2018-2019学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）集合x，y的子集个数是（）A1B2C3D42（5分）直线yx+1与直线yx+1的交点坐标是（）A（0，0）B（1，1）C（0，1）D（1，0）3（5分）已知alog5b（）1clog54，则（）AabcB.acbCbacD.cab4（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（，0）上单调递减的是（）Ay|x|Byx2CylnxDyex5（5分）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A若m，n，则mnB若

2、，则C若m，m，则D若m，m，则6（5分）三棱锥A一BCD的六条棱所在直线成异面直线的有（）A3对B4对C5对D6对7（5分）下列关于集合的命题正确的有（）很小的整数可以构成集合集合y|y2x2+1与集合（x，y）|y2x2+1是同一个集合；1，2，|，0.5，这些数组成的集合有5个元素空集是任何集合的子集A0个B1个C2个D3个8（5分）已知A（4，1，9），B（10，1，6），C（2，4，3）是ABC的三个顶点，则ABC的形状是（）A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D等边三角形9（5分）数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心（外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心

3、是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知ABC的顶点B（1，0），C（0，2），ABAC，则ABC的欧拉线方程为（）A2x4y30B2x+4y+30C4x2y30D2x+4y3010（5分）函数f（x）（）xx+1的零点所在的一个区间是（）A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）11（5分）如图是某几何体的三视图，图中方格的单位长度为1，则该几何体的表面积为（）A16B8+4C8+4D12+412（5分）已知函数f（x）log3（x+）+在k，k，（k0）上的最大值与最小值分

4、别为M和m，则M十m（）A4B2C1D0二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）计算（）5+1g2+1g5   14（5分）将圆的一般方程x2+y22x50化为标准方程是   15（5分）正方形ABCD的边长为1，利用斜二测画法得到直观图A'B'CD'，其周长等于   16（5分）符号x表示不超过的最大整数，如3，1.082，定义函数xxx给出下列四个命题：函数x的定义域为R，值域是0，1方程x有无数个解函数x是奇函数函数x是增函数正确命题的序号是   三、解答题（本题共6小题，共70分）17（10分）已知两条直线l1：x+

5、（1+a）y+a10，l2：ax+2y+60（1）若l1l2，求a的值（2）若lll2，求a的值18（12分）已知集合Ax|1x3，函数f（x）+lnx的定义域为B，集合Cx|2m1xm（1）求集合B，（RA）B（2）若ACC，求实数m的取值范围19（12分）已知圆M：x2+（y1）216外有一点A（4，2），过点A作直线l（1）当直线l与圆M相切时，求直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为135时，求直线l被圆M所截得的弦长20（12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC，AA1（1）求证：直线A1B平面ACD1（2）已知三棱锥D1一BCD的所有顶点在同一个球面上，求这个球的

6、体积21（12分）某服装批发市场销售季节性流行服装F，当季节即将来临时，价格呈上升趋势，开始时每件定价为120元，并且每周（7天）每件涨价10元（第1周每件定价为120元，第2周每件定价为130元），4周后开始保持每件160元的价格销售；8周后当季节即将过去时，平均每周每件降价10元，直到第12周末，该服装不再销售（1）试建立每件售价A与周次t之间的函数关系式；（2）若此服装每件进价B与周次t之间的关系式为B问该服装第几周每件销售利润R最大？并求出最大值，（注：每件销售利润售价一进价）22（12分）设函数f（x）2kx2+x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）af（x）+1（a0，且a1）（1

7、）求k的值；（2）求函数g（x）在一2，1上的最大值和最小值；（3）当a2时，g（x）2mt+3对所有的x1，0及m1，1恒成立，求实数t的取值范围2018-2019学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）集合x，y的子集个数是（）A1B2C3D4【分析】可以写出集合x，y的所有子集，从而得出x，y子集的个数【解答】解：x，y的子集为：，x，y，x，y，共4个故选：D【点评】考查子集的定义，以及列举法的定义2（5分）直线yx+1与直线yx+1的交点坐标是（）A（0，

8、0）B（1，1）C（0，1）D（1，0）【分析】联立，解得x，y可得交点坐标【解答】解：联立，解得x0，y1直线yx+1与直线yx+1的交点坐标是（0，1）故选：C【点评】本题考查了直线交点与方程组之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）已知alog5b（）1clog54，则（）AabcB.acbCbacD.cab【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案【解答】解：alog5log510；b（）161；0clog54log551，acb故选：B【点评】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题4（5分）下列函数中，既

