2017-2018学年浙江省绍兴市诸暨市高一（下）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2017-2018学年浙江省绍兴市诸暨市高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1（3分）已知（2，4），（1，1），则（）（）A6B6C18D182（3分）直线l的方程为xy+30，则l的倾斜角为（）ABCD3（3分）ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A，B，a2，则b（）ABCD4（3分）设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则的值为（）ABCD5（3分）已知圆C：x2+y24x0，l过点P（3，1）的直线，则（）Al 与 C 相交Bl 与C 相切Cl 与 C 相离D以上三个选项均有可能6（3分）已知|1，向量与的夹角为600，则|34|（）A5BCD7（

2、3分）在ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c若b2+c2a2，则sin（B+C）的值为（）ABCD8（3分）已知数列an不是常数列，前n项和为Sn，下列描述中，错误的是（）A若数列an 为等差数列，Sn0 恒成立，则an 单调递增B若数列an 为等差数列，则也成等差数列C若数列an 为等比数列，则 S2019a20190 恒成立D若数列an 为等比数列，则也为等比数列9（3分）如图，圆C1，C2在第一象限，且与x轴、直线m均相切，圆心都在直线yx上，当圆C1，C2外切时，记圆的面积分别为S1，S2，则S1：S2（）A1：2B1：4C1：9D1：1610（3分）在ABC中，ABAC8

3、，D在线段AC上，AD6，若ABC的外心O在线段BD上，则cosA（）ABCD二、填空题（本大题有7个小题，单空题每题4份，多空题每题6分，共36分）11（6分）圆C：x2+y2+2x30的圆心坐标为   ；半径是   12（6分）设直线l1：（a+1）x+3y+2a0，直线l2：2x+（a+2）y+10若l1l2，则实数a的值为   ，若l1l2，则实数a的值为   13（6分）在古巴比伦泥板（公元前2000年前1000年）有这样一个数学问题：10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分已知每一个级差相等，还知道老八分得6个金币（每个人分得的金币可以是分

4、数）问：老三应该得   金币，老大比老二多   个金币14（4分）如图，ABAC，BC2，则AD   15（6分）数列an的首项a11，an+1an+n+1（nN*），则an的通项公式an   ；若前n项和为Sn，则S2018   16（4分）如图，已知ABC为等腰直角三角形，ABBC4，光线从点P（1，0）出发，到AC上一点Q，经直线AC反射后到AB上一点R，经AB反射后回到P点，则Q点的坐标为   17（4分）已知单位向量与的夹角是钝角，当tR时，的最小值为，若2+（1），其中R，则的最小值为   三、解答题（本大题共5

5、小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18（10分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足sinA，3（1）求ABC的面积S；（2）若b+c6，求a的值19（10分）如图，梯形ABCD，ABCD，ADDCCBAB2，E，F分别是BC，BD的中点，AE与BD相交于G（1）以，为基底，表示，；（2）若，求+的值；（3）求20（10分）已知等比数列an的公比为q，等差数列bn的公差为d，若4a1，2a2，a3成等差数列，且a1b31，dq（1）求an，bn的通项公式；（2）求anbn的前n项和21（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，2），B

6、（0，1），直线l：yx6设动圆C的半径为2，圆心C在直线l上（1）过O作圆C的切线OT，切点为T求|OT|的最小值；若|OT|4，且圆心横坐标小于3，求OT方程（2）若动圆C上存在点M，使得|MA|2|MB|，求动圆圆心C的横坐标的取值范围22（12分）已知数列an满足：a1a，an+1n+1+（1）n+1an（nN*）（1）求a2，a3的值；（2）若a2，a4，a6成等差数列，求数列an的通项公式；记数列an的前n项和为Sn，是否存在nN*，使得（nN*）是数列an中的项，若存在，则n可能取哪些数？若不存在请说明理由2017-2018学年浙江省绍兴市诸暨市高一（下）期末数学试卷参考答案与试

7、题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1（3分）已知（2，4），（1，1），则（）（）A6B6C18D18【分析】利用向量坐标运算法则、向量的数量积公式直接求解【解答】解：（2，4），（1，1），（）（2，4）（3，3）6+1218故选：C【点评】本题考查向量的数量积的求法，考查向量的坐标运算法则、向量的数量积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题2（3分）直线l的方程为xy+30，则l的倾斜角为（）ABCD【分析】由已知直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解【解答】解：由直线l的方程为xy+30，得直线的斜率为设其倾斜角为（0），则tan，故选：A【点评】

