2019-2020学年湖南省长沙市重点中学高一（上）10月模块数学试卷（含详细解答）

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1、一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1（3分）已知全集UR，集合Ax|0x2，Bx|x2x0，则图中的阴影部分表示的集合为（）A（，1U（2，+）B（，0）（1，2）C1，2）D（1，22（3分）下列各组函数中，f（x）与g（x）相等的是（）Af（x）2x，g（x）2|x|3（3分）在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）4（3分）已知a，b20.3，c0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）AbcaBbacCabcDcba5（3分）已知集合A（x，y）|x2+y22，xZ，yZ，则A中元素的个数为（）A4B5C8D96（3分）设定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x

2、）+f（y）f（x+y），且f（2）4，则f（0）+f（2）的值为（）A2B4C0D47（3分）已知集合Ax|x3或x1，Bx|x4或xa，若A（RB）中恰好含有2个整数，则实数a的取值范围是（）A3a4B3a4C3a4D3a48（3分）已知函数，记f（2）+f（3）+f（4）+f（10）m，则m+n（）A9B9C10D109（3分）已知函数f（x）（xa）（xb）（ab）的图象如图所示，则函数g（x）ax+b的图象是（）ABCD10（3分）若不等式ax2+bx+40的解集为x|2x1，则二次函数ybx2+4x+a在区间0，3上的最大值、最小值分别为（）A8，0B0，4C4，0D0，811（3

3、分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，例如3.24，2.12已知函数，则函数yf（x）的值域为（）A0，1B0C1，0D1，0，112（3分）设集合M1，2，3，4，5，6，S1、S2、Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Siai，bi，Sjaj，bj（ij，i、j1，2，3，k），都有minmin（minx，y表示两个数x、y中的较小者）则k的最大值是（）A10B11C12D13二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分

4、）13（4分）已知集合A0，m，m23m+2，且2A，求实数m的值   14（4分）定义在R上的奇函数f（x）满足：当x0，f（x）x22x+a，则f（3）   15（4分）已知函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是   16（4分）关于函数的性质描述，正确的是   f（x）的定义域为1，0）（0，1；f（x）的值域为（1，1）；f（x）在定义域上是增函数；f（x）的图象关于原点对称三、解答题（本大题共6个小题，共48分）17（8分）（1）计算：（2）已知x+x13，求x2x2的值18（8分）已知函数f（x）4x+（1）判断f（x）的奇偶性；（2

5、）写出f（x）的单调地增区间，并用定义证明19（8分）已知全集UR，集合Ax|3x2，Bx|1x6，Cx|a1x2a+1（1）求A（UB）；（2）若CAB，求实数a的取值范围20（8分）某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元（）求出y与x之间的函数关系式；（）请你预算：公

6、司此次培训的总费用最多需要多少元？21（8分）已知指数函数yg（x）满足：g（3）27，定义域为R的函数f（x）是奇函数（）确定yg（x），yf（x）的解析式；（）若h（x）kxg（x）在（0，1）上有零点，求k的取值范围；（）若对任意的t（1，4），不等式f（2t3）+f（tk）0恒成立，求实数k的取值范围22（8分）定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（x）f（x），则称f（x）为“局部奇函数”（1）已知二次函数f（x）ax2+2x4a（aR），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（x）f（x）的x的值；若不是，请说明理由；（2）若f（x）2x

7、+m是定义在区间1，1上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）10月模块数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1（3分）已知全集UR，集合Ax|0x2，Bx|x2x0，则图中的阴影部分表示的集合为（）A（，1U（2，+）B（，0）（1，2）C1，2）D（1，2【分析】根据阴影部分对应的集合为U（AB）（AB），然后根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：Bx|x2x0x|x1或x0，由题意可知阴影部分对应的集合为U（AB）（AB），ABx|1x2，ABR，即U（AB）x|x1或x2，U（AB）（AB）x|x1

8、或x2，即（，1U（2，+）故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用阴影部分表示出集合关系是解决本题的关键2（3分）下列各组函数中，f（x）与g（x）相等的是（）Af（x）2x，g（x）2|x|BCD【分析】根据两个函数的定义域相同，解析式也相同，即可判断它们是相等函数【解答】解：对于A，f（x）2x，与g（x）2|x|的解析式不同，不是相等函数；对于B，f（x）x2，与g（x）x的解析式不同，不是相等函数；对于C，f（x）+2x+2（x0），与g（x）2+x（xR）的定义域不同，不是相等函数；对于D，f（x）x1（x0），与g（x）1x1（x0）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函

