2017-2018学年浙江省绍兴一中高一（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2017-2018学年浙江省绍兴一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）如图，已知向量，那么下列结论正确的是（）2（3分）在ABC中，已知a8，B60，C75，则b等于（）A4BC4D3（3分）已知数列an是公比为2的等比数列，若a416，则a1（）A1B2C3D44（3分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a111，a4+a66，则当Sn取最小值时，n等于（）A9B8C7D65（3分）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km），灯塔A在C北偏东30，B在C南偏东60，则A，B之间相距（）A

2、a（km）Ba（km）Ca（km）D2a（km）6（3分）满足A60，a2，b4的ABC的个数是（）A0B1C2D37（3分）在等差数列an中，若S41，S84，则a17+a18+a19+a20的值为（）A9B12C16D178（3分）已知等比数列an的公比是q，首项a10，前n项和为Sn，设a1，a4，a3a1成等差数列，若，则正整数k的最大值是（）A4B5C14D159（3分）已知正项数列数列an，Sn为前n项和，且满足，nN*，若不等式对任意的nN*恒成立，则实数的取值范围为（）A（，6）B（2，+）C（，1）D（，1）10（3分）两非零向量，满足：|，且对任意的xR，都有|+x|，若|

3、2|，01，则的取值范围是（）A（），（）B（），）C（），2D1，（）二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11（3分）数列an，a11，an   12（3分）在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为   和   13（3分）已知数列an为递增的等差数列，且a11，a3a224，则a4   ；an   14（3分）数列an的前n项和为Sn，已知an，则S20   15（3分）已知|1，|2，与的夹角为60，则+在方向上的投影为   16（3分）在锐角ABC 中，A，B，C的对边为a，

4、b，c，A2B，则的取值范围是   17（3分）已知数列an，bn满足a12，b11，（n2，nN*），则（a1008+b1008）（a2018b2018）   三、解答题（本大题共5小题，共49分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18（9分）平面内给定三个向量（3，2），（1，2），（4，1）（1）求满足m+n的实数m，n；（2）若（+k）（2b），求实数k的值；（3）若n0，且m+n与2垂直，求的值19（10分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c6，sinAsinCsin（AB）（1）求B的大小（2）若1a6，求sinC的取值范围20（10分

5、）在数列an中，a12，an+14an3n+1，nN*，（1）证明数列ann为等比数列；（2）求数列an的前n项和Sn21（10分）在ABC中，点M在BC上，N是AM的中点（1）设，用，表示，；（2）若，ABAC2，求22（10分）已知数列an满足：an2anan+1+10，a12（1）求a2，a3；（2）证明数列为递增数列； （3）求证：12017-2018学年浙江省绍兴一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）如图，已知向量，那么下列结论正确的是（）ABCD【分析】利用向量加法

6、定理直接求解【解答】解：向量，结合图形得：故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查平面向量加法定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（3分）在ABC中，已知a8，B60，C75，则b等于（）A4BC4D【分析】先求得A，进而利用正弦定理求得b的值【解答】解：A180BC45，由正弦定理知，b4，故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理的运用考查了学生对基础公式的熟练应用3（3分）已知数列an是公比为2的等比数列，若a416，则a1（）A1B2C3D4【分析】依题意，知a1，于是可得答案【解答】解：数列an是公比为2的等比数列，且a416，a12，故选：B【点评】本题

7、考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题4（3分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a111，a4+a66，则当Sn取最小值时，n等于（）A9B8C7D6【分析】设等差数列an的公差为d，由等差数列的通项公式解方程可得d，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值及相应的n的值【解答】解：设等差数列an的公差为d，a111，a4+a66，可得11+3d11+5d6，解得d2，则Snna1+n（n1）dn212n（n6）236，当n6时，Sn取最小值36故选：D【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查二次函数的最值求法，注意运用配方法，考查运算能力，属于中

8、档题5（3分）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km），灯塔A在C北偏东30，B在C南偏东60，则A，B之间相距（）Aa（km）Ba（km）Ca（km）D2a（km）【分析】由两个方位角的度数得出ACB90，又知ACBC5，ACB为等腰直角三角形，有勾股定理可得边AB的长度【解答】解：由图知：ACB90，在RtACB中，AB2AC2+BC2a2+a22a2ABa故选：C【点评】本题考查解三角形的实际应用，关键是如何把实际问题转化为数学问题，然后套用题目提供的对应关系解决问题，画出简图，一目了然6（3分）满足A60，a2，b4的ABC的个数是（）A0B1C2D3【分析】利用正弦定理求出B

