2017-2018学年湖南省长沙一中高一（上）期中数学试卷（含详细解答）

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2、（5分）在同一坐标系中，函数与yloga（x）（其中a0且a1）的图象只可能是（）ABCD5（5分）已知，则（）AabcBcabCacbDcba6（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（x+6）f（x），当x（3，0）时，f（x）2x5，则f（8）（）A1B9C5D117（5分）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（）ABCD8（5分）函数f（x）2x+log2|x|的零点个数为（）A0B1C2D39（5分）一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t等于（）AlgBlgCD10（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间a，b

3、上的两个函数，若对任意的xa，b都有|f（x）g（x）|1，则称f（x）和g（x）在a，b上是“依函数”，区间a，b为“依区间”，设f（x）x23x+4与g（x）2x3在区间a，b上是“依函数”，则它的“依区间”可以是（）A3，4B2，4C2，3D1，411（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）ex+x2的零点为a，函数g（x）lnx+x2的零点为b，则下列不等式成立的是（）Af（1）f（a）f（b）Bf（a）f（b）f（1）Cf（a）f（1）f（b）Df（b）f（1）f（a）12（5分）已知函数f（x）且f（2a）（2a+2）2f（12a）（14a）2，则实数a的取值范围为（）A（2，

4、4）B（4，14）C（2，14）D（4，+）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为 14（5分）已知集合A中元素（x，y）在映射f下对应B中元素（x+y，xy），则B中元素（4，2）在A中对应的元素为 15（5分）函数y（x22x3）的单调减区间为 16（5分）已知函数f（x）满足对任意实数m，n，都有f（m+n）f（m）+f（n）1，设g（x）f（x）+（a0，a0），若g（ln2017）2018，则三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过

5、程或演算步骤.）17（10分）计算：（1）（2）18（12分）已知集合Ax|0ax+13，集合Bx|x2（1）若a1，求AB；（2）若ABA，求实数a的取值范围19（12分）已知函数（1）求函数yf（x）的单调区间；（2）若直线ym与该图象有三个公共点，从左至右分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），求sx1+x2x3的取值范围20（12分）某商场经营一批进价为a元/台的小商品，经调查得知如下数据若销售价上下调整，销售量和利润大体如下：（1）在下面给出的直角坐标系中，根据表中的数据描出实数对（x，y）的对应点，并写出y与x的一个函数关系式；（2）请把表中的空格里的数据填上；

6、（3）根据表中的数据求P与x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？21（12分）已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）2log2（1x）（1）求函数f（x）及g（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（2x）m有解，求实数m的取值范围22（12分）已知f（x）ax2+bx+c（a，bR，a0）（I）当a1，b2时，若存在实数x1，x2（x1x2）使得|f（xi）|2（i1，2），求实数c的取值范围；（II）若a0，函数f（x）在5，2上不单调，且它的图象与x轴相切，记f（2）（b2a），求实数的取值范围2017-2018学年湖南省长沙一中高一（上

8、析】根据集合之间的关系即可判断【解答】解：集合Mx|x5k25（k1）+3，kZ，Px|x5n+3，nZ，MP，Sx|x10m+3，mZSx|x52m+3，mZPx|x5n+3，nZ，SPM，故选：C【点评】本题考查了集合之间的包含关系，属于基础题3（5分）利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4y2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556yx20.040.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程2xx2的一个根位于下列区间的（）A（0.6，1.0）B（1.4，

9、1.8）C（1.8，2.2）D（2.6，3.0）【分析】本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题在解答时，应先将方程的问题转化为函数零点大致区间的判断问题，结合零点存在性定理即可获得解答【解答】解：令f（x）2xx2，由表知f（1.8）3.4823.240，f（2.2）4.5954.840，方程2xx2的一个根所在的区间为（1.8，2.2）故选：C【点评】此题是个基础题本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想以及数据处理的能力值得同学们体会和反思4（5分）在同一坐标系中，函数与yloga（x）（其中a0且a1）的图象只可能是（）

10、ABCD【分析】明确函数的图象与函数yax的图象关于y轴对称，函数yax的图象与函数ylogax的图象关于yx对称，函数yloga（x）的图象与函数函数ylogax的图象关于y轴对称可得解【解答】解：，由图易知故选C【点评】本题主要考查基本函数间的变换，总结其规律，理解其性质，反映其图象，考查学生识图用图的数形结合的能力5（5分）已知，则（）AabcBcabCacbDcba【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：a（0，1），b0，clog231cab故选：B【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6（5分）已知函数f（x）是R上的偶

11、函数，且f（x+6）f（x），当x（3，0）时，f（x）2x5，则f（8）（）A1B9C5D11【分析】根据题意，利用函数的周期性可得f（8）f（2），进而利用函数的奇偶性可得f（2）f（2），结合函数的解析式即可得f（2）的值，综合即可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+6）f（x），则f（8）f（2），又由函数为偶函数，则f（2）f（2），又由当x（3，0）时，f（x）2x5，则f（2）2（2）59；则有f（8）f（2）f（2）9；故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，关键是利用函数的周期性，属于基础题7（5分）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A

