成立，所以，所以，解得8a17故答案为：8，7【点评】本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，等差数列的单调性，属于中档题12（3分）已知两个等差数列an、bn，它们的前n项和分别是Sn、Tn，若，则【分析】因为，所以设Sn（2n2+3n）k，Tn（3n2+n）k，将转化为前n项和处理即可【解答】解：因为，所以设Sn（2n2+3n）k，Tn（3n2n）k，则故答案为：【点评】本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列前n项和与二次函数

11、的关系属于基中档题13（3分）各项均为实数的等比数列an的前n项和为Sn，若S1010，S3070，则S40等于150【分析】由题意易得公比q1，由求和公式可得和q10的方程组，解得代入求和公式可得S40【解答】解：若公比q1，由S1010可得S303070，故公比q1，S1010，S3070，可得1+q10+q207，解得q102，或q103，等比数列an的各项均为实数，q102，代回式可得10S4010（124）150故答案为：150【点评】本题考查等比数列的前n项和，涉及分类讨论的思想和整体的思想，属中档题14（3分）在ABC中，若tanAtanBtanAtanC+tanctanB，则

12、3【分析】由已知的等式可得 ，即 1，即，由余弦定理求出cosC代入化简 即得的值【解答】解：已知等式即  ，亦即，即1，即 所以，故故答案为：3【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，把角的关系转化为边的关系，是解题的关键二、解答题15设等比数列an的前n项的和为Sn，若S2+S32S4，求数列的公比q【分析】由S2+S32S4，可得2a4+a30，即可得出【解答】解：S2+S32S4，2a4+a30，a4a3，q【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16已知an为等差数列，且a1+a38，a2+a412（）求

13、an的通项公式（）记an的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值【分析】（）设等差数列an的公差等于d，则由题意可得，解得 a12，d2，从而得到an的通项公式（） 由（）可得 an的前n项和为Snn（n+1），再由a1Sk+2 ，求得正整数k的值【解答】解：（）设等差数列an的公差等于d，则由题意可得，解得 a12，d2an的通项公式 an2+（n1）22n（） 由（）可得 an的前n项和为Snn（n+1）若a1，ak，Sk+2成等比数列，a1 Sk+2 ，4k2 2（k+2）（k+3），k6 或k1（舍去），故 k6【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数

14、列的通项公式，属于中档题17在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，2acosC+2ccosAa+c（）若，求的值；（）若，且ca8，求ABC的面积S【分析】（）由题意，可利用正弦定理化简，可得的值；（）利用余弦定理求出b，a的值，即可求解ABC的面积S【解答】解：2acosC+2ccosAa+c由正弦定理：2sinAcosC+2sinCcosAsinA+sinCsinA+sinC2sin（A+C）2sin（B）2sinBa+c2b（），由得：（）ca8，a+c2bba+4，ca+8，由余弦定理得：，解得：a6b10故得ABC的面积【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查

15、运算能力，属于基础题18如图，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE1，EC，EA2ADC，且CBE，BEC，BCE成等差数列（1）求sinCED；（2）求BE的长【分析】（1）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论（2）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论【解答】解：（1）由于CBE，BEC，BCE成等差数列，可得：2BECBCE+CBE，又CBE+BEC+BCE，可得：BEC，设CED，在CDE中，由余弦定理得EC2CD2+ED22CDDEcosCDE，即7CD2+1+CD，则CD2+CD60，解得CD2或CD3，（舍去），在CDE中，由正弦定理得 ，则si

16、n，即sinCED（2）由题设知0，由（）知cos，而AEB，cosAEBcos（）coscos+sinsin+，在RtEAB中，cosAEB，故BE4【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域是半径为R的圆面该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界ABAD2万米，BC3万米，CD1万米（注解：圆内接四边形对角互补）（1）求原棚户区建筑用地ABCD中对角A，C两点的距离；（2）请计算出原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆的半径

17、R；（3）因地理条件的限制，边界AD，DC不能变更，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值【分析】（1）由ABC+ADC180及余弦定理，可求ABC60，在ABC中再用余弦定理即可求得AC；（2）S四边形ABCDSABC+SADC，利用三角形面积公式即可求得；（3）S四边形APCDSADC+SAPC，易求SADC，设APx，CPy，由余弦定理得：AC2x2+y22xycos60x2+y2xy28x2+y2xy2xyxyxy，可求xy的最大值，从而可得SAPC的最大值，作AC的垂直平分线与

18、圆弧ABC的交点即为点P【解答】解：（1）ABC+ADC180，ABAD2，BC3，CD1，由余弦定理，得AC2AB2+BC22ABBCcosABCAD2+DC22ADDCcosADCcosABC，ABC（0，180），ABC60，ADC120AC2AB2+BC22ABBCcosABC7，AC，即原棚户区建筑用地ABCD中对角A，C两点的距离为万米；（2）SABCD由正弦定理，得2R，R；（3）SAPCDSADC+SAPC，又SADC，设APx，CPy，则SAPCxy，由余弦定理，得AC2x2+y22xycos60x2+y2xy2xyxyxy，xy7，当且仅当xy时取等号，SAPCD，作AC的

19、垂直平分线与圆弧ABC的交点即为点P，最大面积为【点评】该题考查利用余弦定理解决实际问题，考查学生的运算求解能力，根据实际问题正确建立数学模型是解题关键，属中档题20（16分）设an是首项为a，公差为d的等差数列（d0），Sn是前n项和记bn，nN*，其中c为实数（1）若数列cn满足cn，证明：数列cn等差数列（2）若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk（k，nN*）；（3）若bn是等差数列，证明：c0【分析】（1）求出等差数列的前n项和Sn，代入cn并整理，再由等差数列的定义证明数列cn等差数列；（2）写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b1，b2，b4成等比数列得到

20、首项和公差的关系，代入前n项和公式得到Sn，在前n项和公式中取nnk可证结论；（3）把Sn代入bn中整理得到bn，由等差数列的通项公式是bnAn+B的形式，说明，由此可得到c0【解答】证明：（1），cn，cn+1cn为常数，数列cn等差数列；（2）若c0，则ana1+（n1）d，Sn，当b1，b2，b4成等比数列时，则，即：（a+）2a（a+），得：d22ad，又d0，故d2a因此：，Snk（nk）2an2k2a，故：Snkn2Sk（k，nN*）；（3）bn  若bn是等差数列，则bn的通项公式是bnAn+B型观察式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即c0，而0，故c0经检验，当c0时bn是等差数列【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，考查了推理能力与计算能力，解答此题的关键是理解并掌握非常数等差数列的通项公式是关于n的一次函数，是中档题