8、本题考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题3（3分）ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A，B，a2，则b（）ABCD【分析】直接利用正弦定理和特殊角的三角函数值求出结果【解答】解：ABC中，A，B，a2，利用正弦定理：，解得：b故选：C【点评】本题考查的知识要点：主要考查正弦定理和三角函数值的应用，属于基础题型4（3分）设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则的值为（）ABCD【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得【解答】解：等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，a2a1q2a1，S415a1，故选：B由S1+S2+Snn（n+1）a1+n（n1）b1

9、，当n1时，a1a1，当n2时，3a1+2a2+a36a3+3b3，即3b32（a2a1）+（a3a1），（*），若a1a3a2，【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题5（3分）已知圆C：x2+y24x0，l过点P（3，1）的直线，则（）Al 与 C 相交Bl 与C 相切Cl 与 C 相离D以上三个选项均有可能【分析】求出圆心到P（3，1）的距离与半径比较，判断直线与圆的位置关系【解答】解：圆C：x2+y24x0即（x2）2+y24，则圆心坐标（2，0），半径为：2，又P（3，1）与圆心的距离d2r，点P（3，1）在圆的内部，故l与C的位置关系是相交故选：A【点评】本题考查直线

10、与圆的位置关系，考查圆的标准方程以及两点间的距离公式，是基础题6（3分）已知|1，向量与的夹角为600，则|34|（）A5BCD【分析】由已知先求出，然后根据向量数量积的性质|34|，代入可求【解答】解：|1，向量与的夹角为60，1，|，故选：D【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题7（3分）在ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c若b2+c2a2，则sin（B+C）的值为（）ABCD【分析】在ABC中，由余弦定理求得cosA，根据A的范围，求出 A的大小，即可得出结果【解答】解：在ABC中，因为b2+c2a2bc，由余弦定理可得cosAsin（B+C）sin

11、A故选：B【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，要注意三角形内角和的灵活运用，属基础题8（3分）已知数列an不是常数列，前n项和为Sn，下列描述中，错误的是（）A若数列an 为等差数列，Sn0 恒成立，则an 单调递增B若数列an 为等差数列，则也成等差数列C若数列an 为等比数列，则 S2019a20190 恒成立D若数列an 为等比数列，则也为等比数列【分析】利用等差数列、等比数列的性质直接求解【解答】解：在A中，若数列an 为等差数列，Sn0 恒成立，则公差d0，故an 单调递增，故A正确；在B中，若数列an 为等差数列，则a1+，也成等差数列，故B正确；在C中，若数列an 为等比数列，

12、则 S2019a20190 恒成立，故C正确；在D中，若数列an 为等比数列，则，不是常数，故不是等比数列，故D错误故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9（3分）如图，圆C1，C2在第一象限，且与x轴、直线m均相切，圆心都在直线yx上，当圆C1，C2外切时，记圆的面积分别为S1，S2，则S1：S2（）A1：2B1：4C1：9D1：16【分析】过C1作C1Ax轴，垂足为A，过C2作C2Bx轴，垂足为B，设圆C1，C2的半径分别为r1，r2，由OAC1OBC2 可得两圆半径间的关系，则答案可求【解答】解：如图

13、，过C1作C1Ax轴，垂足为A，过C2作C2Bx轴，垂足为B，设圆C1，C2的半径分别为r1，r2，圆心都在直线yx上，OAC1OBC2，整理得：r24r1，S1：S21：16故选：D【点评】本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题10（3分）在ABC中，ABAC8，D在线段AC上，AD6，若ABC的外心O在线段BD上，则cosA（）ABCD【分析】根据题意作出图形，利用角平分线定理求出BO：OD的值，再由OB、OD和DE的关系，利用相交弦定理求出它们的值，利用余弦定理求出cosA的值【解答】解：如图所示，ABAC8，AD6，O是ABC的外心，AO平分BAC

14、，由内角平分线定理可知：BO：OD8：6，设OB4a，则OD3a，DEa，由相交弦定理可得62a7a，解得a，ABD中，cosA故选：C【点评】本题考查了余弦定理，三角形的外心以及相交弦定理应用问题，是中档题二、填空题（本大题有7个小题，单空题每题4份，多空题每题6分，共36分）11（6分）圆C：x2+y2+2x30的圆心坐标为（1，0）；半径是2【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径【解答】解：圆C：x2+y2+2x30，即：（x+1）2+y2 4，故它的圆心坐标为（1，0），半径为2，故答案为：（1，0）；2【点评】本题主要考查圆的一般方程化为标准方程的方法，属于基础题12（6

