专题14 电磁导轨模型（1）-高考物理模型法之算法模型法（解析版）

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1、模型界定本模型是指导体棒在导轨上相对磁场滑动以及磁场变化时所涉及的各类问题.具体来说,从导体棒的数目上来划分,包括单棒与双棒;从导体棒受力情况来划分,包括除安培力外不受其它力的、其它力为恒力的、其它力为变力的;从导体棒的运动性质来划分,包括匀速运动的、匀变速运动的、变加速运动的;从组成回路的器材来划分,包括电阻与导体棒、电源与导体棒、电容与导体棒;从导轨的位置划分,包括水平放置、倾斜放置与竖直放置;从导轨形状来划分,包括平行等间距直导轨、平行不等间距直导轨及其它形状导轨;从磁场情况来划分,包括恒定的静止磁场、恒定的运动磁场、随时间变化的磁场、随空间变化的磁场等.模型破解1.三个考查角度(i)力

2、电角度：与“导体单棒”组成的闭合回路中的磁通量发生变化导体棒产生感应电动势感应电流导体棒受安培力合外力变化加速度变化速度变化感应电动势变化，循环结束时加速度等于零或恒定，导体棒达到稳定运动状态。(ii)电学角度：判断产生电磁感应现象的那一部分导体（电源）利用或求感应电动势的大小利用右手定则或楞次定律判断电流方向分析电路结构画等效电路图(iii)力能角度：电磁感应现象中，当外力克服安培力做功时，就有其他形式的能转化为电能；当安培力做正功时，就有电能转化为其他形式的能。2.五类方程(i)动力学方程(此式是矢量表达式,注意方向)(ii)电学方程闭合电路欧姆定律:对于电容器:(iii)电量方程(要求I

3、是平均值)(要求电路中无外加电源也无电容)(要求回路中只有导体棒切割产生的动生电动势)(iv)动量方程动量定理:(替代方程:)动量守恒:(替代方程:与)(v)能量方程焦耳定律:(要求I是有效值)功能关系:能量守恒:其中(i)(ii)类方程常用来联立分析滑杆的收尾速度，某一速度下的加速度或某一加速的速度,临界状态及条件.(iii)(iv)(v)类方程能将位移、时间相联系，可用来求解电量、能量、时间、位移等问题,收尾速度也可从稳定状态下能量转化与守恒的角度求解.例1.(电阻电容与电源)在下图甲、乙、丙中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，甲图中的电容器C原来不带电.设导体棒、导轨和直流电源的

4、电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均在水平面内，且都处于垂直水平面方向（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长.现给导体棒ab一个向右的初速度v0，在甲、乙、丙三种情形下导体棒ab的最终运动状态是例1题图A.三种情形下导体棒ab最终都做匀速运动B.甲、丙中，ab棒最终将以不同速度做匀速运动；乙中，ab棒最终静止C.甲、丙中，ab棒最终将以相同速度做匀速运动；乙中，ab棒最终静止D.三种情形下导体棒ab最终都静止【答案】B例2.(恒力与电容)如图所示，整个装置处于匀强磁场中，竖起框架之间接有一电容器C，金属棒AD水平放置，框架及棒的电阻不计，框架足够长，在金属棒紧贴框架下滑过程中（

5、金属校友会下滑过程中始终与框架接触良好），下列说法正确的是例2题图A金属棒AD最终做匀速运动B金属棒AD一直做匀加速运动C金属棒AD下滑的加速度为重力加速度gD. 金属棒AD下滑的加速度小于重力加速度g【答案】BD例3.如图所示，de和fg是两根足够长且固定在竖直方向上的光滑金属导轨，导轨间距离为L、电阻忽略不计。在导轨的上端接电动势为E、内阻为r的电源。一质量为m、电阻为R的导体棒以ab水平放置于导轨下端e、g处，并与导轨始终接触良好。导体棒与金属导轨、电源、开关构成闭合回路，整个装置所处平面与水平匀强磁场垂直，磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外。已知接通开关S后，导体棒ab由静止开始