9、，判断三角形的个数即可【解答】解：由正弦定理得，即，解得sinB1，B90，ABC是直角三角形，C30故符合条件的三角形只有1个故选：B【点评】本题考查了正弦定理，三角形解的个数判断，属于基础题7（3分）在等差数列an中，若S41，S84，则a17+a18+a19+a20的值为（）A9B12C16D17【分析】设出等差数列的首项和公差，得到前n项和，由已知列式求得首项和公差，把a17+a18+a19+a20转化为含首项和公差的表达式得答案【解答】解：设首项为a1，公差为d由，得S44a1+6d1，S88a1+28d4，解得：，da17+a18+a19+a20S20S164a1+70d4+709

10、故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题8（3分）已知等比数列an的公比是q，首项a10，前n项和为Sn，设a1，a4，a3a1成等差数列，若，则正整数k的最大值是（）A4B5C14D15【分析】运用等差数列的中项的性质，结合等比数列的定义，可得公比，再由等比数列的求和公式，以及不等式的解法，即可得到所求最大值【解答】解：若a1，a4，a3a1成等差数列，可得2a4a1+a3a1a3，即有公比q，由，可得a1，由a10，化简可得1，即为2k32，即k5，可得正整数k的最大值为k为4故选：A【点评】本题考查等比数列的求和公式和等差数列的中项的性质，考

11、查化简整理的运算能力，属于中档题9（3分）已知正项数列数列an，Sn为前n项和，且满足，nN*，若不等式对任意的nN*恒成立，则实数的取值范围为（）A（，6）B（2，+）C（，1）D（，1）【分析】，nN*，可得n2时，anSnSn1，化为：（an+an1）（anan11）0，根据an+an10，可得anan12，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出an，Sn代入不等式，通过分类讨论，利用单调性得出【解答】解：，nN*，n2时，anSnSn1，化为：（an+an1）（anan11）0，an+an10，anan12，由0，解得a11数列an是等差数列，首项为1，公差为2an1+2（n1）2n

12、1，Snn2不等式，化为：n3（2n+1）+10（1）n，即6+（1）n，n2k1时，6+，即6，n1n2k时，6+，即6+，n则实数的取值范围为：1故选：C【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（3分）两非零向量，满足：|，且对任意的xR，都有|+x|，若|2|，01，则的取值范围是（）A（），（）B（），）C（），2D1，（）【分析】由向量的平方即为模的平方，化简整理可得x22+2x+20恒成立，可得4（）242（2）0，（为，的夹角），即有（cos）20，可得cos，sin，可设|2，|1，设（2

13、，0），（1，），C在单位圆上运动，由+（1）可得P在线段AB上运动（不含端点），求出AB的方程，运用点到直线的距离公式可得O到AB的距离，即可得到所求最值和范围【解答】解：对任意的xR，都有|+x|，即有（+x）2（）2，即为2+2x+x222+2，由|，可得x22+2x+20恒成立，可得4（）242（）0，（为，的夹角），即为|4cos2|4cos+|40，即有（cos）20，（cos）20，可得cos，sin，可设|2，|1，设（2，0），（1，），C在单位圆上运动，由+（1）可得P在线段AB上运动（不含端点），直线AB的方程为y0（x2），即为x+y20由原点到直线AB的距离为，即有单

14、位圆上的点到线段AB的距离的最小值为1，则的最小值为（），而的取值范围是故选：B【点评】本题考查向量数量积的运用，注意运用性质：向量的平方即为模的平方，考查恒成立思想转化为二次不等式恒成立问题的解法，以及数形结合的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于难题二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11（3分）数列an，a11，an【分析】根据首相和递推公式一项一项的求出第4项的值【解答】解：        故答案为：【点评】本题主要考查利用递推公式求数列的项12（3分）在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为27和81

15、【分析】设插入两个数为a，b，则，求出q3，由此能求出这两个数【解答】解：在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，设插入两个数为a，b，则，解得q327，解得q3，a9327，b93281故这两个数为27和81故答案为：27，81【点评】本题考查等比数列两项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算与求解能力，考查函数与方程思想，是基础题13（3分）已知数列an为递增的等差数列，且a11，a3a224，则a47；an2n1【分析】由题意，设公差为d，代入a3a224，直接解出公差d，再由等差数列的通项公式求出通项即可得到答案【解答】解：由于等差数列an满足a11，a3a22

16、4，设公差为d，得1+2d（1+d）24，解得d2又递增的等差数列an，可得d2a41+3d7，an1+2（n1）2n1故答案为：2n1【点评】本题考查等差数列的通项公式，解题的关键是利用公式建立方程求出参数，需要熟练记忆公式，是基础题14（3分）数列an的前n项和为Sn，已知an，则S20.【分析】由an，利用裂项求和方法即可得出【解答】解：an，则S20故答案为：【点评】本题考查了裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（3分）已知|1，|2，与的夹角为60，则+在方向上的投影为2【分析】根据|1，|2，与的夹角为60，算出|+|且（+）2再设+与的夹角为，结合数量积公式和向

