2017-2018学年湖南省长沙市重点中学高一（上）第二次模块检测数学试卷（含详细解答）

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1、一、选择题（共12小题，每小题5分，总分60分）1（5分）已知集合Ax|log3（2x1）0，全集UR，则A（UB）等于（）ABCD2（5分）图中C1、C2、C3为三个幂函数yxa在第一象限内的图象，则解析式中指数a的值依次可以是（）A1、3B1、3、C、1、3D、3、13（5分）在平行四边形ABCD中，若，则必有（）AB或CABCD是矩形DABCD是正方形4（5分）设alog34，blog0.43，c0.43，则a，b，c的大小关系为（）AcabBacbCbcaDcba5（5分）已知f（x），若f（x）3，则x的值是（）A1B1或C1，或D6（5分）已知，则下列结论正确的是（）Ah（x）f（

2、x）+g（x）是偶函数Bh（x）f（x）+g（x）是奇函数Ch（x）f（x）g（x）是奇函数Dh（x）f（x）g（x）是偶函数7（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0）的图象与直线ya（0aA）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递减区间是（）A6k，6k+3（kZ）B6k3，6k（kZ）C6k，6k+3（kZ）D6k3，6k（kZ）8（5分）如图所示，函数f（x）sin（x+）（0，|）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线yx2+x+1上，则f（x）（）ABCD9（5分）如图，在平面内有三个向量，满足，与的夹角为120，与的夹角为30，设m+n（m，nR，则

3、m+n等于（）AB6C10D1510（5分）已知 2，则tanx的值为（）ABCD11（5分）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度12（5分）已知函数，则关于x的方程，当1a2时实根个数为（）A5个B6个C7个D8个二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）在（，0）上是增函数，且 f（1）0，则满足xf（x）0的x的取值的范围为   14（5分）函数的最小正周期为   ，对称中心为   15（5分）在ABC所在的平面上有一点P，满足+

4、，则PBC与ABC的面积之比是   16（5分）设函数，其中k是一个正整数若对任意实数 a，均有f（x）|axa+lf（x）|xR，则k的最小值为   三、解答题（共6个大题，第一个大题10分，其余大题均为12分，共70分）17（10分）计算：（1）（2）18（12分）（1）已知，且0x求（2）已知 tan（x）2，求 2sin2xsinxcosx+cos2x的值19（12分）已知函数f（x）Asin（x+）+1（A0，0，0）的周期为，f（）+1，且f（x）得最大值为3（1）写出f（x）的表达式；（2）写出函数f（x）的对称中心，对称轴方程（3）求f（x）在区间0，上的单

5、调递增区间20（12分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可清除蔬菜上残留农药量的，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；（2）写出函数f（x）的定义域，判断该函数的单调性（不用证明），并写出值域；（3）设，现有a（a0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由21（12分）设 f（x）ax2+bx+c（a0），方程f（x）x0

6、的两个根x1，x2满足xx1x2；（1）当x（0，x1）时，证明xf（x）x1；（2）设f（x）的图象关于直线xx0对称，证明x022（12分）设f（x）是R上的奇函数，且当x0时，f（x）lg（x2ax+17），aR（1）若f（1）1，求f（x）的解析式；（2）若a0，不等式f（k2x）+f（4x+k+1）0恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（x）的值域为R，求a的取值范围2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）第二次模块检测数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，总分60分）1（5分）已知集合Ax|log3（2x1）0，全集UR，则A（UB）等于（）A

7、BCD【分析】先分别求出集合A和B，从而求出UB，由此能求出A（UB）的值【解答】解：集合Ax|log3（2x1）0x|，x|x0或x，全集UR，UBx|0x，A（UB）x|（）故选：B【点评】本题考查补集、交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用2（5分）图中C1、C2、C3为三个幂函数yxa在第一象限内的图象，则解析式中指数a的值依次可以是（）A1、3B1、3、C、1、3D、3、1【分析】由题中选项知：“n取1、3、三个值”，依据幂函数yxa的性质，在第一象限内的图象特征可得答案【解答】解：根据幂函数yxn的性质，在第一象限内的图象当n0时，n越大，递增速

8、度越快，故曲线c3的n3，曲线c2的n，当n0时，在第一象限是减函数，所以曲线c1的n1，则解析式中指数a的值依次可以是1，3故选：A【点评】幂函数是重要的基本初等函数模型之一学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线yx来刻画其它幂函数在第一象限的凹凸方向3（5分）在平行四边形ABCD中，若，则必有（）AB或CABCD是矩形DABCD是正方形【分析】先由向量的加法运算法则知知对角线相等，再由矩形定义求解【解答】解：在平行四边形ABCD中，平行四边形的对角线相等由矩形的定义知：平行四边形ABCD是矩形故选：C【点评】本题主要