9、数故选：D【点评】本题考查了判断两个函数是否为相等函数的应用问题，是基础题3（3分）在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）ABCf（x）x|x|D【分析】结合反比例函数及分段函数的性质分别对选项进行判断即可【解答】解：由函数的性质可知，f（x），f（x）x，在定义域内为奇函数，但是在（0，+），（，0）上分别单调递减，在定义域内不单调；f（x）定义域内有0，但是f（0）10，显然不是奇函数；f（x）x|x|中，f（x）x|x|f（x）为奇函数，且f（x），结合分段函数的性质可知f（x）在R上单调递减故选：C【点评】本题主要考查了常见函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础试题4（3分）已知a，b2

10、0.3，c0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）AbcaBbacCabcDcba【分析】利用指数函数的单调性即可判断出【解答】解：，bca故选：A【点评】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键5（3分）已知集合A（x，y）|x2+y22，xZ，yZ，则A中元素的个数为（）A4B5C8D9【分析】集合A的元素代表圆周及其内部的点，分坐标轴和象限进行讨论，即可得到结论【解答】解：根据题意：A（x，y）|x2+y22，x，yZ（1，1），（1，0），（1，1），（0，1），（0，0）（0，1），（1，1），（1，0），（1，1）共9个元素，是平面直角坐标系中9个点故选：D【点评】本题考查集合的

11、表示以及点与圆的位置关系，解题时需注意集合A的元素为两坐标均为整数的点，本题属于基础题6（3分）设定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x）+f（y）f（x+y），且f（2）4，则f（0）+f（2）的值为（）A2B4C0D4【分析】观察题设条件可先令xy0求出f（0），再令x2，y2求出f（2），代入求f（0）+f（2）的值【解答】解：由题意令xy0，则有f（0）+f（0）f（0），故得f（0）0令x2，y2，则有f（2）+f（2）f（0）0，又f（2）4f（2）4f（0）+f（2）4故选：B【点评】本题考查函数的值，解题的关键是理解所给的恒等式，且根据其进行灵活赋值求出f（0），f

12、（2）的值7（3分）已知集合Ax|x3或x1，Bx|x4或xa，若A（RB）中恰好含有2个整数，则实数a的取值范围是（）A3a4B3a4C3a4D3a4【分析】可根据题意得出RBx|4xa，这样根据条件得出A（RB）x|4x3或1xa，从而可得出a的取值范围【解答】解：根据题意，a4，则RBx|4xa，又Ax|x3或x1，A（RB）中恰好含有2个整数，A（RB）x|4x3或1xa，3a4故选：B【点评】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算8（3分）已知函数，记f（2）+f（3）+f（4）+f（10）m，则m+n（）A9B9C10D10【分析】推导出1，再由f（2）+f（3）+f（4）+f（1

13、0）m，能求出m+n的值【解答】解：函数，+1，f（2）+f（3）+f（4）+f（10）m，m+n9（1）9故选：A【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9（3分）已知函数f（x）（xa）（xb）（ab）的图象如图所示，则函数g（x）ax+b的图象是（）ABCD【分析】由已知中函数f（x）（xa）（xb）的图象可得：0a1，b1，进而结合指数函数的图象和性质及函数图象的平移变换法则，画出g（x）ax+b的图象，可得答案【解答】解：由已知中函数f（x）（xa）（xb）的图象可得：0a1，b1，故g（x）ax+b的图象如下图所示：故选：A【点评】本题考查的

14、知识点是指数函数的图象和性质，其中根据已知分析出0a1，b1，是解答的关键10（3分）若不等式ax2+bx+40的解集为x|2x1，则二次函数ybx2+4x+a在区间0，3上的最大值、最小值分别为（）A8，0B0，4C4，0D0，8【分析】由题意可知2，1是方程ax2+bx+40的根，代入可求a，b，然后结合二次函数的性质可求【解答】解：ax2+bx+40的解集为x|2x1，2，1是方程ax2+bx+40的根，a2，b2，则二次函数ybx2+4x+a2x2+4x2开口向下，对称轴x1，在区间0，3上，当x1时，函数取得最大值0，当x3时，函数取得最小值8故选：D【点评】本题主要考查了二次方程与

