2017-2018学年湖南省长沙市重点中学高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（3分）设集合A1，3，集合B1，2，4，5，则集合AB（）A1，3，1，2，4，5B1C1，2，3，4，5D2，3，4，52（3分）已知tan，则sin的值为（）ABCD3（3分）已知|4，|3，且与不共线，若向量与互相垂直，则k的值为（）ABCD4（3分）如果奇函数f（x）在区间2，8上是减函数且最小值为6，则f（x）在区间8，2上是（）A增函数且最小值为6B增函数且最大值为6C减函数且最小值为6D减函数且最大值为65（3分）函数f（x）2x+3x7的零点所在的区间是（）A（1，0）B（

2、0，1）C（1，2）D（2，3）6（3分）ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2c2+b2ab，则C（）A30B60C120D60或1207（3分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则ABC的形状是（）A等腰三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形或直角三角形8（3分）已知集合，若AB，则实数a的取值范围是（）A1a2B1a2CD1a29（3分）设是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosx，则tan（）ABCD10（3分）化简的结果是（）A1BsinCtanDtan11（3分）先把函数f（x）sin（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标

3、不变），再把新得到的图象向右平移个单位，得到yg（x）的图象当x时，函数g（x）的值域为（）ABCD1，0012（3分）设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x2，3时，f（x）x，则x2，0时，f（x）的解析式为f（x）（）Ax+4B2xC3|x+1|D2|x+1|13（3分）若函数，0，xR，又f（x1）2，f（x2）0，且|x1x2|的最小值为，则的值为（）ABCD214（3分）如图，正ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度AGPx（0x2），向量在（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数yf（

4、x）的图象是（）ABCD15（3分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）则关于x的方程6f（x）2f（x）10的实数根个数为（）A6B7C8D9二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）16（3分）lg2+lg5+0   17（3分）已知tan3，则   18（3分）已知向量，满足|2，与的夹角为60，则在上的投影是   19（3分）若函数f（x）2x2kx3在区间2，4上具有单调性，则实数k的取值范围是   20（3分）在ABC中，已知，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为   三、解答题（本大题共5小题，共40分

5、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21已知集合Ax|（x+3）（x2）0，Bx|1x4（1）求AB；（2）求（RA）B22设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角B的大小；（2）若b2，sinC2sinA，求a，c的值23已知函数f（x）sinxcoxcos2x+（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若角，的终边不共线，且f（）f（），求tan（+）的值24已知向量（cos，sin），（cos，sin），|（1）求cos（）的值；（2）若0，0，且sin，求sin25已知二次函数f（x）x2+x，若不等式f（x）+f（x）2|x|的解集为C（1）求集合C；（2）若函数

6、g（x）f（ax）ax+111（a0且a1）在集合C上存在零点，求实数a的取值范围2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（3分）设集合A1，3，集合B1，2，4，5，则集合AB（）A1，3，1，2，4，5B1C1，2，3，4，5D2，3，4，5【分析】集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，构成集合AB，由此利用集合A1，3，集合B1，2，4，5，能求出集合AB【解答】解：集合A1，3，集合B1，2，4，5，集合AB1，2，3，4，5故选：C

7、【点评】本题考查集合的并集及其运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2（3分）已知tan，则sin的值为（）ABCD【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式求解【解答】解：tan，解得或，sin故选：B【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题3（3分）已知|4，|3，且与不共线，若向量与互相垂直，则k的值为（）ABCD【分析】由向量与互相垂直，得（）（）169k20，由此能求出k【解答】解：|4，|3，且与不共线，向量与互相垂直，（）（）169k20，解得k故选：A【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方

8、程思想，是基础题4（3分）如果奇函数f（x）在区间2，8上是减函数且最小值为6，则f（x）在区间8，2上是（）A增函数且最小值为6B增函数且最大值为6C减函数且最小值为6D减函数且最大值为6【分析】由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案【解答】解：根据题意，f（x）在区间2，8上是减函数，且最小值为6，即f（8）6，且f（x）6，又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间8，2上是减函数，且f（8）6，则有f（x）6，故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题5（3分）函数f（x）2x+3x7的零点