6、向上加速运动。求：例3题图（1）导体棒ab刚开始向上运动时的加速度以及导体棒ab所能达到的最大速度；（2）导体棒ab达到最大速度后电源的输出功率；（3）分析导体棒ab达到最大速度后的一段时间t内，整个同路中能量是怎样转化的?并证明能量守恒。【答案】（1）、（2）（3）见解析设导体棒ab向上运动的最大速度为，当导体棒所受重力与安培力相等时，达到最大速度，回路电流为由欧姆定律得（2）电源的输出功率（3）电源的电能转化为导体棒的机械能和电路中产生的焦耳热之和，时间内：电源的提供的电能导体棒ab增加的机械能电路中产生的焦耳热t时间内，导体棒ab增加的机械能与电路中产生的焦耳热之和为整理得由此得到，回路

7、总能量守恒。例.如图所示，足够长的金属导轨MN和PQ与R相连，平行地放在水平桌面上，质量为m的金属杆可以无摩擦地沿导轨运动导轨与ab杆的电阻不计，导轨宽度为L，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过整个导轨平面现给金属杆ab一个瞬时初速度v0，使ab杆向右滑行例3题图（1）求回路的最大电流（2）当滑行过程中电阻上产生的热量为Q时，杆ab的加速度多大？（3）杆ab从开始运动到停下共滑行了多少距离？【答案】（1）（2）（3）由牛顿第二定律得：BIL = ma 由闭合电路欧姆定律得：I = 解得：（3）解法一:利用动量定理对全过程应用动量定理有：BILt = 0 mv0 而I = = 解得： 例.如图所示

8、，质量m1=0.1kg，电阻R1=0.3，长度l=0.4m的导体棒ab横放在U型金属框架上。框架质量m2=0.2kg，放在绝缘水平面上，与水平面间的动摩擦因数=0.2，相距0.4m的MM、NN相互平行，电阻不计且足够长。电阻R2=0.1的MN垂直于MM。整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.5T。垂直于ab施加F=2N的水平恒力，ab从静止开始无摩擦地运动，始终与MM、NN保持良好接触，当ab运动到某处时，框架开始运动。设框架与水平面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2.例题图(1)求框架开始运动时ab速度v的大小；（2）从ab开始运动到框架开始运动的过程中，MN上产生

9、的热量Q=0.1J，求该过程ab位移x的大小。【答案】（1）m/s(2)1.1m【解析】（1）对框架的压力 框架受水平面的支持力 依题意，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则框架受到最大静摩擦力 中的感应电动势 中电流 受到的安培力 F 框架开始运动 由上述各式代入数据解得 （2）闭合回路中产生的总热量 由能量守恒定律，得 代入数据解得 例.如图所示，宽度L=1.0m的足够长的U形金属框架水平放置，框架处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=1.0T，框架导轨上放一根质量m=0.2kg、电阻R=1.0的金属棒ab，棒ab与导轨间的动摩擦因数=0.5，现牵引力F以恒定功率P=12W使棒从静止开始沿导轨

10、运动（ab棒始终与导轨接触良好且垂直），当棒的电阻R产生热量Q=7.0J时获得稳定速度，此过程中通过棒的电量q=4.1C。框架电阻不计，g取10m/s2。求：例题图（1）ab棒达到的稳定速度多大？（2）ab棒从静止到稳定速度的时间多少？【答案】（1）m/s（）s【解析】：（1）解法一:利用平衡条件设棒获得的稳定速度为v，则棒稳定时：联解以上各式并取合理值得：v=3m/s解法二:利用能量守恒稳定时棒匀速运动,外力做功所转化的能量全部转化为焦耳热与摩擦产生的热量.设棒匀速运动时的速度为v,经过时间t,由能量守恒有联立可得或(舍去)例.如图，光滑的平行金属导轨水平放置，电阻不计，导轨间距为l，左侧接