9、是偶函数又在区间（，0）上单调递减的是（）Ay|x|Byx2CylnxDyex【分析】根据函数的奇偶性和单调性分别进行判断即可【解答】解：y|x|是偶函数，当x0时，y|x|x为减函数，满足条件yx2是偶函数，当x0时，函数为增函数，不满足条件ylnx的定义域为（0，+），函数为非奇非偶函数，不满足条件yex是非奇非偶函数且在（，0）上是增函数，不满足条件故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据常见函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键5（5分）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A若m，n，则mnB若，则C若m，m，则D若m，m，则【分析】

10、A由线面平行的性质，即可判断；B由面面垂直的性质，结合面面的位置关系即可判断；C由线面平行的性质和面面平行的判定定理，即可判断；D由面面平行的判定定理：垂直于同一直线的两平面平行，即可判断【解答】解：A若m，n，则mn或m，n异面或m，n相交，故A错；B若，则或l，故B错；C若m，m，则或a，故C错；D若m，m，则，故D正确故选：D【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面平行的性质和线面垂直的性质，以及面面平行的判断和性质，和面面垂直的性质，是一道基础题6（5分）三棱锥A一BCD的六条棱所在直线成异面直线的有（）A3对B4对C5对D6对【分析】利用列举法能求出三棱锥A一B

11、CD的六条棱所在直线成异面直线的对数【解答】解：三棱锥A一BCD的六条棱所在直线中，成异面直线的有：AB和CD，AD和BC，BD和AC，三棱锥A一BCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对故选：A【点评】本题考查异面直线的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识、数形结合思想、空间想象能力，是基础题7（5分）下列关于集合的命题正确的有（）很小的整数可以构成集合集合y|y2x2+1与集合（x，y）|y2x2+1是同一个集合；1，2，|，0.5，这些数组成的集合有5个元素空集是任何集合的子集A0个B1个C2个D3个【分析】很小的整数，不能确定怎么算很小，从而命题错误；集合y|y2x2+

12、1是数集，而集合（x，y）|y2x2+1是点集，不是同一集合，从而命题错误；，这三个数算一个元素，从而命题错误；很显然命题正确，从而得出正确选项为B【解答】解：“很小的整数“，怎样才算很小，不确定，从而不能构成集合，即该命题错误；集合y|y2x2+1表示函数y2x2+1的值域，集合（x，y）|y2x2+1表示曲线y2x2+1上的点形成的集合，不是同一集合，该命题错误；0.5，这些数组成的集合有3个元素，该命题错误；空集是任何集合的子集，正确，该命题正确故选：B【点评】考查真假命题的定义，集合的定义，清楚数集和点集的区别，知道空集是任何集合的子集8（5分）已知A（4，1，9），B（10，1，6）

13、，C（2，4，3）是ABC的三个顶点，则ABC的形状是（）A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D等边三角形【分析】利用空间中两点间距离公式及勾股定理得到AB2+AC2BC2，且ABAC，从而ABC为等腰直角三角形【解答】解：在空间直角坐标系中，A（4，1，9），B（10，1，6），C（2，4，3），AB7，AC7，BC7，AB2+AC2BC2，且ABAC，ABC为等腰直角三角形故选：A【点评】本题考查三角形形状地判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中两点间距离公式及勾股定理的合理运用9（5分）数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心（外心是三角形三条边的垂直平分线的交

14、点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知ABC的顶点B（1，0），C（0，2），ABAC，则ABC的欧拉线方程为（）A2x4y30B2x+4y+30C4x2y30D2x+4y30【分析】由于ABAC，可得：ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上，求出线段BC的垂直平分线，即可得出ABC的欧拉线的方程【解答】解：由于ABAC，可得：ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上，设线段BC垂直平分线的斜率为k，则kkBC1，k1，k，又BC中点坐标为（，1），

15、ABC的欧拉线的方程为：y1，整理得：2x+4y30故选：D【点评】本题考查了欧拉线的方程、等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）函数f（x）（）xx+1的零点所在的一个区间是（）A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）【分析】利用函数的连续性以及零点判断定理判断函数的区间【解答】解：函数f（x）（）xx+1是连续函数，f（1）1+10，f（2）0，可得f（1）f（2）0，由零点判断定理可知函数的零点在（1，2）故选：C【点评】本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，正确运用零点存在定理是关键11（5分）如图是某几何体的三视图，图