9、考查向量在平面几何中的应用4（5分）设alog34，blog0.43，c0.43，则a，b，c的大小关系为（）AcabBacbCbcaDcba【分析】通过比较三个数与0、1的大小关系即可得到答案【解答】解：log0.43log0.410，b0log34log331，a1，00.430.4010c1，acb故选：B【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了基本初等函数的单调性，是基础题5（5分）已知f（x），若f（x）3，则x的值是（）A1B1或C1，或D【分析】利用分段函数的解析式，根据自变量所在的区间进行讨论表示出含字母x的方程，通过求解相应的方程得出所求的字母x的值或者求出该分段函数在每一

10、段的值域，根据所给的函数值可能属于哪一段确定出字母x的值【解答】解：该分段函数的三段各自的值域为（，1，O，4）4，+），而30，4），故所求的字母x只能位于第二段，而1x2，故选：D【点评】本题考查分段函数的理解和认识，考查已知函数值求自变量的思想，考查学生的分类讨论思想和方程思想6（5分）已知，则下列结论正确的是（）Ah（x）f（x）+g（x）是偶函数Bh（x）f（x）+g（x）是奇函数Ch（x）f（x）g（x）是奇函数Dh（x）f（x）g（x）是偶函数【分析】利用奇偶函数的定义，即可判断【解答】解：h（x）f（x）+g（x）+，h（x）h（x），h（x）f（x）+g（x）是偶函数；h（x

11、）f（x）g（x）无奇偶性，故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性，考查指数函数的性质，正确运用奇偶函数的定义是关键7（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0）的图象与直线ya（0aA）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递减区间是（）A6k，6k+3（kZ）B6k3，6k（kZ）C6k，6k+3（kZ）D6k3，6k（kZ）【分析】由题意可得，第一个交点与第三个交点的差是一个周期；第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值从这两个方面考虑可求得参数、的值，进而利用三角函数的单调性求区间【解答】解：与直线yb（0bA）的三个相邻交点的横坐标分别是2

12、，4，8知函数的周期为T2（），得，再由五点法作图可得 +，求得，函数f（x）Asin（x）令2k+x2k+，kz，解得：6k+3x6k+6，kz，即x6k3，6k（kZ），故选：D【点评】本题主要考查三角函数的单调性的求解，根据条件求出函数的周期是解决本题的关键，属于中档题8（5分）如图所示，函数f（x）sin（x+）（0，|）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线yx2+x+1上，则f（x）（）ABCD【分析】根据题意，令y0，求出点（，0）在函数f（x）的图象上，再令y1，求出点（，1）在函数f（x）的图象上，从而求出与的值，即可得出f（x）的解析式【解答】解：【解法一】根据题意，令y0，得

13、x2+x+10，解得x或x1；点（，0）在函数f（x）的图象上，令y1，解得x0或x，点（，1）在函数f（x）的图象上，T4；由（，1）在f（x）的图象上，得sin（+）1，+2k+，kZ；又|，k0时，f（x）sin（x+）故选：C【解法二】函数f（x）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，令y0，得x2+x+10，解得x或x1；点（，0）在函数f（x）的图象上，+0，即；又令x+，得x；把代入得，x；令y1，得x2+x+11，解得x0或x；即，解得，f（x）sin（x+）故选：C【点评】本题考查了解函数ysin（x+）以及二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题目9（5分）如图，在平面内有

14、三个向量，满足，与的夹角为120，与的夹角为30，设m+n（m，nR，则m+n等于（）AB6C10D15【分析】利用平面向量的基本定理、向量垂直与数量积的关系及即可得出【解答】解：如图所示，过点C分别作CMOB，CNOA，分别交射线OA、OB于M、N则AOB120，AOC30，OCM90，化为mcos120+n0，即m2n又，75m2+n2+2mncos120，化为m2+n2mn75联立，由图可知，m0，n0解得m+n15故选：D【点评】熟练掌握平面向量的基本定理、向量垂直与数量积的关系及是解题的关键10（5分）已知 2，则tanx的值为（）ABCD【分析】已知等式去分母变形后，得到关系式，两

15、边平方并利用完全平方公式化简，整理求出sinx的值，进而求出cosx的值，即可确定出tanx的值【解答】解：已知等式变形得：1cosx+sinx22cosx2sinx，即3sinx+3cosx，两边平方得：（3sinx+3）2cos2x，即9sin2x+18sinx+91sin2x，整理得：5sin2x+9sinx+40，即（5sinx+4）（sinx+1）0，解得：sinx或sinx1（原式分母为0，舍去），将sinx代入得：+3cosx，即cosx，则tanx故选：A【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键11（5分）为了得到函数的图象，只需把函数的图象

