2018-2019学年湖南省长沙一中高一（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年湖南省长沙一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知全集为R，集合Ax|x0，Bx|1log2x2，则A（RB）（）Ax|x0Bx|0x2Cx|0x2或x4Dx|0x2或x42（5分）sin（285）（）ABCD3（5分）下列命题中正确的是（）A如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面4（5分）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那

2、么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的公和已知等和数列an中，a12，公和为5，则a18（）A2B2C3D35（5分）下列函数既是奇函数又在（1，1）上是减函数的是（）ABCyx1Dytanx6（5分）已知向量（1，2），（2，3）若向量满足（+），（+），则（）A（，）B（，）C（，）D（，）7（5分）庄子天下篇中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”反映这个命题本质的式子是（）A1+2B1+2C+1D+18（5分）在ABC中，ABBC，BABC，BD是边AC上的高，沿BD将ABC折起，当三棱锥ABCD的体积最大时，该三棱锥外接球表面积为（）A12B24C36D489（5

3、分）如图，在ABC中，ADAB，则（）ABCD10（5分）如果圆（xa）2+（y1）21上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是（）ABC（1，0）（0，1）D（1，1）11（5分）设各项均不为零的等差数列an的前n项和为Sn，已知a10a9，且S100，则使不等式成立的正整数n的最小值是（）A9B10C11D1212（5分）若函数，关于x的方程f2（x）+bf（x）+c0有3个不同的实数根，则（）Ab2且c0Bb2且c0Cb2且c0Db2且c0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若两个非零向量满足，则向量与的夹角为   14（5分）已知tan，

4、则   15（5分）空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45，同时在它南偏东60的B点，测得它的仰角为30，已知A、B两点间的距离为107米，这两个观测点均离地1米，则测量时气球离地的距离是   米16（5分）已知圆C：x2+y2+kx+2y+k20，过点P（1，1）可作圆的两条切线，则实数k的取值范围是   三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）已知函数（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象的橫坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，得到新的函数yg（x），当时，求g（x）的值域18（12分）设

5、a12，a24，数列bn满足：bn+12bn+2，且an+1anbn；（1）求证：数列bn+2是等比数列；（2）求数列an的通项公式19（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，DAB60，ACBDO，点P在底面的射影为点O，PO3，点E为线段PD中点（1）求证：PB平面AEC；（2）若点F为侧棱PA上的一点，当PA平面BDF时，试确定点F的位置，并求出此时几何体FBDC的体积20（12分）设Sn为数列an的前n项和，已知a12，对任意nN*，都有2Sn（n+1）an（1）求数列an的通项公式；（2）若数列的前项和为Tn，求Tn的取值范围21（12分）在ABC中，角A、

6、B、C对应的边分别为a、b、c，已知（1）求cosB的值；（2）若b8，cos2A3cos（B+C）1，求ABC的面积22（12分）已知函数f（x）ax2+bx+c（a0）满足f（0）0，对于任意xR，都有f（x）x，且，令g（x）f（x）|x1|（0）（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）当2时，判断函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数，并说明理由2018-2019学年湖南省长沙一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知全集为R，集合Ax|x0，Bx|1log2x2，则A（RB）（）Ax|x

7、0Bx|0x2Cx|0x2或x4Dx|0x2或x4【分析】可求出集合B，然后进行交集、补集的运算即可【解答】解：Bx|2x4；RBx|x2，或x4；A（RB）x|0x2，或x4故选：C【点评】考查描述法表示集合的定义，以及对数函数的单调性，交集、补集的运算2（5分）sin（285）（）ABCD【分析】先通过诱导公式得sin（285）sin75，再由7545+30，利用两角和正弦函数公式进而求得答案【解答】解：sin（285）sin（36075）sin75sin（45+30）sin45cos30+cos45sin30+故选：C【点评】本题主要考查了三角函数中两角和公式把已知角转化为特殊角是关键，

8、属于基础题3（5分）下列命题中正确的是（）A如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面【分析】在A中，如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线相交、平行或异面；在B中，能举出反例：如果该直线本身就垂直于已知平面的话，那么可以找到无数个平面与已知平面垂直；在C中，必须强调平面外的直线才有可能与平面平行；在D中如果两条直线都垂直于同一平面，则这两条直线平行，所以这两条直线共面【解答】解：如果两条直线都平行于同一个平面，那么