11、一阻值为R的电阻。区域cdef内存在垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，磁场宽度为s。一质量为m，电阻为r的金属棒MN置于导轨上，与导轨垂直且接触良好，受到F0.5v0.4（N）（v为金属棒运动速度）的水平力作用，从磁场的左边界由静止开始运动，测得电阻两端电压随时间均匀增大。（已知l1m，m1kg，R0.3W，r0.2W，s1m）例题图（1）分析并说明该金属棒在磁场中做何种运动；（2）求磁感应强度B的大小；（3）若撤去外力后棒的速度v随位移x的变化规律满足vv0x，且棒在运动到ef处时恰好静止，则外力F作用的时间为多少？（4）若在棒未出磁场区域时撤去外力，画出棒在整个运动过程中速度随位移的变化所对

12、应的各种可能的图线。【答案】（1）匀加速运动（）0.5T（）s（）见解析（4）如图所示例题答图例.如图，一直导体棒质量为m、长为l、电阻为r，其两端放在位于水平面内间距也为l的光滑平行导轨上，并与之密接：棒左侧两导轨之间连接一可控制的负载电阻（图中未画出）；导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨所在平面。开始时，给导体棒一个平行于导轨的初速度v0在棒的运动速度由v0减小至v1的过程中，通过控制负载电阻的阻值使棒中的电流强度I保持恒定。导体棒一直在磁场中运动。若不计导轨电阻，求此过程中导体棒上感应电动势的平均值和负载电阻上消耗的平均功率。例题图【答案】l(v0v1)B ，l

13、(v0v1)BII2r 【解析】导体棒所受的安培力为 FIlB该力大小不变，棒做匀减速运动，因此在棒的速度从v0减小到v1的过程中，平均速度为 当棒的速度为v时，感应电动势的大小为 ElvB 棒中的平均感应电动势为 由式得 l(v0v1)B 导体棒中消耗的热功率为 P1I2r 负载电阻上消耗的平均功率为 P1 由式得 l(v0v1)BII2r 例.如图，宽度L=0.5m的光滑金属框架MNPQ固定板个与水平面内，并处在磁感应强度大小B=0.4T，方向竖直向下的匀强磁场中，框架的电阻非均匀分布，将质量m=0.1kg，电阻可忽略的金属棒ab放置在框架上，并且框架接触良好，以P为坐标原点，PQ方向为x

14、轴正方向建立坐标，金属棒从处以的初速度，沿x轴负方向做的匀减速直线运动，运动中金属棒仅受安培力作用。求：例题图（1）金属棒ab运动0.75m，框架产生的焦耳热Q；（2）框架中aNPb部分的电阻R随金属棒ab的位置x变化的函数关系；（3）为求金属棒ab沿x轴负方向运动0.4s过程中通过ab的电量q，某同学解法为：先算出金属棒的运动距离s，以及0.4s时回路内的电阻R，然后代入求解。指出该同学解法的错误之处，并用正确的方法解出结果。【答案】（）.（）（）见解析【解析】（1）解法一:利用焦耳定律，因为运动中金属棒仅受安培力作用，所以F=BIL,又，所以且，得,因R随时间均匀变化,则所以（2）在位置x

15、处,棒通过的位移,再由及可得（3）错误之处：因框架的电阻非均匀分布，所求是0.4s时回路内的电阻R，不是平均值,由可知利用此式求电量时需要知道电阻的倒数对位移的平均值。正确解法：因电流不变，所以。例.如图所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B.开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内例9

16、题图(1)求导体棒所达到的恒定速度v2；(2)为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少？(3)导体棒以恒定速度运动时，单位时间克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各多大？(4)若t0时磁场由静止开始水平向右做匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，其vt关系如图(b)所示，已知在时刻t导体棒瞬时速度大小为vt，求导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小【答案】（1）（2）（3），（4）（2）假设导体棒不随磁场运动,产生的感应电动势为此时阻力与安培力平衡,临界状态下有而可解得则若使导体棒能随磁场运动,应有（4）题中虽有t时刻棒的速度vt,但棒开始运动的时刻未知,直接从运动学角度