16、（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度【分析】利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，诱导公式，得出结论【解答】解：把把函数的图象向左平移个单位长度，可得ycos（2x+）cos（2x+）sin（2x+）的图象，故选：C【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数yAsin（x+）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题12（5分）已知函数，则关于x的方程，当1a2时实根个数为（）A5个B6个C7个D8个【分析】令x+2t，则f（t）a，结合f（x）的函数图象可知关于t的方程f（t）a的解的个数和解的范围，利用t的范围得出关

17、于x的方程x+2t的解的个数即可得出答案【解答】解：令x+2t，则f（t）a，做出yf（x）的函数图象如图所示：由图象可知：当1a2时，关于t的方程f（t）a有3解不妨设3个解分别为t1，t2，t3，且t1t2t3，则24t14，1t22，2t33，当x+2t1，即x2（2+t1）x+10，24t14，（2+t1）240，方程x+2t1有2解，同理：方程x+2t2有2解，x+2t3有2解，当1a2时，关于x的方程有6解故选：B【点评】本题考查了函数的零点的个数判断与函数图象的关系，属于中档题二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）在（，0）上是增

18、函数，且 f（1）0，则满足xf（x）0的x的取值的范围为1，1【分析】由题意可得f（x）f（x），且f（x）在（0，+）上是增函数，即有f（0）f（1）f（1）0，讨论x的符号，运用单调性，解不等式即可得到所求范围【解答】解：定义域为R的奇函数f（x）在（，0）上是增函数，可得f（x）f（x），且f（x）在（0，+）上是增函数，即有f（0）f（1）f（1）0，xf（x）0，可得x0时成立；x0，f（x）0f（1），解得0x1；x0，f（x）0f（1），解得1x0，综上可得，1x1故答案为：1，1【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题14

19、（5分）函数的最小正周期为，对称中心为（ +，0），kZ【分析】由题意利用正切函数的周期性以及图象的对称性，得出结论【解答】解：函数的最小正周期为，令2xk，求得x+，可得函数的图象的对称中心为（ +，0），kZ，故答案为：；（ +，0），kZ【点评】本题主要考查正切函数的周期性以及图象的对称性，属于基础题15（5分）在ABC所在的平面上有一点P，满足+，则PBC与ABC的面积之比是2：3【分析】解题突破口是从已知条件所给的关系式化简，确定出2，即点P是CA边上的第二个三等分点，由此问题可解【解答】解：由+，得+0，即+0，得+0，即2，所以点P是CA边上的第二个三等分点，故故答案为：2：3【

20、点评】本题考查向量在几何中的应用，解答的关键是从已知条件所给的关系式化简，确定点P的位置16（5分）设函数，其中k是一个正整数若对任意实数 a，均有f（x）|axa+lf（x）|xR，则k的最小值为16【分析】由题意利用正弦函数的周期性，正弦函数的最值，可得函数的最小正周期为1，由此可得整数k的最小值【解答】解：函数，其中k是一个正整数若对任意实数 a，均有f（x）|axa+lf（x）|xR，则函数的最小正周期为1，k5，故整数k的最小值为5+116，故答案为：16【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数的最值，属于基础题三、解答题（共6个大题，第一个大题10分，其余大题均为12分，共7

21、0分）17（10分）计算：（1）（2）【分析】（1）利用指数运算性质即可得出（2）利用对数运算性质即可得出【解答】解：（1）原式72+149+64+19 （2）原式4【点评】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18（12分）（1）已知，且0x求（2）已知 tan（x）2，求 2sin2xsinxcosx+cos2x的值【分析】（1）采用两边平方，可得sinxcosx0，可知x，利用同角三角函数关系式即可求解（2）由 tan（x）2，采用除“1”法，即除以sin2x+cos2x1，弦化切，即可求解【解答】解：（1）由，可得：1+2sinxcosx即sinxcosx，

22、可知x，那么：sinx0，cosx0（sinxcosx）212sinxcosx，那么sinxcosx，sinx，cosx则；（2）由 tan（x）2，可得tanx2，2sin2xsinxcosx+cos2x【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键19（12分）已知函数f（x）Asin（x+）+1（A0，0，0）的周期为，f（）+1，且f（x）得最大值为3（1）写出f（x）的表达式；（2）写出函数f（x）的对称中心，对称轴方程（3）求f（x）在区间0，上的单调递增区间【分析】（1）根据题意求出和A、的值，写出f（x）的解析式；（2）由正弦函数的图象与性质，求出