9、这两条直线相交、平行或异面，故A不正确；过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直，不正确反例：如果该直线本身就垂直于已知平面的话，那么可以找到无数个平面与已知平面垂直，故B不正确；如果平面外的一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么平面外这条直线平行于这个平面，故C不正确；如果两条直线都垂直于同一平面，则这两条直线平行，所以这两条直线共面，故D正确故选：D【点评】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题解题时要认真审题，仔细解答4（5分）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的公和已知等和数列an中，a12，公和为5，则a18（）A

10、2B2C3D3【分析】根据题意，分析可得an+an+15，进而可得an，据此可得答案【解答】解：根据题意，等和数列an中，a12，公和为5，则a1+a25，即可得a23，又由an1+an5，则an，则a183；故选：C【点评】本题是新定义题，关键是由新定义得到数列的通项公式，是基础题5（5分）下列函数既是奇函数又在（1，1）上是减函数的是（）ABCyx1Dytanx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，总合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y（3x3x），为奇函数，但其在R上为减函数，不符合题意；对于B，y，既是奇函数又在（1，1）上是减函数，符合题意，对于

11、C，yx1，是反比例函数，是奇函数，但在在（1，1）上不是减函数，不符合题意；对于D，ytanx，为正切函数，是奇函数，但在在（1，1）上是增函数，不符合题意；故选：B【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题6（5分）已知向量（1，2），（2，3）若向量满足（+），（+），则（）A（，）B（，）C（，）D（，）【分析】设出要求的向量的坐标，根据向量之间的平行和垂直关系，写出两个关于x，y的方程，组成方程组，解方程组得到变量的值，即求出了向量的坐标【解答】解：设（x，y），则+（x+1，y+2），+（3，1）（+），（+），2（y+2）3（x+1）

12、，3xy0x，y，故选：D【点评】本题考查向量平行和垂直的充要条件，认识向量的代数特性向量的坐标表示，实现了形与数的互相转化以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化7（5分）庄子天下篇中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”反映这个命题本质的式子是（）A1+2B1+2C+1D+1【分析】根据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，但累加和小于1，进而得到答案【解答】解：根据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，+11，故反映这个命题本质的式子是+1，故选：D【点评】本题考查的知识点是等比数列的前n项和公式，数列的应用，难度中档

13、8（5分）在ABC中，ABBC，BABC，BD是边AC上的高，沿BD将ABC折起，当三棱锥ABCD的体积最大时，该三棱锥外接球表面积为（）A12B24C36D48【分析】由题意画出图形，求出AD，BD，DC的长，然后利用分割补形法求三棱锥ABCD得外接球的表面积【解答】解：如图，在RtABC中，由ABBC，BABC，得AC4，ADDCBD2要使三棱锥ABCD体积最大，则AD平面BDC，利用分割补形法可得三棱锥ABCD的外接球的半径R外接球的表面积为故选：A【点评】本题考查多面体及其外接球表面积的求法，训练了利用分割补形法求多面体外接球的表面积，是中档题9（5分）如图，在ABC中，ADAB，则（

14、）ABCD【分析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题从要求的结论入手，用公式写出数量积，根据正弦定理变未知为已知，代入数值，得到结果，本题的难点在于正弦定理的应用【解答】解：sinB故选：D【点评】把向量同解三角形结合的问题，均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题10（5分）如果圆（xa）2+（y1）21上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是（）ABC（1，0）（0，1）D（1，1）【分析】利用圆（xa）2+（y1）21和圆x2+y24相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和即可【解答】解：圆（xa）2+（

15、y1）21上总存在两个点到原点的距离为2，圆O：x2+y24与圆C：（xa）2+（y1）21相交，|OC|，由Rr|OC|R+r得：13，2a0或0a2故选：A【点评】本题主要考查了圆方程的综合应用，难点在于将题意转化为两圆相交的问题，体现数形结合的数学思想，属于难题11（5分）设各项均不为零的等差数列an的前n项和为Sn，已知a10a9，且S100，则使不等式成立的正整数n的最小值是（）A9B10C11D12【分析】由已知可得，a1+a10a2+a9a3+a8a4+a7a5+a60，再由a10a9，可知数列为递增数列，则a50，a60，可得当n10时，0，当n11时，由此可得正整数n的最小值

