专题04 有界磁场的最小面积模型--高考物理模型法之情景模型法(解析版) 2020年高考物理
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1、一模型界定带电粒子在有界磁场中运动时,要完成题目要求的运动过程,空间中有粒子必须经过的一个磁场区域,按照题目要求的边界形状或由粒子临界状态下的运动轨迹所决定的有界磁场区域,其面积存在着一个最小值,此模型着重归纳有界磁场最小面积的确定与计算方法.二模型破解在涉及最小磁场面积的题目中,主要有两种类型,一种是单一粒子的运动中所经过磁场的最小面积,这种类型的题目通常对磁场区域的形状有明确的要求,如矩形、圆形、三角形;另一种类型是大量粒子经过磁场的运动,由临界状态下的粒子运动轨迹及对粒子的特定运动形式要求所产生的对磁场边界形状的特定要求,从而形成有界磁场的面积的极值问题.1.单一粒子的运动(i)确定粒子
2、在磁场运动的轨迹半径粒子在磁场运动的轨迹半径通常是已知的或是能够由题目中条件计算得出的,也可在未知时先将半径假设出来.(ii)确定粒子在有界磁场中的入射方向和出射方向粒子在有界磁场中的入射方向和出射方向通常也是由题目给出或能够从题目中条件分析得出.(iii)确定粒子在有界磁场中运动时的入射点与出射点的位置当题目中没有给定粒子在进出磁场的位置时,先延长粒子的入射方向与出射方向所在的直线得到一个交点,粒子在磁场中运动的轨迹圆心必在这两条直线所形成的两对夹角中的其中一条夹角平分线上,由粒子经过磁场前后的运动要求确定圆心所在的夹角平分线;再在此夹角平分线上取一点O,过该点作粒子入射方向、出射方向所在直
3、线的垂线,使O点到两直线的垂直距离等于粒子的运动轨迹半径,则两垂足即分别为粒子进出磁场时的入射点与出射点.(iv)确定有界磁场的边界连接入射点与出射点得到一条线段或直线,并作出粒子在磁场处于入射点与出射点之间的一段运动轨迹圆,再由题目对磁场边界形状的要求确定磁场边界线的位置或圆形磁场的最小半径.圆形有界磁场(I)当题目对圆形磁场区域的圆心位置有规定时,连接圆心与粒子在磁场中的出射点即得到磁场区域的半径.但是这种情况下磁场区域的大小是固定的.(II)当题目对圆形磁场区域的圆心位置无规定时,若粒子在磁场中转过的圆弧为一段劣弧时,将连接入射点a与出射点b所得的线段作为磁场区域的直径,则所得圆即为最小
4、面积的圆形磁场区域,如图1所示.图1图中几何关系为若粒子在磁场中转过的圆弧为半圆弧或一段优弧时,最小磁场区域的边界极限圆弧与粒子运动轨迹重合,即无最小值.半圆形有界磁场(I)当粒子在磁场中运动轨迹是一段劣弧时,连接入射点a与出射点b所得直线与半圆形边界的直边重合,以ab为直径作出的半圆弧即为所求,如图2甲所示.图中几何关系为(II)当粒子在磁场中运动轨迹是一段优弧时,连接入射点a与出射点b所得直线与半圆形边界的直边重合,以其中点为圆心作出与粒子运动轨迹相切的圆弧,此圆弧即为半圆形磁场区域的曲线边界,如图2乙所示图2图中几何关系为(III)当粒子在磁场中运动轨迹是一个半圆弧时,磁场圆形边界与粒子
5、运动轨迹重合.矩形有界磁场(I)当题目对矩形磁场区域边界某个边有规定时,过入射点或过出射点作已知边界线的平行线或垂线,再作与已知边界线平行或垂直的、与粒子在磁场中运动轨迹相切的直线,则所得矩形即为题目要求的最小矩形.(II)当题目对矩形磁场区域边界无规定时,第一步:连接入射点a与出射点b得一条直线ab;第二步:作ab的平行线且使其与粒子运动轨迹圆相切;第三步:作ab的两条垂线,若粒子在磁场中转过的是一个优弧时,应使这两条垂线也与粒子运动轨迹圆弧相切,如图3甲所示;若粒子在磁场转过的是一段劣弧时,两条垂线应分别过入射点a和出射点b,如图3乙所示.所得矩形即为题目要求的最小矩形.图3甲图中几何关系
6、为、乙图中几何关系为、正三角形有界磁场当粒子在磁场中转过的圆心角超过1200时,先作入射点a、出射点b连线的中垂线,再从中垂线上某点作粒子运动轨迹圆的两条切线,且使两切线间的夹角为600,则此三条直线所组成的三角形即为题目所要求的最小三角形,如图4甲所示.当粒子在磁场中转过的圆心角不超过1200时,也是先作入射点a、出射点b连线的中垂线,再从中垂线上某点连接入射点a与出射点b,使其与ab组成一正三角形,此正三角形即为所示如图4乙所示.图4甲图中几何关系为;乙图中几何关系为.例1.一质量为m、带电量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入一圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直纸面向外,粒子飞出磁场区
7、域后,从b处穿过x轴,速度方向与x轴正方向的夹角为30,同时进入场强大小为大小为E,方向沿x轴负方向成60角斜向下的匀强电场中,通过了b点正下方c点,如图所示,已知 b到O的距离为L,粒子的重力不计,试求:30vo bcv0xyyEO例1题图磁感应强度B圆形匀强磁场区域的最小面积;c点到b点的距离【答案】(1)(2)(3)例2.如图所示,在直角坐标xOy平面y轴左侧(含y轴)有一沿y轴负方向的匀强电场,一质量为m,电荷量为q的带正电的粒子从x轴上P处发速度v0沿x轴正方向进入电场,从轴上Q点离开电场时速度方向与轴负方向间夹角300,Q点坐标为(0,-),在轴右侧有一与坐标平面垂直的有界匀强磁场
