2017-2018学年湖南省长沙市浏阳一中高一（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2017-2018学年湖南省长沙市浏阳一中高一（下）期中数学试卷一选择题（共12小题，每个小题5分）1（5分）计算sin21cos9+sin69sin9的结果是（）ABCD2（5分）的值为（）ABCD3（5分）已知角2k（kZ），若角与角的终边相同，则y+的值为（）A1B1C3D34（5分）如图，函数f（x）Asin（2x+）（A0，|）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）5（5分）已知奇函数f（x）在1，0上为单调递减函数，又，为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（）Af（cos）f（cos）Bf（sin）f（sin）Cf（sin）

2、f（cos）Df（sin）f（cos）6（5分）已知则cos（）的值为（）ABCD7（5分）过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y24y0所截得的弦长为（）A2B2CD8（5分）已知偶函数yf（x）满足条件f（x+1）f（x1），且当x1，0时，f（x）3x+，则f（lo5）的值等于（）A1BCD19（5分）已知f（x）sin（x+）（0）的图象与y1的图象的相邻两交点间的距离为，要得到yf（x）的图象，只需把ycos2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位10（5分）设P（x，y）是曲线C：x2+y2+4x+30上任意一点，则的取值范围是（）A，B（，+

3、）C，D（，+）11（5分）已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，ABC是边长为2的正三角形，PA平面ABC，若三棱锥PABC的体积为2，则球O的表面积为（）A18B20C24D2012（5分）已知函数f（x），则方程f2（x）f（x）0的不相等的实根个数（）A5B6C7D8二填空题（共4小题，每个小题5分）13（5分）tan，求   14（5分）函数的单调递减区间是   15（5分）已知直线l：mxy4，若直线l与直线x+m（m1）y2垂直，则m的值为   16（5分）已知函数（），若函数F（x）f（x）3的所有零点依次记为x1，x2，x3，xn，且x1

4、x2x3xn，则x1+2x2+2x3+2xn1+xn   三解答题：（共六个大题，第一个大题10分，其余大题每个12分）17（10分）已知函数f（x）（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间0，上的单调区间18（12分）设函数f（x）sin（x）+sin（x），其中03，已知f（）0（）求；（）将函数yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）的图象，求g（x）在，上的最小值19（12分）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC

5、与BE的交点将ABE沿BE折起到如图2中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE（）证明：CD平面A1OC；（）当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值20（12分）已知0，sin（+）（1）求sin2的值；（2）求的值21（12分）已知直线l：4x+3y+100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由22（12分）已知函数f（x）x|xa|+2x（1）当a3时，方程

6、f（x）m的解的个数；（2）对任意x1，2时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）2x+1图象的下方，求a的取值范围；（3）f（x）在（4，2）上单调递增，求a的范围2017-2018学年湖南省长沙市浏阳一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一选择题（共12小题，每个小题5分）1（5分）计算sin21cos9+sin69sin9的结果是（）ABCD【分析】首先对式子的角度统一，然后逆用三角函数公式求值【解答】解：原式sin21cos9+cos21sin9sin（21+9）sin30；故选：B【点评】本题考查了三角函数式的化简与求值；关键是逆用三角函数两角和的正弦公式2（5分）的值为（）AB

7、CD【分析】首先根据诱导公式sin110sin（90+20）cos20，cos2155sin2155cos310，然后利用二倍角公式和诱导公式得出cos20sin20sin40，cos310cos（36050）cos50，即可求出结果【解答】解：原式故选：B【点评】本题考查了三角函数的诱导公式以及二倍角公式，熟练掌握公式能够提高做题速度，解题过程中要细心，属于基础题3（5分）已知角2k（kZ），若角与角的终边相同，则y+的值为（）A1B1C3D3【分析】先判断出角与角所在的象限，进而判断出sin，cos和tan的符号，化简原式即可【解答】解：依题意知为第四象限角，则也是第四象限角，sin0，c

