2018-2019学年湖南省长沙市重点中学高一（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）下列四条直线，其倾斜角最大的是（）Ax+2y+30B2xy+10Cx+y+10Dx+102（3分）若一个等腰三角形采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）A倍B2倍C倍D倍3（3分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD1与BD所成角的大小为（）A30B45C60D904（3分）已知两条直线l，m与两个平面，下列命题正确的是（）A若l，lm，则mB若l，l，则C若l，m，则lmD若，m，则m5（3分）圆C1：x2+（y1）21与圆C2：（x+4）2+（y1）2

2、4的公切线的条数为（）A4B3C2D16（3分）一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为$（）ABCD7（3分）两条平行直线3x4y30和mx8y+50之间的距离是（）ABCD8（3分）方程（a1）xy+2a+10（aR）所表示的直线（）A恒过定点（2，3）B恒过定点（2，3）C恒过点（2，3）和（2，3）D都是平行直线9（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1），点B在圆x2+y24上，则的最大值为（）A3BCD410（3分）在ABC中，若a2b2+c2bc，bc4，则ABC的面积为（）AB1CD211（3分）在ABC中，内角A、B满足sin2Asi

3、n2B，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形12（3分）已知方程表示圆，则实数k的取值范围是（）Ak3Bk2C2k3Dk3或k213（3分）若曲线与直线yx+b始终有交点，则b的取值范围是（）ABCD14（3分）一个几何体的三视图如图所示，其中三个三角形均是直角三角形，图形给出的数据均是直角边的长度，则该几何体的外接球的体积为（）A24B6C8D15（3分）如图，设圆C1：（x5）2+（y+2）24，圆C2：（x7）2+（y+1）225，点A、B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线yx上的动点，则|PA|+|PB|的最小值为（）A54B54C37D37

4、二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16（3分）过点P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为   17（3分）若圆锥的表面积为27，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面圆的直径为   18（3分）设点P（3，2）是圆（x2）2+（y1）24内部一点，则以P为中点的弦所在的直线方程是有   19（3分）已知长方体ABCDA1B1ID1，AB2AA12AD，则直线CB与平面A1BCD1所成角的正弦值是   20（3分）圆锥底面半径为1，高为，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距

5、离是   三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21（8分）已知直线l1：x+my+60，l2：（m2）x+3y+2m0，求：（1）若l1l2，求m的值；（2）若l1l2，求m的值22（8分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点（1）求证：平面BC1D平面ABB1A1；（4）若异面直线A1B1和BC1所成的角为60，求直三棱柱ABCA1B1C1的体积23（8分）已知圆C过A（2，2），B（2，6）两点，且圆心C在直线3x+y0上（）求圆C的方程；（）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的

6、线段长为4，求l的方程24（8分）在ABC中，角A，B，C的三条对边分别为a，b，c，bcosC+bsinCa（1）求B；（2）点D在边BC上，AB4，CD，cosADC，求AC25（8分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点（）求证AM平面BDE；（）求二面角ADFB的大小2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）下列四条直线，其倾斜角最大的是（）Ax+2y+30B2xy+10Cx+y+

7、10Dx+10【分析】根据题意，依次分析选项，求出所给直线的斜率，比较其倾斜角的大小，即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、x+2y+30，其斜率k1，倾斜角1为钝角，对于B、2xy+10，其斜率k22，倾斜角2为锐角，对于C、x+y+10，其斜率k31，倾斜角3为135，对于D、x+10，倾斜角4为90，而k1k3，故13，故选：A【点评】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，关键是掌握直线的斜率与倾斜角的关系2（3分）若一个等腰三角形采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）A倍B2倍C倍D倍【分析】以等腰三角形的底边所在的直线为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二

8、测画法得出三角形底边长和高的变化情况，即可得出答案【解答】解：以等腰三角形的底边所在的直线为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为y轴，长度减半，故三角形的高变为原来的sin45，所以直观图中三角形的面积是原三角形面积的倍故选：C【点评】本题考查了斜二测画法中直观图的面积和原来图形面积之间的关系，是基础知识的考查3（3分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD1与BD所成角的大小为（）A30B45C60D90【分析】寻找与AD1平行的直线BC1，则直线BD与BC1所成的角，即是AD1与BD所成角【解答】解：连结BC1，则BC1AD1，所以BD与BC1所成