17、入手不易求解.需结合磁场的运动考虑.由于棒做匀加速运动时合力恒定,可知磁场与在任一时刻的速度差恒定,则要求磁场与导体棒在相等时间内的速度增量相同,即加速度相同.在时刻t,棒的速度为vt,磁场的速度设为vt,由从棒的运动有,从磁场的运动有,两式联立可得.例11.如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为，导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感强度B与时间的关系为比例系数一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直，在时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另

18、一端滑动，求在时金属杆所受的安培力.例1题图【答案】【解析】以表示金属杆运动的加速度，在时刻，金属杆与初始位置的距离此时杆的速度，这时，杆与导轨构成的回路的面积，回路中的感应电动势回路的总电阻 回路中的感应电流作用于杆的安培力 解得 ，代入数据为例12.如图所示，固定于水平面的U型金属导轨abcd，电阻不计，导轨间距L=10m，左端接有电阻R=2。金属杆PQ的质量m=02kg，电阻r=1，与导轨间动摩擦因数=02，滑动时保持与导轨垂直。在水平面上建立xoy坐标系，x0，的空间存在竖直向下的磁场，磁感应强度仅随横坐标x变化。金属杆受水平恒力F=24N的作用，从坐标原点开始以初速度v0=10m/s

19、向右作匀加速运动，经t1=04s到达x1=08m处，g取10m/s2。求：（1）磁感应强度B与坐标x应满足的关系（2）金属杆运动到x1处，PQ两点间的电势差（3）金属杆从开始运动到B=/2T处的过程中克服安培力所做的功【答案】（）（）.【解析】设金属杆运动的加速度为a， 则由 得：m/s2杆运动到坐标x处的速度设为，则 杆中产生的感应电动势杆受到的安培力由牛顿第二定律得：即：代入数据求得：当金属杆运动到T处，由（1）知对应的坐标，速度设金属杆PQ从开始运动到T处的过程中克服安培力所做的功根据动能定理：代入数据得：例13.如图所示，六段相互平行的金属导轨在同一水平面内，长度分别为L和2L，宽间距

20、的导轨间相距均为2L、窄间距的导轨间相距均为L，最左端用导线连接阻值为R的电阻，各段导轨间均用导线连接，整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中质量为m的导体棒可在各段导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直导轨和导体棒电阻均忽略不计现使导体棒从ab位置以初速度v0垂直于导轨向右运动，则Rv0BLLL2L2L2LL2Labcdc例13题图（1）若导体棒在大小为F、沿初速度方向的恒定拉力作用下运动，到达cd位置时的速度为v，求在此运动的过程中电路产生的焦耳热（2）若导体棒在水平拉力作用下向右做匀速运动，求导体棒运动到cd位置的过程中，水平拉力做的功和电路中电流的有效值（3）若导

21、体棒向右运动的过程中不受拉力作用，求运动到cd位置时的速度大小【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）设产生的焦耳热为Q，由功能关系有解得 设电流的有效值为I，由功能关系有其中 解得 解法二:利用有效值定义导体棒在宽间距和窄间距轨道上运动时，电路中产生的感应电流分别为 设电流的有效值为I，则有解得 整个过程中外力做功将能量先转化为电能,再全部转化为焦耳热,故由功能关系有则 同理 所以导体棒运动到cd位置时的速度大小解法二:动量定理对整个过程应用动量定理,有而 故例14.半径为a的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B0.2 T，磁场方向垂直纸面向里，半径为b的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂

22、直，其中a0.4 m，b0.6 m，金属环上分别接有灯L1、L2，两灯的电阻均为R2 ，一金属棒MN与金属环接触良好，棒和环的电阻忽略不计(1)若棒以v05 m/s的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO 的瞬时(如图所示)MN中的电动势和流过灯L1的电流；(2)撤去中间的金属棒MN，将右面的半圆环OL2O 以OO 为轴向上翻转90，若此后磁场随时间均匀变化，其变化率为B/t4T/s，求L1的功率【答案】（）0.4A（）等效电路如图(2)所示，感应电动势由于内外电路阻值相等,则内外电路消耗的功率相等,故L1的功率例15.如图所示,将一根绝缘硬金属导线弯曲成一个完整的正弦曲线形状,它通过两

