2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高一（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）已知集合A0，1，B1，2，则AB 2（5分）函数f（x）ln（3x1）的定义域是 3（5分）已知幂函数f（x）xa（a为常数）的图象过点（2，），那么实数a 4（5分）已知x+x12，则x2+x2的值为 5（5分）函数f（x）loga（x+1）+2（a0且a1）的图象过定点P，则P点的坐标是 6（5分）关于x的方程31x20的解为 7（5分）已知aln0.32，blg2，c（0.45）0.3，则a，b，c大小关系为 8（5分）关于x的不等

2、式log3（x22x）1的解集为 9（5分）建造一个容积为8m3、深为2m的长方体形状的无盖水池，已知池底和池壁的造价别为100元/m2和60元/m2，总造价y（单位：元）关于底面一边长x（单位：m）的函数解析式为 10（5分）已知函数f（x）在定义域内为奇函数，则实数a 11（5分）已知函数f（x）x2+2|x|1，则函数f（x）的值域是 12（5分）已知定义在R上的函数f（x），满足对任意x1x2都有0成立，则实数m的取值范围是 13（5分）设函数f（x）x3+1，若f（12a）f（a），则实数a的取值范围是 14（5分）设f（x）是定义在R上的函数且f（x+2），在区间1，1上，f（x）

3、，其中a，bR，若f（）f（），则2a+b的值为 二、简答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）设UR，Ax|1x3，Bx|2x4，Cx|axa+1，a为实数，（1）分别求AB，A（UB）；（2）若BCC，求a的取值范围16（14分）计算下列各式的值：（1）；（2）17（14分）已知二次函数f（x）过点（，1）、（0，1），且最小值为（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数yf（1log2x），x2，4的最小值，并求出此时x的值18（16分）已知函数f（x），xR（1）试判断函数f（x）在R上的单调性，并证明之；（2）已

4、知函数g（x）f（x）+x2，试判断函数f（x）在R上的奇偶性，并证明之19（16分）已知函数yf（x）为偶函数，当x0时，f（x）x2+2ax+1，（a为常数）（1）当x0时，求f（x）的解析式：（2）设函数yf（x）在0，5上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（3）对于（2）中的g（a），试求满足g（8m）g（）的所有实数m的取值集合20（16分）已知二次函数f（x）ax2+bx+1（a0）（1）若函数在（2，+）上单调递减，求f（4）的最大值；（2）若函数ylgf（x）定义域为R，且f（1）1，求实数a的取值范围：（3）当b8时，对于给定的负数a，有一个最大的正数l（a）使得在整个

5、区间0，l（a）上，不等式|f（x）|5都成立，求l（a）的最大值2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）已知集合A0，1，B1，2，则AB0，1，2【分析】根据交集的定义写出AB即可【解答】解：集合A0，1，B1，2，则AB0，1，2故答案为：0，1，2【点评】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题2（5分）函数f（x）ln（3x1）的定义域是（，+）【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可【解答】解：由题意得：3x10，解得：x，故函数的定义域是：，

6、故答案为：（，+）【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题3（5分）已知幂函数f（x）xa（a为常数）的图象过点（2，），那么实数a【分析】直接将点（2，）的坐标代入计算即可【解答】解：因为幂函数f（x）xa（a为常数）的图象过点（2，），所以f（2），即2a，解得：a，故答案为：【点评】本题考查了函数的解析式的求法，属基础题4（5分）已知x+x12，则x2+x2的值为2【分析】直接把x+x12两边平方求解即可【解答】解：x+x12，（x+x1）2x2+x2+2224，x2+x22故答案为：2【点评】本题考查了利用指数幂的性质化简求值，属于基础题5（5分）函数f（

7、x）loga（x+1）+2（a0且a1）的图象过定点P，则P点的坐标是（0，2）【分析】先通过所学知识推断出f（x）logax恒过的点，进而根据图象平移的法则求得答案【解答】解：函数f（x）logax恒过（1，0）点，而函数f（x）loga（x+1）+2，是由函数f（x）logax向左平移一个单位后，又向上平移2个单位，故函数f（x）loga（x+1）+2横过（0，2）点故答案为：（0，2）【点评】本题主要考查了对数函数的图象与性质解此题，采用数形结合的思想较好6（5分）关于x的方程31x20的解为xlog3（x1log32）【分析】将方程化成指数式，再化成对数式即可【解答】解：由31x20得

8、31x2，得1xlog32，x1log32故答案为：x1log32【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系属基础题7（5分）已知aln0.32，blg2，c（0.45）0.3，则a，b，c大小关系为abc【分析】利用指数函数与对数函数的单调性与0，1比较即可得出大小关系【解答】解：aln0.320，blg2（0，1），c（0.45）0.31，故答案为：abc【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8（5分）关于x的不等式log3（x22x）1的解集为（，1）（3，+）【分析】由不等式可得x22x3，求解即可得不等式的解集【解答】解：由不等式log3（