15、二次不等式的相互转化思想的应用及二次函数闭区间上的最值的求解，属于中等试题11（3分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，例如3.24，2.12已知函数，则函数yf（x）的值域为（）A0，1B0C1，0D1，0，1【分析】，所以函数f（x）为R上的增函数，所以f（x）（，），进而可以得到yf（x）的值域【解答】解：依题意，因为y2x+1为R上的增函数，所以函数f（x）为R上的增函数，所以f（x）（，），所以yf（x）的值域为1，0，故选：C【

16、点评】本题考查了新定义高斯函数，考查了函数的值域，函数的单调性，属于基础题12（3分）设集合M1，2，3，4，5，6，S1、S2、Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Siai，bi，Sjaj，bj（ij，i、j1，2，3，k），都有minmin（minx，y表示两个数x、y中的较小者）则k的最大值是（）A10B11C12D13【分析】根据题意，首先分析出M的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对minmin（minx，y表示两个数x、y中的较小者）的把握，即可得答案【解答】解：根据题意，对于M，含2个元素的子集有15个，但1，2、2，4、3，6只能取一个；1，3

17、、2，6只能取一个；2，3、4，6只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个；故选：B【点评】本题考查学生对集合及其子集、元素的把握、运用，注意对题意的分析二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13（4分）已知集合A0，m，m23m+2，且2A，求实数m的值3【分析】利用2A，推出m2或m23m+22，求出m的值，然后验证集合A是否成立，即可得到m的值【解答】解：因 A0，m，m23m+2，且2A所以m2或m23m+22即m2或m0或m3当m2时，A0，2，0与元素的互异性相矛盾，舍去；当m0时，A0，0，2与元素的互异性相矛盾，舍去；当m3时，A0，3，2满足题意m3故答案

18、是：3【点评】本题考查集合中元素与集合的关系，注意集合中元素的互异性的应用，考查计算能力14（4分）定义在R上的奇函数f（x）满足：当x0，f（x）x22x+a，则f（3）3【分析】利用奇函数的性质求出a，然后利用函数的奇偶性求解f（3）即可【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）满足：当x0，f（x）x22x+a，可得f（0）a0，当x0，f（x）x22x，则f（3）f（3）（3223）3故答案为：3【点评】本题考查函数的解析式的求法，奇偶性的性质的应用，考查计算能力15（4分）已知函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是0，）【分析】由题意可得，对任意实数x，mx2+4mx+30恒成立

19、，然后分m0和m0分类求解m的范围，取并集得答案【解答】解：函数f（x）的定义域为R，是指对任意实数x，mx2+4mx+30恒成立，当m0时，不等式mx2+4mx+30恒成立；当m0时，要使mx2+4mx+30恒成立，则，解得：0综上，实数m的取值范围是0，）故答案为：0，）【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题16（4分）关于函数的性质描述，正确的是f（x）的定义域为1，0）（0，1；f（x）的值域为（1，1）；f（x）在定义域上是增函数；f（x）的图象关于原点对称【分析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f（x）的定义域，可判断；

20、化简f（x），讨论0x1，1x0，分别求得f（x）的范围，求并集可得f（x）的值域，可判断；由f（1）f（1）0，可判断；由奇偶性的定义可判断f（x）为奇函数，可判断【解答】解：，由，解得1x1且x0，可得函数的定义域为1，0）（0，1，故正确；，由可得f（x），即f（x），当0x1可得f（x）（1，0；当1x0可得f（x）0，1）可得f（x）的值域为（1，1），故正确；，由f（1）f（1）0，则f（x）在定义域上不是增函数，故错误；，由f（x）的定义域为1，0）（0，1，关于原点对称，f（x）f（x），则f（x）为奇函数，即有f（x）的图象关于原点对称，故正确故答案为：【点评】本题考查函数的

21、性质和应用，主要是定义域和值域的求法、单调性的判断和图象的特征，考查定义法和分类讨论思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题三、解答题（本大题共6个小题，共48分）17（8分）（1）计算：（2）已知x+x13，求x2x2的值【分析】（1）化分数指数幂为根式求解；（2）把已知等式两边平方，整理后再平方可得x4+x447，则（x2x2）2x42+x445，开方可得x2x2的值【解答】解：（1）；（2）由x+x13，两边平方得x2+x27，两边再平方得x4+x447，（x2x2）2x42+x445，即【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题18（8分）已知函数f（x）4x+（1）判断

22、f（x）的奇偶性；（2）写出f（x）的单调地增区间，并用定义证明【分析】（1）求得f（x）的定义域，计算f（x），与f（x）比较即可得到奇偶性；（2）可得f（x）的单调递增区间为，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等【解答】解：（1）f（x）的定义域为x|x0又，f（x）为奇函数；（2）f（x）的单调递增区间为，证明：设，x1x20，4x1x210，x1x20，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），f（x）在上为增函数同理，f（x）在上为增函数【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，运用定义法是关键，考查运算能力，属于基础题19（8分）已知全集UR，