9、的角，即是AD1与BD所成角连结DC1，则三角形BDC1是正三角形，所以DBC160，即AD1与BD所成角的大小为60故选：C【点评】本题主要考查了空间两异面直线及其所成的角的求法，根据异面直线所成角的定义，寻找平行线是解决本题的关键4（3分）已知两条直线l，m与两个平面，下列命题正确的是（）A若l，lm，则mB若l，l，则C若l，m，则lmD若，m，则m【分析】结合图形易否定A；利用线面平行的性质和面面垂直的判定可证B正确【解答】解：A如图可否定A；B如图l，l，m，lm，l，m，故选：B【点评】此题考查了直线、平面的各种位置关系，难度不大5（3分）圆C1：x2+（y1）21与圆C2：（x+

10、4）2+（y1）24的公切线的条数为（）A4B3C2D1【分析】先根据圆心距与两圆半径的关系判断出两圆相离，所以有4条公切线【解答】解：|C1C2|4，r11，r22，r1+r21+23，|C1C2|r1+r2，所以圆C1与圆C2相离，有4条公切线故选：A【点评】本题考查了两圆的公切线的条数，属中档题6（3分）一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为$（）ABCD【分析】根据题意作出图形，利用直角三角形直接得半径，求体积【解答】解：如图，由题意可知，OA3，OO4，ROA5，故选：C【点评】此题考查了球体积公式，属容易题7（3分）两条平行直线3x4y30和m

11、x8y+50之间的距离是（）ABCD【分析】首先求出m的值，然后利用平行线之间的距离公式解答【解答】解：由已知两条平行直线3x4y30和mx8y+50，所以m6，所以两条平行线的距离为；故选：A【点评】本题考查了两条平行线的距离；注意x，y的系数要化为相同，才能运用公式8（3分）方程（a1）xy+2a+10（aR）所表示的直线（）A恒过定点（2，3）B恒过定点（2，3）C恒过点（2，3）和（2，3）D都是平行直线【分析】可将（a1）xy+2a+10（aR）转化为（x+2）axy+10，令a的系数为0，xy+10即可【解答】解：（a1）xy+2a+10（aR），（x+2）axy+10，解得：x2

12、，y3即方程（a1）xy+2a+10（aR）所表示的直线恒过定点（2，3）故选：A【点评】本题考查恒过定点的直线，方法较灵活，可转化为关于a的函数，令a的系数为0，xy+10即可，也可以令x、y取两组值，解得交点坐标即为所求，属于中档题9（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1），点B在圆x2+y24上，则的最大值为（）A3BCD4【分析】根据向量减法的三角形法则转化为求|，再根据两边之和大于等于第三边可得最大值【解答】解：|OB|+|OA|2+2+，故选：C【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题10（3分）在ABC中，若a2b2+c2bc，bc4，则ABC的面积为（）AB1CD

13、2【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出A的度数，再由bc的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可【解答】解：ABC中，a2b2+c2bc，即b2+c2a2bc，cosA，A60，bc4，SABCbcsinA，故选：C【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题11（3分）在ABC中，内角A、B满足sin2Asin2B，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【分析】解法1：利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）0或sin（AB）0，推断出A+B

14、90或AB，即可判断出三角形的形状解法2：由两角的正弦值相等及A和B为三角形的内角，得到两角2A和2B相等或互补，即A与B相等或互余，进而确定出三角形的形状【解答】解：法1：sin2Asin2B，sin2Asin2Bcos（A+B）sin（AB）0，cos（A+B）0或sin（AB）0，A+B90或AB，则ABC一定是直角三角形或等腰三角形法2：sin2Asin2B，且A和B为三角形的内角，2A2B或2A+2B180，即AB或A+B90，则ABC一定是等腰或直角三角形故选：D【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦函数的图象与性质，积化和差公式，以及等腰三角形的判定，解题的

15、关键是挖掘题设信息，借助三角函数的基本公式和基本性质找到边与边或角与角之间的关系12（3分）已知方程表示圆，则实数k的取值范围是（）Ak3Bk2C2k3Dk3或k2【分析】由D2+E24F0的关于k的一元二次不等式求解【解答】解：方程表示圆，0，即2k22k120，k2k60，解得k3或k2故选：D【点评】本题考查圆的一般方程，是基础题13（3分）若曲线与直线yx+b始终有交点，则b的取值范围是（）ABCD【分析】数形结合：作出两个函数的图象，观察图象可得【解答】解：作出函数y与yx+b图象，由图可知：1故选：A【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题14（3分）一个几何体的三视图如图所

16、示，其中三个三角形均是直角三角形，图形给出的数据均是直角边的长度，则该几何体的外接球的体积为（）A24B6C8D【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：所以：该几何体的外接球半径（2r）212+22+126，解得：，所以：V故选：D【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型15（3分）如图，设圆C1：（x5）2+（y+2）24，圆C2：（x7）2+（y+1）225，点A、B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线yx上的动点，则|PA|+