9、所在的区间是（）A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）【分析】判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可【解答】解：函数f（x）2x+3x7，因为y2x是增函数，y3x7是增函数，所以函数f（x）2x+3x7是增函数f（1）0f（0）170f（1）2+370f（2）4+670函数f（x）2x+3x7的零点所在的区间是：（1，2）故选：C【点评】本题考查零点判定定理的应用，是基础题6（3分）ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2c2+b2ab，则C（）A30B60C120D60或120【分析】直接由已知结合余弦定理求解【解答】解：在ABC中，由a2c2+b2ab，

10、可得cosC，0C180，C60故选：B【点评】本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题7（3分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则ABC的形状是（）A等腰三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形或直角三角形【分析】利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可【解答】解：在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，可得，可得sin2Asin2B可得2A2B或2A+2B，即：AB或A+B；故选：D【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力8（3分）已知集合，若AB，则实数a的取值范围是（）A1a2B1a2CD1a2【分析】解指数

11、不等式求得A，解对数不等式求得B，再根据AB，求得实数a的取值范围【解答】解：由 ，可得 x2x60，解得 x3，或x2，故A（，2）（3，+）由log4（x+a）1log44，可得 0x+a4，解得ax4a，B（a，4a）若AB，则有 ，解得1a2，故选：B【点评】本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题9（3分）设是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosx，则tan（）ABCD【分析】根据任意角的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tan的定义求得结果【解答】解：由题意可得x0，r|OP|，故 cos再由  可得 x3，tan，

12、故选：D【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题10（3分）化简的结果是（）A1BsinCtanDtan【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解【解答】解：tan故选：C【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题11（3分）先把函数f（x）sin（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移个单位，得到yg（x）的图象当x时，函数g（x）的值域为（）ABCD1，00【分析】首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用

13、函数的定义域求出函数的值域【解答】解：把函数f（x）sin（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到f（x）sin（2x）的图象，再把新得到的图象向右平移个单位，得到yg（x）sin2（x）sin（2x）的图象x时，所以：sin（2x）故选：B【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用12（3分）设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x2，3时，f（x）x，则x2，0时，f（x）的解析式为f（x）（）Ax+4B2xC3|x+1|D2|x+1|【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x2，3时，f（x）x，可得答案【解答】解

14、：f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x2，3时，f（x）x，x2，1时，2+x0，1，4+x2，3，此时f（x）f（4+x）4+x，x1，0时，x0，1，2x2，3，此时f（x）f（x）f（2x）2x，综上可得：x2，0时，f（x）3|x+1|故选：C【点评】本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档13（3分）若函数，0，xR，又f（x1）2，f（x2）0，且|x1x2|的最小值为，则的值为（）ABCD2【分析】利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得【解答】解：，函数f（x）的最大值为2，f（x1）2，f（x2）0，且|x1x2|的最小值

15、为，函数f（x）的周期T46，由周期公式可得T6，解得，故选：A【点评】本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题14（3分）如图，正ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度AGPx（0x2），向量在（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数yf（x）的图象是（）ABCD【分析】由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项【解答】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM0.5，故AM1.5，正

16、三角形的边长为连接BG，可得tanBGM，即BGM，所以BGA，由图可得当x时，射影为y取到最小值，其大小为（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C【点评】由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法15（3分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）则关于x的方程6f（x）2f（x）10的实数根个数为（）A6B7C8D9【分析】先设tf（x），求出方程6f（x）2f（x）10的解，利用函数的奇偶

17、性作出函数在x0时的图象，利用数形结合即可得到结论【解答】解：设tf（x），则关于x的方程6f（x）2f（x）10，等价6t2t10，解得t或t，当x0时，f（0）0，此时不满足方程若2x4，则0x22，即f（x）（2|x3|1），若4x6，则2x24，即f（x）（2|x5|1），作出当x0时，f（x）的图象如图：当t时，f（x）对应3个交点函数f（x）是奇函数，当x0时，由f（x），可得当x0时，f（x），此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根故选：B【点评】本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大二、填空题（每题

18、3分，满分15分，将答案填在答题纸上）16（3分）lg2+lg5+02【分析】利用对数、指数的性质及运算法则直接求解【解答】解：lg2+lg5+0lg10+12故答案为：2【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题17（3分）已知tan3，则【分析】直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解【解答】解：tan3，故答案为：【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题18（3分）已知向量，满足|2，与的夹角为60，则在上的投影是1【分析】根据投影的定义，应用公式|cos，求解【