16、中方格的单位长度为1，则该几何体的表面积为（）A16B8+4C8+4D12+4【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后利用三视图的数据，求解几何体的表面积【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，是长方体的一部分，如图长方体的长宽高分别为2，2，4，所以三棱锥的表面积为：+28+4故选：C【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，判断几何体的几何特征，是解决本题的关键12（5分）已知函数f（x）log3（x+）+在k，k，（k0）上的最大值与最小值分别为M和m，则M十m（）A4B2C1D0【分析】由g（x）log3（x+），h（x）1，判断奇偶性，f（x）g（x）+h（x）+1，yg（x）+h

17、（x）为奇函数，可得函数y在k，k的最小值s和最大值S之和为0，计算可得所求和【解答】解：函数f（x）log3（x+）+，设g（x）log3（x+），可得g（x）log3（x+），g（x）+g（x）log3（x2+1x2）0，即有g（x）为奇函数；设h（x）1，h（x），即有h（x）h（x），可得h（x）为奇函数，可得f（x）g（x）+h（x）+1，由yg（x）+h（x）为奇函数，可得函数y在k，k的最小值s和最大值S之和为0，即有M+mS+1+s+12故选：B【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用函数的奇偶性和性质，考查运算能力，属于中档题二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）计

18、算（）5+1g2+1g533【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解【解答】解：（）5+1g2+1g525+lg1033故答案为：33【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）将圆的一般方程x2+y22x50化为标准方程是（x1）2+y26【分析】根据题意，将圆的一般方程变形可得（x1）2+y26，即可得答案【解答】解：根据题意，圆的一般方程x2+y22x50，变形可得：（x1）2+y26，即圆的标准方程为：（x1）2+y26，故答案为：（x1）2+y26【点评】本题考查圆的一般方程与标准方程的转化，关键掌握圆

19、的标准方程的形式，属于基础题15（5分）正方形ABCD的边长为1，利用斜二测画法得到直观图A'B'CD'，其周长等于3【分析】根据题意画出图形，结合图形求出利用斜二测画法得到的平面直观图ABCD的周长【解答】解：如图所示，正方形ABCD的边长为，利用斜二测画法得到的平面直观图ABCD是平行四边形，所以该平行四边形的周长为l2（OA+OC）2（1+）3故答案为：3【点评】本题考查了平面直观图形的画法与应用问题，是基础题16（5分）符号x表示不超过的最大整数，如3，1.082，定义函数xxx给出下列四个命题：函数x的定义域为R，值域是0，1方程x有无数个解函数x是奇函数函数

20、x是增函数正确命题的序号是【分析】利用x的定义，结合函数的定义域，值域周期性和单调性的定义分别进行判断【解答】解：当0x1时，xxxx0x，函数x的值域为0，1），故错误；x+1（x+1）x+1xxx，函数xxx是周期为1的函数，当x时，x，又函数xxx是周期为1的函数，x+k时（kZ），x，故正确；函数x的定义域为R，而xxxx，且xxxx，函数x是非奇非偶函数，故错误；函数x是周期为1的函数，函数x不是单调函数，故错误正确命题的序号是故答案为：【点评】本题考查新定义函数 xxx的性质，是基础题三、解答题（本题共6小题，共70分）17（10分）已知两条直线l1：x+（1+a）y+a10，l2

21、：ax+2y+60（1）若l1l2，求a的值（2）若lll2，求a的值【分析】（1）分类讨论，当a1时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为，l1与l2既不平行，也不垂直，当a1时，直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，由已知可得，解得a1或a2由于当a2时两直线重合，可求a的值（2）由已知可得，从而解得a的值【解答】（本题满分为10分）解：（1）当a1时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为，l1与l2既不平行，也不垂直，（2分）当a1时，直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，（4分）因为l1l2，所以，解得a1或a2当a1时，直线l1：x+2y0，l2：x+2y+60，l1与l2平行，当a

22、2时，直线l1与l2的方程都是xy30，此时两直线重合，（6分）故a1（7分）（2）因为l1l2，所以，解得（9分）经检验符合题意，故（10分）【点评】本题考查了相互垂直及其相互平行的直线斜率之间的关系，考查了分类讨论思想的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18（12分）已知集合Ax|1x3，函数f（x）+lnx的定义域为B，集合Cx|2m1xm（1）求集合B，（RA）B（2）若ACC，求实数m的取值范围【分析】（1）由得Bx|0x5，由Ax|1x3，得RAx|x1，或x3，由此能求出（RA）B（2）由ACC，得CA，当C时，2m1m，当C时，由此能求出实数m的取值范围【解答】解：（1