23、个小金属环ab与长直金属杆导通,在外力F的作用下,正弦形金属线可以在杆上无摩擦滑动.杆的电阻不计,导线电阻为R,ab间距离为2L,导线组成的正弦图形的顶部或底部到杆的距离都是L/2.在导线与杆的平面内有一有界匀强磁场,磁场的宽度为2L,磁感应强度为B.现在外力作用下导线沿杆以恒定的速度向右运动,在运动中导线与杆组成的平面始终与磁场垂直.t=0时刻导线从O点进入磁场,直到全部穿过磁场,外力F所做功为例15题图A. B. C. D.【答案】B例1.如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距离为l=0.5m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30角。完全相同的两金属棒ab、cd分

24、别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m=0.02kg，电阻均为R=0.1，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.2T，棒ab在平行于导轨向上的力F作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd恰好能够保持静止。取g=10m/s2，问例16题图（1）通过棒cd的电流I是多少，方向如何？（2）棒ab受到的力F多大？（3）棒cd每产生Q=0.1J的热量，力F做的功W是多少？【答案】（1）1A，由d至c（2）0.2N（3）1.4J（3）设在时间t内棒cd产生Q=0.1J热量，由焦耳定律知 Q=I2Rt 设棒ab匀速运动的速度大小为v，其产生的感应电动势 E=B

25、lv 由闭合电路欧姆定律知 I 由运动学公式知在时间t内，棒ab沿导轨的位移 x=vt 力F做的功 W=Fx 综合上述各式，代入数据解得 W=0.4J 例17.如图，ab和cd是两条竖直放置的长直光滑金属导轨，MN和是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为m和2m。竖直向上的外力F作用在杆MN上，使两杆水平静止，并刚好与导轨接触；两杆的总电阻为R，导轨间距为。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直。导轨电阻可忽略，重力加速度为g。在t=0时刻将细线烧断，保持F不变，金属杆和导轨始终接触良好。求例17题图（1）细线烧断后，任意时刻两杆运动的速度之比；（2）两杆分别达到的

26、最大速度。【答案】（）（）、例18.如图所示存在范围足够大的磁场区,虚线OO为磁场边界,左侧为竖直向下的匀强磁场,磁感应强度为B1,右侧为竖直向上的磁感应强度为B2的匀强磁场区,B1=B2=B.有一质量为m且足够长的U形金属框架MNPQ平放在光滑的水平面上,框架跨过两磁场区,磁场边界OO与框架的两平行导轨MN、PQ垂直,两导轨相距为L,一质量为为m的金属棒垂直放在右侧磁场区光滑的水平导轨上,并用一不可伸长的绳子拉住,绳子能承受的最大拉力为F0,超过F0绳子会自动断裂,已知棒的电阻是R,导轨电阻不计,t=0时刻对U形金属框架施加水平向左的拉力F让其从静止开始做加速度为a的匀加速直线运动例18题图

27、(1) 求在绳未断裂前U形金属框架做匀加速运动t时刻水平拉力F的大小;绳子断开后瞬间棒的加速度(2) 若在绳子断开的时刻立即撤去拉力F,框架的导体棒将怎样运动,求出它们最终状态的速度(3) 在(2)的情景下,求出撤去拉力F后棒上产生的电热和通过导体棒的电荷量.【答案】(1)(2)(3),（2）在绳子断裂时刻由得此时的框架速度以后框架向左减速,棒向右加速,当两者速度大小相等时回路磁通量不再变化,各自匀速运动.由于框架和棒受到的安培力作用大小相等,且框架与棒有质量相等,所以任意时刻加速度大小相等,相等时间内速度变化的大小也相等,最终速度大小都是v,可得框架向左匀速运动,棒向右匀速运动另解:对框架由动量定理有对棒由动量定理有解之有速度由零增加到v的过程即另解:对棒由动量定理有 而再由(2)中知故有24