8、os0，tan0，y1+111，故选：B【点评】本题主要考查了三角函数符号的判断，三角函数线的问题考查了学生对三角函数基础知识的理解和运用4（5分）如图，函数f（x）Asin（2x+）（A0，|）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）【分析】由函数图象可知A2，由图象过点（0，），可得sin，由|，可解得，由2x+k，kZ可解得f（x）的图象的对称中心是：（，0），kZ，对比选项即可得解【解答】解：由函数图象可知：A2，由于图象过点（0，），可得：2sin，即sin，由于|，解得：，即有：f（x）2sin（2x+）由2x+k，kZ可解得

9、：x，kZ，故f（x）的图象的对称中心是：（，0），kZ当k0时，f（x）的图象的对称中心是：（，0），故选：B【点评】本题主要考查由函数yAsin（x+ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题5（5分）已知奇函数f（x）在1，0上为单调递减函数，又，为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（）Af（cos）f（cos）Bf（sin）f（sin）Cf（sin）f（cos）Df（sin）f（cos）【分析】由“奇函数yf（x）在1，0上为单调递减函数”可知f（x）在0，1上为单调递减函数，再由“、为锐角三角形的两内角”可得到+，转化为0，两边再取正弦，可得1sinsin（）cos0

10、，由函数的单调性可得结论【解答】解：奇函数yf（x）在1，0上为单调递减函数f（x）在0，1上为单调递减函数，f（x）在1，1上为单调递减函数，又、为锐角三角形的两内角，+，0，1sinsin（）cos0，f（sin）f（cos），故选：D【点评】题主要考查奇偶性和单调性的综合运用，还考查了三角函数的单调性属中档题6（5分）已知则cos（）的值为（）ABCD【分析】把两个条件平方相加，再利用两角差的余弦公式求得cos（）的值【解答】解：已知，平方可得cos2+2coscos+cos2，sin2+2sinsin+sin2把和相加可得 2+2coscos+2sinsin，即 2+2cos（），解得

11、cos（），故选：A【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题7（5分）过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y24y0所截得的弦长为（）A2B2CD【分析】先由题意求得直线方程，再由圆的方程得到圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，即可求解【解答】解：根据题意：直线方程为：yx，圆x2+y24y0，圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d1，弦长为22，故选：A【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，是常考题型，属中档题8（5分）已知偶函数yf（x）满足条件f（x+1）f（x1），且当x1，0时，f（x）3x+，则f（lo5）的值等

12、于（）A1BCD1【分析】通过已知条件判断求出函数的周期，判断对数值的范围，利用偶函数与周期转化自变量的值满足已知函数表达式，求出函数值即可【解答】解：偶函数yf（x）满足条件f（x+1）f（x1），f（x+2）f（x），周期为：2，当x1，0时，f（x）3x+，lo5（2，1），2（0，1）f（lo5）f（2）f（2）1故选：D【点评】本题考查函数的周期奇偶性以及函数的解析式的应用，考查计算能力9（5分）已知f（x）sin（x+）（0）的图象与y1的图象的相邻两交点间的距离为，要得到yf（x）的图象，只需把ycos2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位

13、【分析】依题意可知f（x）sin（x+）的周期为，从而可求得，利用函数yAsin（x+）的图象变换即可求得答案【解答】解：f（x）sin（x+）（0）的图象与y1的图象的相邻两交点间的距离为，f（x）sin（x+）的周期T，又0，T，2；f（x）sin（2x+）令g（x）cos2xsin（2x+），则g（x）sin（2x+）g（x）sin2（x）+）sin（2x+）f（x），要想得到f（x）sin（2x+）的图象，只需将yg（x）cos2xsin（2x+）的图象右平移个单位即可故选：B【点评】本题考查函数yAsin（x+）的图象变换，求得的值是关键，考查平移知识与运算能力，属于中档题10（5分

14、）设P（x，y）是曲线C：x2+y2+4x+30上任意一点，则的取值范围是（）A，B（，+）C，D（，+）【分析】由曲线C方程是x2+y2+4x+30，知曲线C是一个圆，圆心坐标是（2，0），半径是1，关于x轴上下对称，设圆心为A，坐标原点为O，过O作直线OB与圆相切于B（取切点B在第三象限），直线OB与x轴的夹角为，则tan，由此入手能够求出的取值范围【解答】解：曲线C方程是x2+y2+4x+30，即（x+2）2+y21，故曲线C是一个圆，圆心坐标是（2，0），半径是1，关于x轴上下对称，设圆心为A，坐标原点为O，过O作直线OB与圆相切于B（取切点B在第三象限），直线OB与x轴的夹角为，则t