9、x22x）1，可得x22x3，解得x1或x3，log3（x22x）1的解集为x1或x3故答案为：（，1）（3，+）【点评】本题主要考查对数不等式的解法，体现了数学的转化思想方法，属于基础题9（5分）建造一个容积为8m3、深为2m的长方体形状的无盖水池，已知池底和池壁的造价别为100元/m2和60元/m2，总造价y（单位：元）关于底面一边长x（单位：m）的函数解析式为y320x+480（元）（x0）【分析】依题意，底面一边长xm，另一边长为 m，利用池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2可求得函数解析式yf（x）注明x的取值范围；【解答】解：无盖长方体的深为2m，底面一边长xm，容积

10、为8m3，另一边长为 m，S侧（2x+2）2（4x+）（m2），S底4（m2），池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2，总造价y80（4x+）+1204320x+480（元）（x0）故答案为：y320x+480（元）（x0）【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式，考查分析与解答的能力，属于中档题10（5分）已知函数f（x）在定义域内为奇函数，则实数a3【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（x）f（x），即（），变形可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）在定义域内为奇函数，则f（x）f（x），即（），变形可得：（a3）2x0，必有a3；故答案为：3【点评】本题考查

11、函数奇偶性的性质以及应用，关键是求出a的值，属于基础题11（5分）已知函数f（x）x2+2|x|1，则函数f（x）的值域是1，+）【分析】根据偶函数的对称性，只需求x0时，函数的值域【解答】解：因为f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，所以只需求x0时的值域，当x0时，f（x）x2+2x1（x+1）22在0，+）上递增，所以f（x）f（0）1，故答案为：1，+）【点评】本题考查了二次函数的性质与图象属基础题12（5分）已知定义在R上的函数f（x），满足对任意x1x2都有0成立，则实数m的取值范围是（0，4【分析】由已知中对任意x1x2都有0成立可得：函数f（x）在R为上增函数，列出不等式，解得实

12、数m的取值范围【解答】解：定义在R上的函数f（x），由已知中对任意x1x2都有0成立，可得：函数f（x）在R为上增函数，则，解得：0m4，故答案为：（0，4【点评】本题考查的知识点是分段函数的单调性，难度中档13（5分）设函数f（x）x3+1，若f（12a）f（a），则实数a的取值范围是（，+）【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可得函数f（x）在R上为增函数，进而分析可得：若f（12a）f（a），则有12aa，解可得a的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）x3+1，定义域为R，其导数为f（x）3x20，即函数f（x）在R上为增函数，若f（12a）f（a），则有12aa，解

13、可得a，即a的取值范围为（，+）；故答案为：（，+）【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，注意函数的定义域，属于基础题14（5分）设f（x）是定义在R上的函数且f（x+2），在区间1，1上，f（x），其中a，bR，若f（）f（），则2a+b的值为5【分析】由条件可得f（）f（），f（1）f（1），根据已知的函数的解析式可得a，b的方程，解方程可得a，b，进而得到所求值【解答】解：f（x）是定义在R上的函数且f（x+2），且在区间1，1上，f（x），可令x1可得f（1）f（1），即（1a），又f（）f（）f（），即有（1a），由解得a6，b7，可得2a+b5故答案为：5【点评】本题考查分段

14、函数，注意运用赋值法，考查运算能力，属于中档题二、简答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）设UR，Ax|1x3，Bx|2x4，Cx|axa+1，a为实数，（1）分别求AB，A（UB）；（2）若BCC，求a的取值范围【分析】本题（1）先求出集合B的补集，再求出A（UB），得到本题结论；（2）由BCC得到CB，再比较区间的端点，求出a的取值范围，得到本题结论【解答】解：（1）Ax|1x3，Bx|2x4，uBx|x2或x4，ABx|2x3，A（UB）x|x3或x4（2）BCC，CBBx|2x4，Cx|axa+1，2a，a+14

15、，2a3【点评】本题考查了集合运算的知识，本题难度不大，属于基础题16（14分）计算下列各式的值：（1）；（2）【分析】（1）直接由分数指数幂的运算性质求解即可；（2）直接由对数的运算性质求解即可【解答】解：（1）21+8+7281；（2）【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值，考查了对数的运算性质，是基础题17（14分）已知二次函数f（x）过点（，1）、（0，1），且最小值为（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数yf（1log2x），x2，4的最小值，并求出此时x的值【分析】（1）用待定系数法设出二次函数的解析式，再根据题意列式，解方程组可得；（2）换元后变成二次函数求最值【解答】解（1