12、BCD【分析】把函数的定义域为R转化为对任意xRax2x+a0恒成立，然后对a分类求解得答案【解答】解：函数的定义域为R，对任意xR，ax2x+a0恒成立，若a0，则x0，不合题意；若a0，则（1）24a20，解得a或a实数a的取值范围是故选：B【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题8（5分）函数f（x）2x+log2|x|的零点个数为（）A0B1C2D3【分析】由题意可得，本题即求函数 y2x的图象和函数ylog 2|x|的图象的交点个数，数形结合可得结论【解答】解：函数f（x）2x+log2|x|的零点个数，即为函数 y2x的图象和函数ylog 2|x|的图象

13、的交点个数如图所示：数形结合可得，函数 y2x的图象和函数ylog 2|x|的图象的交点个数为2，故选：C【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题9（5分）一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t等于（）AlgBlgCD【分析】设这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t，可以得出一个方程，得两边取对数，再用换底公式变形，求出t；【解答】解：a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为t，a（18%）t，两边取对数，lg0.92tlg0.5，即tlg0.92lg0.

14、5，t故选：C【点评】本题以实际问题为载体，考查指数函数模型的构建，考查解指数方程，属于基础题10（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间a，b上的两个函数，若对任意的xa，b都有|f（x）g（x）|1，则称f（x）和g（x）在a，b上是“依函数”，区间a，b为“依区间”，设f（x）x23x+4与g（x）2x3在区间a，b上是“依函数”，则它的“依区间”可以是（）A3，4B2，4C2，3D1，4【分析】根据“依函数”的定义列出绝对值不等式|x23x+4（2x3）|1，求出解集即可得到它的“依区间”【解答】解：由题意f（x）x23x+4与g（x）2x3在区间a，b上是“依函数”，则|f（x）

15、g（x）|1，即|x23x+4（2x3）|1，即，解得：1x4，所以它的“依区间”是1，4故选：D【点评】考查学生会根据题中新定义的概念列出不等式得到解集，要求学生会解绝对值不等式11（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）ex+x2的零点为a，函数g（x）lnx+x2的零点为b，则下列不等式成立的是（）Af（1）f（a）f（b）Bf（a）f（b）f（1）Cf（a）f（1）f（b）Df（b）f（1）f（a）【分析】首先判断两个函数的单调性，再由定义知f（a）0，f（1）e+120，g（b）0，g（1）0+120，从而可判断0a1b；从而再利用单调性判断大小关系【解答】解：易知函数f（x）e

16、x+x2在R上是增函数，g（x）lnx+x2在（0，+）上也是增函数；又f（a）0，f（1）e+120，g（b）0，g（1）0+120，0a1b；故f（a）f（1）f（b）；故选：C【点评】本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题12（5分）已知函数f（x）且f（2a）（2a+2）2f（12a）（14a）2，则实数a的取值范围为（）A（2，4）B（4，14）C（2，14）D（4，+）【分析】令g（x）f（x）（x+2）2，利用导数法可得函数在定义域（2，+）上为减函数，进而结合f（2a）（2a+2）2f（12a）（14a）2，得到实数a的取值范围【解答】解：函数

17、f（x）在定义域（2，+）上为减函数，由2a2，且12a2得：a（1，14），令g（x）f（x）（x+2）2，则g（x）0恒成立，故g（x）为减函数，若f（2a）（2a+2）2f（12a）（14a）2，则2a12a，解得：a4，综上可得：a（4，14），故选：B【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，分段函数的应用，难度中档二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为【分析】设幂函数的解析式为f（x）x，由幂函数f（x）的图象过点，求得的值，可得f（8）的值【解答】解：设幂函数的解析式为f（x）x，幂函数f（x）的图

18、象过点，4，f（8），故答案为：【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题14（5分）已知集合A中元素（x，y）在映射f下对应B中元素（x+y，xy），则B中元素（4，2）在A中对应的元素为（1，3）【分析】由题意可得，解方程组即可得到所求元素【解答】解：由题意可得，解得，即B中元素（4，2）在A中对应的元素为（1，3）故答案为：（1，3）【点评】本题考查映射的定义和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题15（5分）函数y（x22x3）的单调减区间为（3，+）【分析】令tx22x30，求得的定义域，且函数yt，本题即求二次函数t在定义域内的增区间，再利用二次函数的

19、性值可得结论【解答】解：令tx22x30，求得x1，或x3，故函数的定义域为x|x1，或x3，且函数yt，故本题即求二次函数t在定义域内的增区间再利用二次函数的性值可得t在定义域内的增区间为（3，+），故答案为：（3，+）【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题16（5分）已知函数f（x）满足对任意实数m，n，都有f（m+n）f（m）+f（n）1，设g（x）f（x）+（a0，a0），若g（ln2017）2018，则2015【分析】由已知中函数f（x）满足对任意实数m，n，都有f（m+n）f（m）+f（n）1，可得f（0）1，进而f（x）+