15、分）设直线l1：（a+1）x+3y+2a0，直线l2：2x+（a+2）y+10若l1l2，则实数a的值为，若l1l2，则实数a的值为4【分析】利用两条直线相互垂直、平行与斜率的关系即可得出【解答】解：直线l1：（a+1）x+3y+2a0，直线l2：2x+（a+2）y+10l1l2，2（a+1）+3（a+2）0，解得a，l1l2，（a+1）（a+2）23，解得a4或a1，当a1时，两直线重合，故a4，故答案为：，4【点评】本题考查了两条直线相互垂直、平行与斜率的关系，属于基础题13（6分）在古巴比伦泥板（公元前2000年前1000年）有这样一个数学问题：10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分

16、已知每一个级差相等，还知道老八分得6个金币（每个人分得的金币可以是分数）问：老三应该得14金币，老大比老二多个金币【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果【解答】解：10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分，每一个级差相等，老八分得6个金币（每个人分得的金币可以是分数），解得，d，老三应该得a3a1+2d14个金币，老大比老二多个金币故答案为：14，【点评】本题考查等差数列的第3项和公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14（4分）如图，ABAC，BC2，则AD【分析】推导出AB2+AC2BC2，

17、CD，从而ABC45，BD2+13，由此利用余弦定理能求出AD的长【解答】解：ABAC，BC2，AB2+AC2BC2，CD，ABC45，BD2+13，AD故答案为：【点评】本题考查三角形边长的求法，考查余弦定理、向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题15（6分）数列an的首项a11，an+1an+n+1（nN*），则an的通项公式an；若前n项和为Sn，则S2018【分析】由数列恒等式ana1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1），结合等差数列的求和公式可得所求通项；求得2（），运用裂项相消求和可得所求和【解答】解：数列an的首项a11，an+1an+n+

18、1（nN*），可得ana1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）1+2+3+n；2（），可得S20182（1+）2（1）故答案为：；【点评】本题考查数列的通项公式求法，注意运用数列恒等式，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题16（4分）如图，已知ABC为等腰直角三角形，ABBC4，光线从点P（1，0）出发，到AC上一点Q，经直线AC反射后到AB上一点R，经AB反射后回到P点，则Q点的坐标为（，）【分析】建立坐标系，得C（4，0），A（0，4），直线AC的方程为x+y4，设点P关于直线AC的对称点N（x，y），列方程组求出N（4，3），P（1，0）关于y轴的对称点M（

19、1，0），由光的反射原理可知N，Q，R，M四点共线，求出直线MN，由此能求出点Q的坐标【解答】解：建立如图所示的坐标系，可得C（4，0），A（0，4），故直线AC的方程为x+y4，P（1，0），点P关于直线AC的对称点N（x，y），满足：，解得，即N（4，3），P（1，0）关于y轴的对称点M（1，0），由光的反射原理可知N，Q，R，M四点共线，直线MN为：，即3x5y+30，联立，得x，y，Q（）故答案为：（）【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题17（4分）已知单位向量与的夹角是钝角，当tR时，的

20、最小值为，若2+（1），其中R，则的最小值为【分析】先将平方，转化为t的二次函数，利用最值求出向量与的夹角，然后将向量和向量利用基底和表示，并计算，转化为的二次函数求最小值【解答】解：设向量与的夹角为，t22tcos+1，当tcos时，取最小值，即，由于为钝角，则，所以，所以，故答案为：【点评】本题考查利用平面向量的数量积，解决本题的关键在于将数量积的最值转化为二次函数，属于中等题三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18（10分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足sinA，3（1）求ABC的面积S；（2）若b+c6，求a的值【分析

21、】（1）利用同角三角函数的基本关系，两个向量数量积的定义，求得bc、cosA的值，可得ABC的面积SbcsinA 的值（2）由题意利用余弦定理，求得a的值【解答】解：（1）sinA，cosA3ABACcosA0，cosA，ABACbc5ABC的面积SABACsinAbcsinA52（2）b+c6，a2【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两个向量数量积的定义，余弦定理，属于中档题19（10分）如图，梯形ABCD，ABCD，ADDCCBAB2，E，F分别是BC，BD的中点，AE与BD相交于G（1）以，为基底，表示，；（2）若，求+的值；（3）求【分析】（1）直接利用向量的线性运算和基向量的

22、线性表示求出结果（2）利用题中的比例关系建立关系式，进一步利用基向量的对应关系求出+的值（3）利用向量的线性表示，进一步利用向量的数量积求出结果【解答】解：（1）梯形ABCD，ABCD，ADDCCBAB2，E，F分别是BC，BD的中点，AE与BD相交于G所以：，（2）由已知条件：，则：，则：，所以：（3）根据题意得到：，所以：，【点评】本题考查的知识要点：平面向量的线性运算和向量的数量积的运算，向量的中线的应用，线段的比例关系式的应用，主要考察学生的识图能力及运算能力，属于基础题型20（10分）已知等比数列an的公比为q，等差数列bn的公差为d，若4a1，2a2，a3成等差数列，且a1b31，