17、|PB|的最小值为（）A54B54C37D37【分析】利用对称的性质，结合两点之间的距离最短，即可求解【解答】解：依题意可知圆C1的圆心（5，2），r2，圆C2的圆心（7，1），R5，如图所示：对于直线yx上的任一点P，由图象可知，要使|PA|+|PB|的得最小值，则问题可转化为求|PC1|+|PC2|Rr|PC1|+|PC2|7的最小值，即可看作直线yx上一点到两定点距离之和的最小值减去7，由平面几何的知识易知当C1关于直线yx对称的点为 C1（2，5），与P、C2共线时，|PC1|+|PC2|的最小值，取得最小值，即直线yx上一点到两定点距离之和取得最小值为|CC2|PA|+|PB|的最小

18、值为|PC1|+|PC2|7 故选：C【点评】本题考查了圆关于直线的对称的圆的求法，动点的最值问题，考查了点与点的距离公式的运用，是中档题题二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16（3分）过点P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+y50，或3x2y0【分析】分直线的截距不为0和为0两种情况，用待定系数法求直线方程即可【解答】解：若直线的截距不为0，可设为，把P（2，3）代入，得，a5，直线方程为x+y50若直线的截距为0，可设为ykx，把P（2，3）代入，得32k，k，直线方程为3x2y0所求直线方程为x+y50，或3x2y0故答案为x+y50，或3x2y0【点评

19、】本题考查了直线方程的求法，属于直线方程中的基础题，应当掌握17（3分）若圆锥的表面积为27，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面圆的直径为6【分析】设圆锥母线长为R，底面圆半径为r，根据侧面展开图得到R2r，再求表面积与底面半径和直径【解答】解：设圆锥母线长R，底面圆半径为r，侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为R，半圆弧长为2r，R2r，R2r，表面积是侧面积与底面积的和，S表R2+r2，R2r，S表3r227，解得r3，圆锥的底面直径为2r6故答案为：6【点评】本题考查了圆锥的结构特征与表面积公式计算问题，是基础题18（3分）设点P（3，2）是圆（x2）2+（y1）24内部一点，则

20、以P为中点的弦所在的直线方程是有x+y50【分析】求出圆的圆心与半径，求出所求直线的斜率，然后求解以点P为中点的弦所在的直线方程【解答】解：圆（x2）2+（y1）24的圆心（2，1），点P（3，2）是圆（x2）2+（y1）24内部一点，以点P为中点的弦所在的直线的斜率为：1以点P为中点的弦所在的直线方程为：y2（x3）即x+y50故答案为：x+y50【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线方程的求法，考查计算能力19（3分）已知长方体ABCDA1B1ID1，AB2AA12AD，则直线CB与平面A1BCD1所成角的正弦值是【分析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间

21、直角坐标系，利用向量法能求出直线CB与平面A1BCD1所成角的正弦值【解答】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB2AA12AD2，则C（0，2，0），B1（1，2，1），A1（1，0，1），C（0，2，0），B（1，2，0），（1，0，1），（0，2，1），（1，0，0），设平面A1BCD1的法向量（x，y，z），则，取y1，得（0，1，2），设直线CB与平面A1BCD1所成角为，则sin直线CB与平面A1BCD1所成角的正弦值为故答案为：【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力

22、，是中档题20（3分）圆锥底面半径为1，高为，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是3【分析】利用圆锥的侧面展开图，确定扇形的圆心角，即可求得结论【解答】解：圆锥的侧面展开图为扇形，其弧长为底面圆的周长，即2圆锥的母线长为3扇形的圆心角，一动点从点P 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是：3故答案为：3【点评】本题考查旋转体表面上的最短距离，考查学生的计算能力，属于基础题三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21（8分）已知直线l1：x+my+60，l2：（m2）x+3y+

23、2m0，求：（1）若l1l2，求m的值；（2）若l1l2，求m的值【分析】（1）对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出（2）由m（m2）30，解得：m3或1经过验证m3时两条直线重合，舍去【解答】解：（1）m0时，两条直线不垂直，舍去m0时，l1l2，1，解得m综上可得：m（2）由m（m2）30，解得：m3或1经过验证m3时两条直线重合，舍去m1时，l1l2【点评】本题考查了直线平行与垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题22（8分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点（1）求证：平面BC1D平面ABB1A1