20、f（x）2，g（x）+g（x）3，结合g（ln2017）2018，可得答案【解答】解：函数f（x）满足对任意实数m，n，都有f（m+n）f（m）+f（n）1，设令mm0，则f（0）2f（0）1，解得：f（0）1，令mx，nx，则f（0）f（x）+f（x）1，即f（x）+f（x）2，g（x）f（x）+（a0，a0），g（x）f（x）+f（x）+，故g（x）+g（x）f（x）+f（x）+13，g（ln2017）+2018+3，即2015，故答案为：2015【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据具体建立方程关系是解决本题的关键综合性较强，难度较大三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字

21、说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）计算：（1）（2）【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可，（2）根据对数的运算性质计算即可【解答】解：（1）原式39a；（2）原式+log2+【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题18（12分）已知集合Ax|0ax+13，集合Bx|x2（1）若a1，求AB；（2）若ABA，求实数a的取值范围【分析】（1）a1时求出集合A，根据补集的定义写出AB；（2）ABA得AB，A中不等式解集分三种情况讨论：a0、a0和a0时，求出对应集合A，根据AB求出a的取值范围【解答】解：（1）a1时，集合Ax|1x2，故集合Bx|x2；ABx|1x或x2；

22、（5分）（2）ABA，则AB，A中不等式解集分三种情况讨论：a0时，AR，AB不成立；（7分）a0时，Ax|x，由AB得，解得a4；（9分）a0时，Ax|x，由AB得，解得a2；（11分）综上所述，a的取值范围是（，4）2，+）（12分）【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题19（12分）已知函数（1）求函数yf（x）的单调区间；（2）若直线ym与该图象有三个公共点，从左至右分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），求sx1+x2x3的取值范围【分析】（1）讨论x1，0x1，当x0时，f（x）的解析式和单调性，即可得到所求单调区间；（2）由题意可得m（0，3，且

23、，求和与积，即可得到所求范围【解答】解：（1）函数，当x1时，f（x）lnx递增；当0x1时，f（x）lnx递减；当x0时，f（x）2x+3递增，则yf（x）的单调递增区间为（，0）和（1，+），单调递减区间为（0，1）（2）由题知直线ym与该图象有三个公共点，则m（0，3，由得，故【点评】本题考查分段函数的运用：求单调区间和求取值范围，考查单调性的运用以及运算能力，属于中档题20（12分）某商场经营一批进价为a元/台的小商品，经调查得知如下数据若销售价上下调整，销售量和利润大体如下：销售价（x元/台）35404550日销售量（y台）57422712日销售额（t元）1995日销售利润（P元）2

24、85（1）在下面给出的直角坐标系中，根据表中的数据描出实数对（x，y）的对应点，并写出y与x的一个函数关系式；（2）请把表中的空格里的数据填上；（3）根据表中的数据求P与x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？【分析】（1）根据数据画出点的位置即可，求出函数的解析式；（2）根据所给数据完成表格；（3）根据函数的解析式结合二次函数的性质求出取最值时对应的x的值即可【解答】解：（1）如下图由图知y是x的一次函数，可求得y3x+162（2）日销售额（t元）199516801215600日销售利润（P元）285420405240（3）由（1）知销售单价为x元时，日销售量y1

25、623x（台）由表格知进价为30元，则日销售利润P（1623x）（x30）3x2+252x48603（x42）2+432（30x54）故当x42时，P取最大值，即销售单价为42元时，可获得最大日销售利润【点评】本题考查了一次函数，二次函数的应用，运用函数解决实际问题，是一道中档题21（12分）已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）2log2（1x）（1）求函数f（x）及g（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（2x）m有解，求实数m的取值范围【分析】（1）利用方程组思想，求函数f（x）及g（x）的解析式（2）利用函数单调性即可得出【解答】解：（1）f（x）+g（x）2lo

26、g2（1x），f（x）+g（x）2log2（1+x），又f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，f（x）+g（x）2log2（1+x），由得：g（x）log2（1x2），f（x）log2，（2）由1+（1，1），可得f（2x）0，当x0时，函数f（2x）单调递减，当m0时，关于x的方程f（2x）m有解，实数m的取值范围是m0【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法方程组法；考查对数函数的单调性，属于中档题22（12分）已知f（x）ax2+bx+c（a，bR，a0）（I）当a1，b2时，若存在实数x1，x2（x1x2）使得|f（xi）|2（i1，2），求实数c的取值范围；（II）若a0，函数f（x）在5，2上不单调，且它的图象与x轴相切，记f（2）（b2a），求实数的取值范围【分析】（）根据二次函数的性质得到关于c的不等式，解出即可；（）由f（2）（b2a），表示出，结合二次函数的性质求出的范围即可【解答】解：（）由题意可得：方程x2+2x+c2有两个不等的根，44（c2）0，c3；（）由a0，函数f（x）在5，2上不单调，且它的图象与x轴相切，可得，即，由f（2）（b2a），得，令，2t8，且【点评】本题考查二次函数的最值求法，主要考查函数的单调性的运用，注意分类讨论的思想方法的运用和基本不等式的运用，同时考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题