19、解答】解：根据向量的投影定义，在上的投影等于|cos，21故答案为：1【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用19（3分）若函数f（x）2x2kx3在区间2，4上具有单调性，则实数k的取值范围是（，816，+）【分析】若函数f（x）2x2kx3在区间2，4上具有单调性，则，解得答案；【解答】解：若函数f（x）2x2kx3在区间2，4上具有单调性，则解得k（，816，+）故答案为：（，816，+）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键20（3分）在ABC中，已知，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为【分析】设A

20、Bc，BCa，ACb，由sinBcosAsinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 C90，再由，SABC6，可求得c5，b3，a4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数使得（3，44）（01），设出单位向量 ，推出x3，y44则4x+3y12，而利用 利用基本不等式求解最小值【解答】解：ABC中设ABc，BCa，ACbsinBcosAsinCsin（A+C）sinCcosnA即sinAcosC+sinCcosAsinCcosAsinAcosC0sinA0cosC0 C90，SABC6bccosA9，bcsinA6tanA，根据直角三角形可得sinA，cosA，bc1

21、5c5，b3，a4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数使得 （3，44）（01）设 ，则|1，由（x，0）+（0，y）（x，y），x3，y44，则4x+3y12（也可以直接利用P为线段AB上的一点，三点共线，可得：，）（7+）故所求的最小值为故答案为：【点评】本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与的关系，解决本题的第二个关键点在于由x3，y44发现4x+3y12为定值，从而考虑利用基

22、本不等式求解最小值三、解答题（本大题共5小题，共40分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21已知集合Ax|（x+3）（x2）0，Bx|1x4（1）求AB；（2）求（RA）B【分析】（1）求出集合A，B，由此能求出AB（2）求出UAx|x3或x2，由此能求出（RA）B【解答】解：（1）集合Ax|（x+3）（x2）0x|3x2，Bx|1x4ABx|1x2（2）UAx|x3或x2，（RA）Bx|x3或x1【点评】本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题22设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角B的大小；（2）若b2，sinC2sinA，

23、求a，c的值【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tanB的值，结合范围B（0，），利用特殊角的三角函数值即可求得B的值（2）由已知及正弦定理可得c2a，利用余弦定理可求9a2+c2ac，联立即可解得a，c的值，【解答】解：（1）又由正弦定理，可得：sinB，可得：tanB，B（0，），B（2）由sinC2sinA及 正弦定理，得c2a，又b2，B，由余弦定理b2a2+c22accosB，得12a2+c2ac，由得a2，c4【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题23已知函数f（x）sinxcoxcos2x+（1）求f（x

24、）的单调递增区间；（2）若角，的终边不共线，且f（）f（），求tan（+）的值【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立和的关系式，最后求出函数的值【解答】解：（1）函数f（x）sinxcoxcos2x+，令（kZ），解得：（kZ），故函数的单调递增区间为：（kZ）（2）由于f（x），所以f（），f（），角，的终边不共线，所以，整理得，所以tan（+）【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用24已知向量（cos，sin），（cos，sin），|（1）求cos

25、（）的值；（2）若0，0，且sin，求sin【分析】（1）1，同理1利用数量积运算性质|，可得，展开即可得出；（2）由0，0，且sin，可得0，sin（）再利用sinsin（）+展开即可得出【解答】解：（1）1，同理1|，化为22（coscos+sinsin），cos（）（2）0，0，且sin，0，sin（）sinsin（）+sin（）cos+cos（）sin【点评】本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题25已知二次函数f（x）x2+x，若不等式f（x）+f（x）2|x|的解集为C（1）求集合C；（2）若函数g（x）f

26、（ax）ax+111（a0且a1）在集合C上存在零点，求实数a的取值范围【分析】（1）直接把函数f（x）x2+x代入不等式，化简解答即可（2）先把函数f（x）x2+x代入方程f（ax）ax+15（a1），方程f（ax）ax+15（a1）在C上有解，转化为ax在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可【解答】解：（1）f （x）+f （x）2x2当 x0时，2x22x0x1，当 x0时，2x22x1x0，集合 C1，1（2）f （ax）ax+1110（ax）2（a1）ax110，令 axu则方程为 h（u）u2（a1）u110   h（0）11当 a1时，u，a，h（u）0 在，a上有解，则 a11，当 0a1时，ua，h（u）0 在a，上有解，则0a，当 0a或 a11时，方程在C上有解，且有唯一解【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键