24、；（4）若异面直线A1B1和BC1所成的角为60，求直三棱柱ABCA1B1C1的体积【分析】（1）由三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，得AA1平面A1B1C1，则AA1C1D，再由已知得C1DA1B1，利用线面垂直的判定可得C1D平面AA1B1B，从而得到平面BC1D平面ABB1A1；（2）连接AC1，由ACBC，C1C平面ABC，得AC1BC1，进一步得到ABC1 为等腰三角形，求出三棱柱的高，代入棱柱体积公式求解【解答】（1）证明：三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，AA1平面A1B1C1，则AA1C1D，A1C1B1C1，D为A1B1 的中点，C1DA1B1，又AA1A1B1A1，C1

25、D平面AA1B1B，而C1D平面BC1D，平面BC1D平面ABB1A1；（2）解：连接AC1，由ACBC，C1C平面ABC，AC1BC1，异面直线A1B1和BC1所成的角为60，ABC1 为等腰三角形，取AB中点O，连接CO，C1O，ACBC1，ACB90，故直三棱柱ABCA1B1C1的体积V【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题23（8分）已知圆C过A（2，2），B（2，6）两点，且圆心C在直线3x+y0上（）求圆C的方程；（）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求l的方程【分析】（）根据题意，设圆C的圆心为（a，b）

26、，半径为r，结合题意可得，解出a、b、r的值，将其值代入圆的方程即可得答案；（）根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：当直线l的斜率不存在时，满足题意，当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y5kx，由点到直线的距离公式求得k的值，即可得直线的方程，综合2种情况即可得答案【解答】解：（）根据题意，设圆C的圆心为（a，b），半径为r，则圆C方程为（xa）2+（yb）2r2，又由圆C过A（2，2），B（2，6）两点，且圆心C在直线3x+y0上，则有，解可得a2，b6，r216，则圆C的方程为（x+2）2+（y6）216；（）根据题意，设直线l与圆C交与MN两点

27、，则|MN|4，设D是线段MN的中点，则有CDMN，则|MD|2，|MC|4在RtACD中，可得|CD|2当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x0，满足题意，当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y5kx，即kxy+50由点C到直线MN的距离公式：2，解可得k，此时直线l的方程为3x4y+200故所求直线l的方程为x0或3x4y+200【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，属于中档题24（8分）在ABC中，角A，B，C的三条对边分别为a，b，c，bcosC+bsinCa（1）求B；（2）点D在边BC上，AB4

28、，CD，cosADC，求AC【分析】（1）由题意利用正弦定理与三角恒等变换求出sinB与cosB的关系，得出tanB的值，从而求出B的值；（2）根据互补的两角正弦值相等，得到sinADBsinADC的值，再利用正弦、余弦定理求得AD、AC的值【解答】解：（1）由bcosC+bsinCa，利用正弦定理得：sinBcosC+sinBsinCsinA，即sinBcosC+sinBsinCsinBcosC+cosBsinC，得sinBsinCcosBsinC，又C（0，），所以sinC0，所以sinBcosB，得tanB，又B（0，），所以B；（2）如图所示，由cosADC，ADC（0，），所以sin

29、ADC，由因为ADBADC，所以sinADBsinADC；在ABD中，由正弦定理得，且AB4，B，所以AD；在ACD中，由余弦定理得，AC2AD2+DC22ADDCcosADC+24，解得AC2【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题25（8分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点（）求证AM平面BDE；（）求二面角ADFB的大小【分析】（）要证AM平面BDE，直线证明直线AM平行平面BDE内的直线OE即可，也可以利用空间直角坐标系，求出向量，在平面BDE内求出向量，证明二者共线，说明AM平面BDE，（）

30、在平面AFD中过A作ASDF于S，连接BS，说明BSA是二面角ADFB的平面角，然后求二面角ADFB的大小；也可以建立空间直角坐标系，求出，说明是平面DFB的法向量，求出平面DAF的法向量，然后利用数量积求解即可【解答】解：方法一（）记AC与BD的交点为O，连接OE，O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，四边形AOEM是平行四边形，AMOEOE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE（）在平面AFD中过A作ASDF于S，连接BS，ABAF，ABAD，ADAFA，AB平面ADF，AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BSDFBSA是二面角ADFB的平面角在RtASB中，AS，AB，二面角ADFB的大小为60方法二（）建立如图所示的空间直角坐标系设ACBDN，连接NE，则点N、E的坐标分别是（、（0，0，1），（，又点A、M的坐标分别是（）、（且NE与AM不共线，NEAM又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDF（）AFAB，ABAD，AFADA，AB平面ADF为平面DAF的法向量（0，（0得，NE为平面BDF的法向量cos的夹角是60即所求二面角ADFB的大小是60【点评】本题考查直线与平面平行，二面角的知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题