17、量投影的定义，算出|+|cos的值，即可得到向量+在方向上的投影值【解答】解：|1，|2，与的夹角为60，|cos601由此可得（+）2|2+2+|21+2+47|+|设+与的夹角为，则（+）|2+2cos，可得向量+在方向上的投影为|+|cos2故答案为：2【点评】本题给出向量|、|和与的夹角，求向量+在方向上的投影着重考查了向量数量积的定义、向量的夹角公式和向量投影的概念等知识，属于基础题16（3分）在锐角ABC 中，A，B，C的对边为a，b，c，A2B，则的取值范围是（，）【分析】由题意和正弦定理可得2cosB，由锐角三角形可得B的范围，由余弦函数值域和不等式可得【解答】解：在锐角ABC

18、中A2B，由正弦定理可得：2cosB，A+B+C，C+3B，即C3B，由锐角三角形可得03B，且02B，解得B，故cosB，2cosB，故答案为：（，）【点评】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，由已知三角形得出B的范围是解决问题的关键，属基础题17（3分）已知数列an，bn满足a12，b11，（n2，nN*），则（a1008+b1008）（a2018b2018）【分析】由题意可得an+bnan1+bn1+2，anbn（an1bn1），利用等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式即可得出【解答】解：由题意可得an+bnan1+bn1+2，anbn（an1bn1），所以数列an+bn是

19、以a1+b13为首项，2为公差的等差数列，数列anbn是以a1b11为首项，为公比的等比数列，所以（a1008+b1008）（a2018b2018）（3+21007）故答案为：【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共49分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18（9分）平面内给定三个向量（3，2），（1，2），（4，1）（1）求满足m+n的实数m，n；（2）若（+k）（2b），求实数k的值；（3）若n0，且m+n与2垂直，求的值【分析】（1）由题意得（3，2）m（1，2）+n（4，1），由此能

20、求出m，n（2）+k（3+4k，2+k），2（5，2），利用向量平行能求出k（3）由m+n与2垂直，能求出m【解答】解：（1）由题意得（3，2）m（1，2）+n（4，1），所以 解得（3分）（2）+k（3+4k，2+k），2（5，2），由题意得2（3+4k）（5）（2+k）0，解得k（3分）（3）m+n（3mn，2m+2n），2（5，2），由题意得5（3mn）2（2m+2n）0，解得（3分）【点评】本题考查实数值的求法，考查向量的坐标运算法则、向量平行、向量垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题19（10分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c6，s

21、inAsinCsin（AB）（1）求B的大小（2）若1a6，求sinC的取值范围【分析】（1）运用两角和差正弦公式，化简结合特殊角的余弦函数值，可得所求角；（2）运用余弦定理求得b关于a的关系式，再由正弦定理和配方，结合二次函数的值域求法，可得所求范围【解答】解：（1）因为sinAsinC+sin（AB）sin（A+B）+sin（AB）sinAcosB+cosAsinB+sinAcosBcosAsinB2sinAcosB，sinA0，所以cosB，由0B180，可得内角B60；（2）由余弦定理，b2a2+c22accosBa26a+36，即，由正弦定理可得sinC，从而sinC的取值范围为，1

22、【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换，以及化简能力，属于中档题20（10分）在数列an中，a12，an+14an3n+1，nN*，（1）证明数列ann为等比数列；（2）求数列an的前n项和Sn【分析】（1）由题意构造数列ann，利用等比数列的定义即可证明；（2）由ann为等比数列；求解数列an的通项公式，分组求和法可得前n项和Sn【解答】证明：（1）由a12，an+14an3n+1，nN*，an+1（n+1）4an3n+1（n+1）4an4n4（ann）ann为首项a111，公比q4的等比数列即数列ann的通项公式ann4n1解（2）ann4n1ann+4n

23、1那么：Sn1+2+n+（1+4+4n1）+【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用分组求和法是解决本题的关键21（10分）在ABC中，点M在BC上，N是AM的中点（1）设，用，表示，；（2）若，ABAC2，求【分析】（1）由点M在BC上，N是AM的中点，利用向量加法定理能用，表示，（2）由正弦定理可得，从而求出cosBAC，由此能求出【解答】解：（1）在ABC中，点M在BC上，N是AM的中点，（5分）（2）在ABM和AMC中，由正弦定理可得，（5分）【点评】考查平面向量表示，考查向量的数量积的求法，考查向量加法定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题22（10分）已知数列an满足：an2anan+1+10，a12（1）求a2，a3；（2）证明数列为递增数列； （3）求证：1【分析】（1）a12，分别令n1，2，即可得出a2，a3（2）作差即可证明：an+1an0（3），利用“裂项求和”方法即可得出【解答】（1）解：a12，a2222+13，同理可得：a37（2）证明：，对nN*恒成立，an+1an（3）证明：故【点评】本题考查了数列递推关系、数列的单调性、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题