23、dq（1）求an，bn的通项公式；（2）求anbn的前n项和【分析】（1）运用等差数列中项性质以及通项公式，解方程可得qd2，求得bn的首项，即可得到所求通项公式；（2）anbn（2n5）2n1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和【解答】解：（1）等比数列an的公比为q，等差数列bn的公差为d，若4a1，2a2，a3成等差数列，且a1b31，dq，可得4a24a1+a3，即4a1q4a1+a1q2，解得q2，dq2，b3b1+2d1，可得b13，则an2n1，bn3+2（n1）2n5；（2）anbn（2n5）2n1，前n项和Sn320+（1）2+（2n5）2

24、n1，2Sn32+（1）22+（2n5）2n，相减可得Sn3+2（2+22+2n1）（2n5）2n3+2（2n5）2n，化简可得Sn（2n7）2n+7【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的求和方法：错位相减法，考查方程思想和运算能力，属于中档题21（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，2），B（0，1），直线l：yx6设动圆C的半径为2，圆心C在直线l上（1）过O作圆C的切线OT，切点为T求|OT|的最小值；若|OT|4，且圆心横坐标小于3，求OT方程（2）若动圆C上存在点M，使得|MA|2|MB|，求动圆圆心C的横坐标的取值范围【分析】

25、（1），设C的坐标为（t，t6），分析可得|OT|，由二次函数的性质分析可得|OT|的最小值；，根据题意，分析可得|OC|2，分析可得t的值，分切线的斜率存在与不存在2种情况讨论，求出切线的方程，综合即可得答案；（2）设M（x，y），由|MA|2|MB|，可得x2+（y2）24x2+（y+1）2，变形可得：x2+（y+2）24，求出圆C的方程，由圆与圆的位置关系可得t2+（t4）216，解可得t的取值范围，即可得答案【解答】解：（1），根据题意，圆心C在直线l上，设C的坐标为（t，t6），则|OT|，分析可得：t3时，|OT|有最小值，若|OT|4，则|OC|2，解可得t2，则圆心为（2，4）

26、，若切线的斜率存在，设切线的斜率为k，设切线的方程kxy0，则有2，解可得k，若切线的斜率不存在，切线过原点，则切线的方程x0，（2）设M（x，y），若|MA|2|MB|，则x2+（y2）24x2+（y+1）2，变形可得：x2+（y+2）24，则圆C的方程为（xt）2+（yt+6）24，两圆总有公共点，则有t2+（t4）216，解可得0t4，则t的范围为0，4【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相交的性质，属于综合题22（12分）已知数列an满足：a1a，an+1n+1+（1）n+1an（nN*）（1）求a2，a3的值；（2）若a2，a4，a6成等差数列，求数列an的通项公式；记数

27、列an的前n项和为Sn，是否存在nN*，使得（nN*）是数列an中的项，若存在，则n可能取哪些数？若不存在请说明理由【分析】（1）a1a，an+1n+1+（1）n+1an（nN*）对n分别取1，2即可得出a2，a3（2）由递推公式可得a4，a5，a6根据a2，a4，a6成等差数列，解得a由an+1n+1+（1）n+1an（nN*）可得a2n+12n+1a2n，a2n2n+a2n1，可得a2n+1+a2n11，由a1，可得a2n1即可得出a2n，anS2n（a1+a2）+（a3+a4）+（a2n1+a2n），代入即可得出进而判断出结论【解答】解：（1）a1a，an+1n+1+（1）n+1an（n

28、N*）a22+a，a33（2+a）1a（2）a44+（1a）5a，a55（5a）a，a66+aa2，a4，a6成等差数列，2（5a）2+a+6+a，解得aan+1n+1+（1）n+1an（nN*）a2n+12n+1a2n，a2n2n+a2n1，a2n+1+a2n11，由a1，可得a3a2n1a2n2n+anS2n（a1+a2）+（a3+a4）+（a2n1+a2n）（）+（）+（）3+5+（2n+1）n2+2n+n，因此（nN*）不是数列an中的奇数项（nN*）只能是数列an中的偶数项设+namm+（m为偶数），n2+2n2m+1，可得n只能为奇数可设n2k1，可得：（2k1）2+2（2k1）2m+1，可得：2k2m+1，左边为偶数，右边为奇数，矛盾因此（nN*）不可能数列an中的一项【点评】本题考查了数列递推关系、分类讨论方法、等差数列的突出公司与求和公式，考查了推理能力语音计算能力，属于中档题