15、an，AO|2|2，AB1，AOB是直角三角形BO，故tan，曲线C是一个圆，关于X轴对称，时，直线与直线OB关于x轴对称，此时切点在第二象限，tantan（）故的取值范围是，故选：C【点评】本题考查直线与圆的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意圆的对称性的合理运用11（5分）已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，ABC是边长为2的正三角形，PA平面ABC，若三棱锥PABC的体积为2，则球O的表面积为（）A18B20C24D20【分析】由三棱锥PABC的体积为2，求出PA，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，求出球的半径，然后求出球

16、的表面积【解答】解：三棱锥PABC的体积为2，2，PA2，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，ABC是边长为2的正三角形，ABC外接圆的半径r2，球的半径为，球O的表面积为4520故选：B【点评】本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键12（5分）已知函数f（x），则方程f2（x）f（x）0的不相等的实根个数（）A5B6C7D8【分析】方程f2（x）f（x）0可解出f（x）0或f（x）1，方程f2（x）f（x）0的不相等的实根个数即两个函数f（x）0或f（x）1的所有不相等的

17、根的个数的和，根据函数f（x）的形式，求方程的根的个数的问题可以转化为求两个函数y0，y1的图象与函数f（x）的图象的交点个数的问题【解答】解：方程f2（x）f（x）0可解出f（x）0或f（x）1，方程f2（x）f（x）0的不相等的实根个数即两个函数f（x）0或f（x）1的所有不相等的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数y0，y1的图象与函数f（x）的图象的交点个数相同， 如图，由图象，y1的图象与函数f（x）的图象的交点个数有四个，y0的图象与函数f（x）的图象的交点个数有三个，故方程f2（x）f（x）0有七个解，故选：C【点评】本题考点是分段函数，考查解分段函数类型的方程，求其根的个数，

18、此类题常转化为求函数交点的个数，用图象法来求解二填空题（共4小题，每个小题5分）13（5分）tan，求【分析】所求式子分子分母同时除以cos，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan的值代入计算即可求出值【解答】解：tan，故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的应用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键14（5分）函数的单调递减区间是（1，1【分析】确定函数的定义域，设t（x）x2+2x+3，对称轴x1，根据复合函数的单调性判断即可【解答】解：，x2+2x+30，1x3，设t（x）x2+2x+3，对称轴x1，1根据复合函数的单调性判断：函数的调增区间为

19、（1，1故答案为（1，1【点评】本题考查了函数的性质，复合函数的单调性的求解，属于中档题，关键利用好定义域15（5分）已知直线l：mxy4，若直线l与直线x+m（m1）y2垂直，则m的值为0，2【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出【解答】解：当m0时，两条直线分别化为：y4，x2，此时两条直线垂直，因此m0满足条件；当m1时，两条直线分别化为：xy4，x2，此时两条直线不垂直，因此m1不满足条件；当m0，1时，两条直线分别化为：ymx4，yx+，若两条直线垂直，则1，解得m2综上可得：m0，2，两条直线相互垂直故答案为：0，2【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件

20、，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）已知函数（），若函数F（x）f（x）3的所有零点依次记为x1，x2，x3，xn，且x1x2x3xn，则x1+2x2+2x3+2xn1+xn445【分析】求出f（x）的对称轴，根据f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案【解答】解：令2x+k得x+，kZ，即f（x）的对称轴方程为x+，kZf（x）的最小正周期为T，f（x）在（0，）上有30条对称轴，x1+x22，x2+x32，x3+x42，xn1+xn2，将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+2xn1+xn2（+）230445故答案为：445【点评】本题考查了正弦函

21、数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题三解答题：（共六个大题，第一个大题10分，其余大题每个12分）17（10分）已知函数f（x）（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间0，上的单调区间【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得它的最小正周期（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）在区间0，上的单调区间【解答】解：（1）函数f（x）（sinx+cosx）2+cos2x1+sin2x+cos2x1+sin（2x+ ），故它的最小正周期T（2）令2k2x+2k+，求得kxk+，可得函数的增区间为k，k+，kZ，故函数