16、【解答】解：在等差数列an中，由S100，得，则a1+a10a2+a9a3+a8a4+a7a5+a60又a10a9，可知数列为递增数列，则a50，a60又当n10时，0，当n11时，使不等式成立的正整数n的最小值是11故选：C【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列函数特性的应用，是中档题12（5分）若函数，关于x的方程f2（x）+bf（x）+c0有3个不同的实数根，则（）Ab2且c0Bb2且c0Cb2且c0Db2且c0【分析】由方程的解与函数图象的交点的关系得：关于x的方程f2（x）+bf（x）+c0有3个不同的实数根等价于函数tf（x）的图象与直线tt1，tt2的交点个数为3个，由韦达定理

17、及图象可得：t12，t20为关于t的方程t2+bt+c0的两根，所以b2，c0，得解【解答】解：令tf（x），则t2+bt+c0，设关于t的方程有两根为tt1，tt2，关于x的方程f2（x）+bf（x）+c0有3个不同的实数根等价于函数tf（x）的图象与直线tt1，tt2的交点个数为3个，由函数tf（x）的图象与直线tt1，tt2的位置关系可得：t12，t20，由韦达定理可得：，即b2，c0，故选：C【点评】本题考查了方程的解与函数图象的交点的关系及韦达定理，属中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若两个非零向量满足，则向量与的夹角为60【分析】由向量和与差的摸相

18、等可确定向量垂直，借助矩形对角线和边的2倍关系可求得夹角【解答】解：，如图，由题意，|OC|2|OA|，AOC60，即向量与向量的夹角为60，故答案为：60【点评】此题考查了向量的模和夹角，难度不大14（5分）已知tan，则3【分析】根据二倍角的三角函数公式，将原式的分子和分母都化成关于sin、cos的二次齐次式，再将分子和分母都除以cos2的值，得到关于tan的式子，代入题中数据即可求出原式的值【解答】解：（sin+cos）2sin2+2sincos+cos2，cos2cos2sin23故答案为：3【点评】本题给出的正切之值，求关于sin、cos的分式的值着重考查了二倍角的三角函数公式和同角

19、三角函数的基本关系等知识，属于中档题15（5分）空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45，同时在它南偏东60的B点，测得它的仰角为30，已知A、B两点间的距离为107米，这两个观测点均离地1米，则测量时气球离地的距离是+1米【分析】利用两个仰角将AD和BD用PD表示，然后在三角形ADB中用余弦定理可解得PD，再加上1即可【解答】解：如图：PAD45，PBD30，ADB150，AEDFBG1，在RtPAD中，ADPD，在RtPBD中，BDPD，在ADB中，由余弦定理得：AB2AD2+BD22ADBDcosADB，即1072PD2+3PD22PDPD（），即7PD21072，PD，测量时气

20、球离地的距离是+1故答案为：+1米【点评】本题考查了三角形中的几何计算，属中档题16（5分）已知圆C：x2+y2+kx+2y+k20，过点P（1，1）可作圆的两条切线，则实数k的取值范围是（，1）（0，）【分析】由D2+E24F0结合P（1，1）在圆的外部列式求解【解答】解：由x2+y2+kx+2y+k20表示圆，得k2+44k20，即k，过点P（1，1）可作圆C：x2+y2+kx+2y+k20的两条切线，P（1，1）在圆的外部，则12+（1）2+k2+k20，即k2+k0，解得k1或k0实数k的取值范围是（，1）（0，）故答案为：（，1）（0，）【点评】本题考查圆的切线方程，考查点与圆位置关

21、系的应用，是基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）已知函数（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象的橫坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，得到新的函数yg（x），当时，求g（x）的值域【分析】（1）首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间（2）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，进一步利用函数的定义域求出函数的值域【解答】解：（1）函数，令：（kZ），解得：（kZ），所以函数的单调递增区间为：（kZ）（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象的橫坐标缩短到原来的一

22、半，纵坐标不变，得到：g（x）的图象，由于：，所以：，所以：，故：故函数的值域为：，2【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型18（12分）设a12，a24，数列bn满足：bn+12bn+2，且an+1anbn；（1）求证：数列bn+2是等比数列；（2）求数列an的通项公式【分析】（1）a12，a24，且an+1anbn；可得b1a2a1422由bn+12bn+2，变形为：bn+122（bn+2），即可证明（2）由（1）可得：bn+242n1，可得bn2n+12an+1anb

23、n2n+12利用an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1即可证明【解答】（1）证明：a12，a24，且an+1anbn；b1a2a1422由bn+12bn+2，变形为：bn+122（bn+2），数列bn+2是等比数列，首项为4，公比为2（2）解：由（1）可得：bn+242n1，可得bn2n+12an+1anbn2n+12an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1（2n2）+（2n12）+（222）+22n+2n1+22+22（n1）2n+22n+12n【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属