8、区域(图中未画出),磁场磁感应强度大小,粒子能从坐标原点O沿轴负方向再进入电场,不计粒子重力,求:例2题图(1)电场强度大小E(2)如果有界匀强磁场区域为半圆形,求磁场区域的最小面积(3)粒子从P点运动到O点的总时间【答案】(1)(2)(3) 【解析】:(1)设粒子从Q点离开电场时速度大小 由粒子在匀强电场中做类平抛运动得:由动能定理得 (2分)解得(1分)例2答图(3)设粒子在匀强电场中运动时间为粒子从Q点离开电场时沿y轴负向速度大小为 有例3.如图所示,第三象限内存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场,匀强磁场方向向里,大小为B0,匀强电场场强为E。第二象限的某个矩形区域内,有方向垂直纸面向内的
9、匀强磁场,磁场的下边界与x轴重合。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子,以某一速度从M点进入第三象限,沿与y轴成600的直线运动到P点,在P点进入第二象限的磁场,经过一段时间后粒子垂直y轴上的N点通过y轴,N点到原点距离为L。忽略粒子的重力影响。求:PMN600Oxyv例3题图(1)请分析匀强电场的场强方向并求出粒子的运动速度。(2)矩形有界磁场的磁感应强度B的大小。(3)矩形有界磁场的最小面积。(要求有必要的文字叙述和轨迹图)【答案】(1)(2)(3) (2)延长MP与过N点的速度的反向延长线相交于Q,作的平分线,再过P作MP的垂线,二者的交点O即为粒子运动轨迹圆的圆心.过O做NQ的垂线,垂足
10、S即为粒子从磁场出射的位置.画出粒子在第二象限运动轨迹如图。由几何关系得 根据牛顿第二定律有 解得 (3)如图所示,由于磁场的下边界与x轴重合,故作x轴的两条垂线,一条与粒子在磁场中运动轨迹圆相切,另一条过粒子在磁场中的出射点S,由最小面积的有界磁场即为图中所示矩形,其面积为 例4.如图所示,在y轴上A点沿平行x轴正方向以v0发射一个带正电的粒子,在该方向上距A点3R处的B点为圆心存在一个半径为R的圆形有界的匀强磁场,磁场方向垂直纸面向外,当粒子通过磁场后打到x轴上的C点,且速度方向与x轴正向成60角斜向下。已知带电粒子的电量为q,质量为m,粒子的重力忽略不计,O点到A点的距离为。求:例4题图
11、(1)该磁场的磁感应强度B的大小(2)若撤掉磁场,在该平面内加上一个与y轴平行的有界匀强电场,粒子仍按原方向入射,当粒子进入电场后一直在电场力的作用下打到x轴上的C点且速度方向仍与x轴正向成60角斜向下,则该电场的左边界与y轴的距离为多少?(3)若撤掉电场,在该平面内加上一个与(1)问磁感应强度大小相同的矩形有界匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里,粒子仍按原方向入射,通过该磁场后打到x轴上的C点且速度方向仍与x轴正向成60角斜向下,则所加矩形磁场的最小面积为多少?【答案】(1)(2)R(3) 由于磁场的磁感应强度与(1)问相同,所以粒子的轨道半径不变仍为.反向延长C点速度与A点速度所在直线相交于B
12、点,作的平分线,由左手定则可知粒子进入磁场后向上偏转,并最终沿BC方向离开磁场,故圆心应在的平分线的反向延长线上.如图所示,在平分线上取一点O,过O作两边的垂线,垂足分别是E、F,此两点即分别为粒子在有界磁场中运动时的入射点与出射点.画出粒子运动轨迹圆弧,作直线EF的两条垂线并分别与粒子运动轨迹圆相切,再作直线EF的平行线,也与粒子运动轨迹圆相切,则图中矩形即为最小面积的矩形.由几何知识可得,矩形长边为 矩形短边为 所以矩形的最小面积为 例5.如图所示,一个质量为,带电量的粒子在BC边上的M点以速度垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点(CMCN)垂直于AC边飞出ABC
13、,可在适当的位置加一个垂直于纸面向里,磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内,且不计粒子的重力。试求:例5题图(1)粒子在磁场里运动的轨道半径及周期T;(2)该粒子在磁场里运动的时间t;(3)该正三角形区域磁场的最小边长;例5答图【答案】(1): ,(2)(3) (3)由图可知,故有2.大量粒子的运动(i)由边界上临界粒子的运动轨迹确定磁场的某些边界,常是一段或几段圆弧.(ii)由【答案】【解析】几何方程确定粒子在磁场中运动时出射点所组成的磁场的其余边界.(iii)从同一点入射的速率相同的粒子,若要求出射后粒子运动方向都平行,则磁场中粒子出射位置所在的边界是一段圆弧
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