23、）由得0x5，所以Bx|0x5（2分）因为Ax|1x3，RAx|x1，或x3（4分）所以（RA）Bx|0x1，或3x5（6分）（2）因为ACC，所以CA，分两种情况讨论（7分）当C时，由2m1m，解得m1（9分）当C时，由此不等式组无解（11分）故实数m的取值范围是1，+）（12分）【点评】本题考查补集、交集的求法，考查实数的取值范围的求不法，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（12分）已知圆M：x2+（y1）216外有一点A（4，2），过点A作直线l（1）当直线l与圆M相切时，求直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为135时，求直线l被圆M所截得的弦长【

24、分析】（1）根据题意，分析圆M的圆心与半径，分2种情况讨论直线l：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x4，分析可得其符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+2k（x4），由直线与圆的位置关系分析可得k的值，即可得直线的方程，综合可得答案；（2）根据题意，易得直线l的方程为y+2（x4），即x+y20，结合直线与圆相交的性质分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，圆M：x2+（y1）216的圆心为（0，1），半径r4；分2种情况讨论：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x4，满足题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+2k（x4），即kxy4k20，则，解得，此时直线l

25、的方程为7x24y760，所以直线l的方程为x4或7x24y760；（2）当直线l的倾斜角为135时，直线l的方程为y+2（x4），即x+y20，圆心M（0，1）到直线l的距离为；所以直线l被圆M所截得的弦长【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题20（12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC，AA1（1）求证：直线A1B平面ACD1（2）已知三棱锥D1一BCD的所有顶点在同一个球面上，求这个球的体积【分析】（1）由BCA1D1，BCA1D1，得四边形A1BCD1是平行四边形，从而A1BCD1，由此能证明直线A1B平面ACD1（2）由三棱锥D1

26、BCD的所有顶点所在的球面与长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点所在的球面相同，求出这个球的直径，由此能求出这个球的体积【解答】解：（1）在长方体ABCDA1B1C1D1中，因为BCA1D1，BCA1D1所以四边形A1BCD1是平行四边形，A1BCD1（2分）又A1B平面ACD1，CD1平面ACD1，（4分）所以直线A1B平面ACD1（6分）（2）因为三棱锥D1BCD的所有顶点所在的球面与长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点所在的球面相同，（8分）这个球的直径，半径（10分）所以所求球的体积为（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位

27、置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题21（12分）某服装批发市场销售季节性流行服装F，当季节即将来临时，价格呈上升趋势，开始时每件定价为120元，并且每周（7天）每件涨价10元（第1周每件定价为120元，第2周每件定价为130元），4周后开始保持每件160元的价格销售；8周后当季节即将过去时，平均每周每件降价10元，直到第12周末，该服装不再销售（1）试建立每件售价A与周次t之间的函数关系式；（2）若此服装每件进价B与周次t之间的关系式为B问该服装第几周每件销售利润R最大？并求出最大值，（注：每件销售利润售价一进价）【分析】（1）利用已知

28、条件，列出分段函数的解析式即可（2）利用分段函数，结合函数的定义域，求解函数的最值，即可得到结果【解答】解：（1）根据题意，得（6分）（2）因为每件销售利润售价进价，所以RAB，当t（0，4且tN*时，R4t+30，t4时，Rmax46（8分）当t（4，8且tN*时，R56（9分）当t（8，12且tN*时，R13610t，t9时，Rmax46（11分）故该服装第5，6，7，8周每件销售利润R最大，最大值是56元（12分）【点评】本题考查函数的实际应用，考查转化思想以及计算能力22（12分）设函数f（x）2kx2+x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）af（x）+1（a0，且a1）（1）求k的值

29、；（2）求函数g（x）在一2，1上的最大值和最小值；（3）当a2时，g（x）2mt+3对所有的x1，0及m1，1恒成立，求实数t的取值范围【分析】（1）由奇函数的定义可得k的值；（2）求得g（x）的解析式，讨论a1，0a1时，由指数函数的单调性可得所求最值；（3）运用指数函数的单调性可得g（x）的最大值，构造函数h（m）2tm1，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求范围【解答】解：（1）因为数f（x）2kx2+x（k为实常数）为奇函数，所以f（x）f（x），即2kx2x2kx2x，所以k0；（2）g（x）af（x）+1ax+1，当a1时，g（x）在2，1上是增函数，g（x）的最大值g（1）a+1，g（x）的最小值；当0a1时，g（x）在2，1上是减函数，g（x）的最大值，g（x）的最小值g（1）a+1；（3）当a2时，g（x）2x+1在1，0上是增函数，g（x）g（0）2，所以2mt+32，即2mt10对所有的m1，1恒成立，令h（m）2tm1，则即，解得，实数t的取值范围是【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查分类讨论思想方法和构造函数，考查变形能力和运算能力，属于中档题