23、f（x）的对称中心和对称轴方程；（3）根据正弦函数的单调性求出f（x）在区间0，上的单调增区间【解答】解：（1）函数f（x）的最小正周期为，T，解得2；又f（x）的最大值为3，A+13，解得2；f（x）2sin（2x+）+1；又f（）+1，2sin（+）+1+1，cos，又0，f（x）2sin（2x+）+1；（2）由f（x）2sin（2x+）+1，令2x+k，解得x，kZ；函数f（x）的对称中心为（，1）（kZ）；令2x+k+，解得x+，kZ；f（x）的对称轴方程为x+（kZ）；（3）令2k2x+2k+，kZ，解得kxk+，kZ；又x0，f（x）在区间0，上的单调递增区间为0，【点评】本题考查

24、了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了求函数解析式的问题，是中档题20（12分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可清除蔬菜上残留农药量的，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；（2）写出函数f（x）的定义域，判断该函数的单调性（不用证明），并写出值域；（3）设，现有a（a0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由【分析

25、】（1）规定：“f（0）1”，表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样（2）f（x）在0，+）上f（x）单调递减，其值域为（0，1；（3）先设仅清洗一次，计算出残留在农药量，清洗两次后，残留的农药量，再比较它们的大小关系即得【解答】解：（1）f（0）1，表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样（2）f（x）在0，+）上f（x）单调递减，其值域为（0，1（3）设仅清洗一次，残留在农药量为f1，清洗两次后，残留的农药量为f22，则f1f2；于是，当a2时，清洗两次后残留在农药量较少；当a2时，两种清洗方法具有相同的效果；当0a2时，一次清洗残留的农药量较少【点评】本小题主要考查函数模型

26、的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力21（12分）设 f（x）ax2+bx+c（a0），方程f（x）x0的两个根x1，x2满足xx1x2；（1）当x（0，x1）时，证明xf（x）x1；（2）设f（x）的图象关于直线xx0对称，证明x0【分析】（1）令F（x）f（x）x因为x1，x2是方程f（x）x0的根，所以F（x）a（xx1）（xx2） 利用单调性即可证明；（2）利用韦达定理建立关系，根据ax21，放缩可得，即可证明【解答】证明：（1）令F（x）f（x）x因为x1，x2是方程f（x）x0的根，所以F（x）a

27、（xx1）（xx2） 当x（0，x1）时，由于x1x2，得（xx1）（xx2）0，又a0，得F（x）a（xx1）（xx2）0，即xf（x） Ff（x）x1a（xx1）（xx2）+（xx1）（xx1）（axax2+1）因为 xx1x2；所以x1x0，1+a（xx2）1+axax21ax20得x1f（x）0由此得f（x）x1（2）依题意知对称轴x0因为x1，x2是方程f（x）x0的根，即x1，x2是方程ax2+（b1）x+c0的根x1+x2，ax21故得x0【点评】本题考查了二次函数的性质以及韦达定理的灵活应用，放缩法的证明，属于中档题22（12分）设f（x）是R上的奇函数，且当x0时，f（x）l

28、g（x2ax+17），aR（1）若f（1）1，求f（x）的解析式；（2）若a0，不等式f（k2x）+f（4x+k+1）0恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（x）的值域为R，求a的取值范围【分析】（1）由f（1）1，求得a8求得当x0时f（x）的解析式，再由f（0）0，可得f（x）在R上的解析式；（2）若a0，则由f（x）为奇函数可得它在R上单调递增，不等式等价于k2x+4x+k+10令t2x（t0），可得t2+kt+k+10在（0，+）恒成立，分离参数k，利用基本不等式求得k的范围；（3）根据f（x）的值域为R，结合对数函数的性质，运用参数分离，结合基本不等式，即可得到结论【解答】解：（1

29、）f（1）1，f（1）lg（18a）1，18a10，即a8，此时，当x0时，x0，f（x）f（x）lg（x2+8x+17），又f（0）0，故f（x）（2）若a0，则由f（x）为奇函数可得它在R上单调递增，故f（k2x）+f（4x+k+1）0，等价于k2x+4x+k+10令t2x（t0），于是，t2+kt+k+10在（0，+）恒成立，即k（t+1）+2，（t+1）+2的最大值为22，k22（3）要使f（x）的值域为R，需要x0时，lg（x2ax+17）取得一切正数，由对称性可得x0时，f（x）取得一切负数，故x2ax+171在（0，+）上有解，由ax+8，当且仅当x4时，等号成立综上可得a8【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题