24、于中档题19（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，DAB60，ACBDO，点P在底面的射影为点O，PO3，点E为线段PD中点（1）求证：PB平面AEC；（2）若点F为侧棱PA上的一点，当PA平面BDF时，试确定点F的位置，并求出此时几何体FBDC的体积【分析】（1）连接OE，利用中位线得线线平行，进而得线面平行；（2）作BFPA于F，证得PA平面BDF，利用所给数据求得AF，得到F为四等分点，再通过转换顶点把所求体积转化为PABCD的即可得解【解答】解：（1）证明：连接OE，O，E为BD，PD的中点，PBOE，又PB平面AEC，OE平面AEC，PB平面AEC；（2）

25、PO平面ABCD，POBD，又BDAC，BD平面PAC，BDPA，作BFPA交PA于F，连接DF，则PA平面BDF，在菱形ABCD中，DAB60，边长为2，可求得AO，在RtPOA中，求得PA，连接OF，易知PAOF，利用面积相等可得OF，在RtAFO中，求得AF，即F为AP的四等分点（近A），VFBDC故几何体FBDC的体积为【点评】此题考查了线面平行，线面垂直，转化法求体积等，难度适中20（12分）设Sn为数列an的前n项和，已知a12，对任意nN*，都有2Sn（n+1）an（1）求数列an的通项公式；（2）若数列的前项和为Tn，求Tn的取值范围【分析】（1）直接利用递推关系式中的叠加法的

26、应用求出数列的通项公式（2）利用裂项相消法和放缩法的应用求出结果【解答】解：（1）Sn为数列an的前n项和，已知a12，对任意nN*，都有2Sn（n+1）an当n2时，2Sn1（n+11）an1得：，则：，所以：，整理得：an2n（首项符合通项），故：an2n（2）由已知条件：，故：，故：Tn1【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用及放缩法的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型21（12分）在ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知（1）求cosB的值；（2）若b8，cos2A3cos（B+C）1，求ABC的面积【分析】

27、（1）由得，由正弦定理得：，变形得cosB（2）根据已知条件可得cosA，A，再根据正弦定理可得 a3，根据两角和的正弦公式可得sinC，然后利用面积公式可得【解答】解：（1）由得，由正弦定理得：，变形得cosB（2）由cos2A3cos（B+C）1得2cos2A+3cosA10，解得cosA，A，sinA，sinB，sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，由正弦定理得，得a3，所以三角形ABC的面积为absinC86+8【点评】本题考查了三角形中的几何计算，属中档题22（12分）已知函数f（x）ax2+bx+c（a0）满足f（0）0，对于任意xR，都有f（x）x，且，令g

28、（x）f（x）|x1|（0）（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）当2时，判断函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数，并说明理由【分析】（1）由f（0）0可得c0，由函数对于任意xR都有f（+x）f（x）可得函数f（x）的对称轴为x，从而可得ab，由f（x）x，可得（b1）20，进而得到答案（2）对g（x）去绝对值然后分和两种情况讨论即可；（3）由（1）可得g（x）的解析式，分析函数的单调性，结合零点存在定理进行判断函数g（x）的零点情况【解答】解：（1）f（0）0，c0，对于任意xR都有，函数f（x）的对称轴为，即，得ab，又f（x）x，即ax2+（b1）x0

29、对于任意xR都成立，a0，且（b1）20，（b1）20，b1，a1，f（x）x2+x；（2）解：g（x）f（x）|x1|，当时，函数g（x）x2+（1）x+1的对称轴为，若，即02，函数g（x）在（）上单调递增；若，即2，函数g（x）在（）上单调递增，在（）上单调递减当时，函数g（x）x2+（1+）x1的对称轴为，则函数g（x）在（）上单调递增，在（）上单调递减，综上所述，当02时，函数g（x）单调递增区间为（），单调递减区间为（）；当2时，函数g（x）单调递增区间为（）和（），单调递减区间为（）和（）；（3）当2时，则，而g（0）10，g（1）2|1|，（）若23，由于，且，此时，函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点；（）若3，由于且g（1）2|1|0，此时，函数g（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点；综上所述，当23时，函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点；当3时，函数g（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点【点评】本题主要考查了函数的解析式的求解，函数的单调区间，零点存在的判定定理，考查了分类讨论思想的在解题中的应用，属难题