22、在区间0，上的增区间为0，【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题18（12分）设函数f（x）sin（x）+sin（x），其中03，已知f（）0（）求；（）将函数yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）的图象，求g（x）在，上的最小值【分析】（）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）0求出的值；（）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x，时g（x）的最小值【解答】解：（）函数f（x）sin（x）+sin（x）sinxcoscosxsinsin（x）sinxc

23、osxsin（x），又f（）sin（）0，k，kZ，解得6k+2，又03，2；（）由（）知，f（x）sin（2x），将函数yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数ysin（x）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到ysin（x+）的图象，函数yg（x）sin（x）；当x，时，x，sin（x），1，当x时，g（x）取得最小值是【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题19（12分）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到如图2中A1BE的位置，得到四棱锥A

24、1BCDE（）证明：CD平面A1OC；（）当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BEAC，BE面A1OC，考虑CDDE，即可判断CD面A1OC（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A1O是四棱锥A1BCDE的高，平行四边形BCDE的面积SBCABa2，运用体积公式求解即可得出a的值【解答】解：（I）在图1中，因为ABBCa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC，即在图2中，BEA1O，BEOC，从而BE面A1OC，由CDBE，所以CD面A1OC，（II）即A1O是四棱锥A1BCDE的高，根据图1得出A1OABa，平行四边

25、形BCDE的面积SBCABa2，Vaa3，由Va336，得出a6【点评】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练20（12分）已知0，sin（+）（1）求sin2的值；（2）求的值【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式，求得要求式子的值（2）利用同角三角函数的基本关系、两角和的余弦，求得的值【解答】解：（1）（2），sin（+），cos（+），sin（），cos（+）（）cos（+）cos（）+sin（+）sin（）+【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍角公式、两角和的余弦的应用，属于基础题21（12分）已知直线l

26、：4x+3y+100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用已知条件直接利用点到直线的距离求出圆心的坐标最后求出圆的方程（2）利用分类讨论思想，经过定点的直线斜率存在斜率不存在，分类求出点N的坐标【解答】解：（1）直线l：4x+3y+100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方设圆心C（a，0），则，解得a0或a5（舍）所以圆C：x2+y24（2）如图，当直

27、线ABx轴时，x轴平分ANB当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk（x1），N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得到：（k2+1）x22k2x+k240，所以x1+x2，x1x2若x轴平分ANB，kANkBN，所以：，整理得：2x1x2（t+1）（x1+x2）+2t0，解得：t4所以当点N为（4，0）时，能使得ANMBNM总成立【点评】本题考查的知识要点：直线和圆的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用及相关的运算问题22（12分）已知函数f（x）x|xa|+2x（1）当a3时，方程f（x）m的解的个数；（2）对任意x1，2时，函数f（x）的图象恒在函数g（

28、x）2x+1图象的下方，求a的取值范围；（3）f（x）在（4，2）上单调递增，求a的范围【分析】（1）当a3时，分类讨论可得不同情况下方程f（x）m的解的个数；（2）对任意x1，2时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）2x+1图象的下方，即x|xa|1在x1，2上恒成立，解得a的取值范围；（3）f（x）在（4，2）上单调递增，结合二次函数的图象和性质分段讨论满足条件的a值，可得答案【解答】解：（1）当a3时，当m6或时，方程有两个解；当m6或时，方程一个解；当时，方程有三个解（3分）（2）由题意知f（x）g（x）恒成立，即x|xa|1在x1，2上恒成立，即在x1，2上恒成立，即在x1，2上恒成立，（9分）（3）且，即2a2时，f（x）在R单调递增，满足题意；且，即a2时，f（x）在（，a）和（，+）单调递增，f（x）在（4，2）上单调递增，a2或4，a6；且，即a2且a2时，不存在满足条件的a值；且，即a2时，f（x）在（，）和（a，+）上单调递增，f（x）在（4，2）上单调递增，或a4，a2综上：a6或a2（16分）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，二次函数的图象和性质，难度中档