23、集合Ax|3x2，Bx|1x6，Cx|a1x2a+1（1）求A（UB）；（2）若CAB，求实数a的取值范围【分析】（1）先求出UBx|x1或x6，由此能求出AUB（2）先求出ABx|3x6，由CAB，得当2a+1a1即a2时，CAB；当2a+1a1，要使CAB，列出方程组能求出a的取值范围【解答】解：（1）全集UR，集合Ax|3x2，Bx|1x6，UBx|x1或x6，AUBx|3x1（2）集UR，集合Ax|3x2，Bx|1x6，Cx|a1x2a+1ABx|3x6，又CAB，当2a+1a1即a2时，CAB；当2a+1a1即a2时，要使CAB，有，又a2，a的取值范围是【点评】本题考查交集、补集的

24、求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题20（8分）某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元（）求出y与x之间的函数关系式；（）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？【分析】（）当0x30，

25、xN时，y400x+1000x；当30x60，xN时，y400x+100020（x30）x，即可得出（）根据分段函数解析式，利用函数的单调性即可得出【解答】解：（）当0x30，xN时，y400x+1000x1400x；2分当30x60，xN时，y400x+100020（x30）x20x2+2000x，4分故5分（）当0x30，xN时，y14003042000元，此时x30；7分当30x60，xN时，y20502+20005050000元，此时x50.9分综上所述，公司此次培训的总费用最多需要50000元10分【点评】本题考查了函数模型、分段函数解析式、函数的单调性、方程与不等式的解法，考查了推

26、理能力与计算能力，属于中档题21（8分）已知指数函数yg（x）满足：g（3）27，定义域为R的函数f（x）是奇函数（）确定yg（x），yf（x）的解析式；（）若h（x）kxg（x）在（0，1）上有零点，求k的取值范围；（）若对任意的t（1，4），不等式f（2t3）+f（tk）0恒成立，求实数k的取值范围【分析】（）设g（x）ax（a0且a1），根据g（3）27，定义域为R的函数f（x）是奇函数即可解出；（）h（x）kxg（x）在（0，1）上有零点，从而h（0）h（1）0，（）对任意的tR不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，则f（t22t）f（2t2k）f（k2t2）恒成立，因此t22

27、tk2t2，化为k3t22t在tR上恒成立k（3t22t）min，此函数为二次函数，求出最值即可【解答】解：（）设g（x）ax（a0且a1），则a327，a3，g（x）3x，（1分），因为f（x）是奇函数，所以f（0）0，即，（2分），又f（1）f（1），；（3分）（）由（）知：g（x）3x，又因h（x）kxg（x）在（0，1）上有零点，从而h（0）h（1）0，即（01）（k3）0，（5分）k30，k3，k的取值范围为（3，+）（7分）（）由（）知，（8分）f（x）在R上为减函数（不证明不扣分）（9分）又因f（x）是奇函数，f（2t3）+f（tk）0所以f（2t3）f（tk）f（kt），10分

28、因f（x）为减函数，由上式得：2t3kt，即对一切t（1，4），有3t3k恒成立，（11分）令m（x）3t3，t1，4，易知m（x）在1，4上递增，所以ymax3439，k9，即实数k的取值范围为9，+）（12分）【点评】本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题22（8分）定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（x）f（x），则称f（x）为“局部奇函数”（1）已知二次函数f（x）ax2+2x4a（aR），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（x）f（x）的x的

29、值；若不是，请说明理由；（2）若f（x）2x+m是定义在区间1，1上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围【分析】（1）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；（2）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（x）f（x）有解的实数m的取值范围，可得答案【解答】解：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（x）f（x）有解当f（x）ax2+2x4a（aR）时，方程f（x）f（x）即2a（x24）0，有解x2，所以f（x）为“局部奇函数”（2）当f（x）2x+m时，f（x）f（x）可化为2x+2x+2m0，因为f（x）的定义域为1，1，所以方程2x+2x+2m0在1，1上有解令t2x，t，2，则2mt+设g（t）t+，则g'（t）1，当t（0，1）时，g'（t）0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t（1，+）时，g'（t）0，故g（t）在（1，+）上为增函数 所以t，2时，g（t）2，所以2m2，即m，1【点评】本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力