16、）由题意得：对称轴x，设f（x）a（x+）2+（a0），又过点（0，1），代入得1+，解的a2，所以f（x）2（x+）2+（或f（x）2x2+x+1）；（2）f（1log2x）2（1log2x）2+1log2x+12（log2x）25log2x+42（log2 x）2+令tlog2x，因为x2，4，所以t1，2，则原函数可化为：y2（t）2+ ，t1，2t1，2因为对称轴为t，所以当t时，ymin；此时x22【点评】本题考查了二次函数的性质与图象属基础题18（16分）已知函数f（x），xR（1）试判断函数f（x）在R上的单调性，并证明之；（2）已知函数g（x）f（x）+x2，试判断函数f（x）

17、在R上的奇偶性，并证明之【分析】（1）根据题意，将函数的解析式变形可得f（x）1，任取x1，x2R，且x1x2，由作差法分析可得答案；（2）根据题意，由函数的解析式求出g（1）与g（1）的值，由函数奇偶性的定义分析可得结论【解答】解：（1）根据题意，f（x）在R上为单调增函数，证明如下：f（x）1，任取x1，x2R，且x1x2，则f（x1）f（x2）（1）（1），又由x1x2，则（）0，（+1）0，（+1）0，则f（x1）f（x2）0，所以f（x）在R上为单调增函数；（2）f（x）在R上为非奇非偶函数，证明如下：g（1），g（1），则有g（1）g（1），所以f（x）在R上为非奇非偶函数【点评】

18、本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的判定方法，属于基础题19（16分）已知函数yf（x）为偶函数，当x0时，f（x）x2+2ax+1，（a为常数）（1）当x0时，求f（x）的解析式：（2）设函数yf（x）在0，5上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（3）对于（2）中的g（a），试求满足g（8m）g（）的所有实数m的取值集合【分析】（1）设x0，根据题意利用偶函数的定义求出f（x）的解析式；（2）讨论a的取值范围，求出x0，5时f（x）的最大值，用分段函数表示即可；（3）根据分段函数求出g（a）满足g（8m）g（）时m的取值即可另解讨论m的取值范围，根据题意

19、列方程，从而求出m的取值集合【解答】解：（1）设x0，则x0，所以f（x）（x）2+2a（x）+1x22ax+1；又因为f（x）为偶函数，所以f（x）f（x），所以当x0时，f（x）x22ax+1； （4分）（2）当x0，5时，f（x）x2+2ax+1，对称轴xa，当a，即a时，g（a）f（0）1；当a，即a时，g（a）f（5）10a+26；综上所述，g（a）； （10分）（3）由（2）知g（a），当a时，g（a）为常函数；当a时，g（a）为一次函数且为增函数；因为g（8m）g（），所以有或，解得m或，即m的取值集合为m|m或m（16分）另解（3）当8m，有m，所以（，0），则或，解得m或m，

20、取并集得m；当8m，有m，所以（，0，+），则或；解得m或m（舍负）；综上所述，m的取值集合为m|m或m【注：最后结果不写集合不扣分】【点评】本题考查了函数的定义与应用问题，也考查了分类讨论和转化思想的应用问题，是综合题20（16分）已知二次函数f（x）ax2+bx+1（a0）（1）若函数在（2，+）上单调递减，求f（4）的最大值；（2）若函数ylgf（x）定义域为R，且f（1）1，求实数a的取值范围：（3）当b8时，对于给定的负数a，有一个最大的正数l（a）使得在整个区间0，l（a）上，不等式|f（x）|5都成立，求l（a）的最大值【分析】（1）由题意可得a0且对称轴在2的左边，可得f（4）

21、的最大值；（2）由题意可知ax2+bx+10恒成立，可得a0且判别式小于0，结合f（1）0，解不等式可得a的范围；（3）求得f（x）的对称轴和顶点坐标，讨论对称轴与5的关系，可得l（a）的分段函数解析式，运用单调性求得最大值【解答】解：（1）由题意可知，所以4a+b0，所以f（4）16a+4b+11即最大值为1；（2）由题意可知ax2+bx+10恒成立，所以因为f（1）1，所以a+b0，即ba，所以0a4；（3）因为函数f（x）ax2+8x+1对称轴为，顶点坐标，当时，即a4，此时令ax2+8x+15，即ax2+8x+60，由a0可知，当时，即4a0，此时令ax2+8x+15，即ax2+8x40，由a0可知，所以，有理化得，当a4时l（a）单调递增，当4a0时l（a）单调递减，l（a）l（4）1，所以l（a）的最大值为，此时a4【点评】本题考查二次函数的图象和性质，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性的运用，以及分类讨论思想方法，化简整理的运算能力，属于中档题