【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三上学期开学考试数学（理）试题（含答案）

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1、2019-2020学年度秋四川省棠湖中学高三开学考试理科数学试题第卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为_14.的展开式中的系数为_.（用数字作答）15.已知函数  在点  处的切线方程为  ，则      16.的内角所对的边分别为，已知，则的最小值为_三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 21题为

2、必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本大题满分12分）数列满足：，.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数.18.（本大题满分12分）某机构用“10分制”调查了各阶层人士对某次国际马拉松赛事的满意度，现从调查人群中随机抽取16名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若满意度不低于分，则称该被调查者的满意度为“极满意”，求从这16人中随机选取3人，至少有2人满意度是“极满意”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据

3、，若从该被调查群体人数很多任选3人，记表示抽到“极满意”的人数，求的分布列及数学期望19.（本大题满分12分）如图，在边长为4的正方形中，点分别是的中点，点在上，且，将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.试判断与平面的位置关系，并给出证明；求二面角的余弦值.20.（本大题满分12分）设函数,其中为自然对数的底数（1）若,求的单调区间;（2）若,求证:无零点21.（本大题满分12分）已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值（二）选考题：共10分，请考生在第

4、22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.  选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，直线与曲线分别交于两点.（1）若点的极坐标为，求的值；（2）求曲线的内接矩形周长的最大值.23.选修4-5：不等式选讲（10分） 已知，（1）求的最小值（2）证明：2019-2020学年度秋四川省棠湖中学高三开学考试理科数学试题答案1.A2.A3.A4.A5.A6.D7.C8.A9.B10.A11.D12.D13.6        

5、 14.8015.4      16. 17.（1）n=1时，可求得首项，n2时，将已知中的n用n-1代换后，与已知作差可得，再验证n=1也符合，即可得到数列an的通项；（2）由（1）可得bn的通项公式，由裂项相消法可得Sn，再由不等式，得到所求最小值n（1）n=1时，可得a14，n2时，与两式相减可得（2n1）+1=2n，n=1时，也满足，.（2）=Sn，又，可得n>9，可得最小正整数n为1018.由茎叶图可知：这组数据的众数为86，中位数被调查者的满意度为“极满意”共有4人其满意度分别为，从这16人中随机选取3人，至少有2人是“极满意”的概率由题意可得：

6、分布列是 0 1 2来源:Z#xx#k.Com 3 P      来源:学科网根据二项分布的性质得到：.19.（1）平面证明如下：在图1中，连接，交于，交于，则，在图2中，连接交于，连接，在中，有，平面，平面，故平面；（2）连接交与点，图2中的三角形与三角形PDF分别是图1中的与，又，平面，则，又，平面，则为二面角的平面角可知，则在中，则在中，由余弦定理，得来源:学科网二面角的余弦值为20.（1）若,则, 令,则,当时,即单调递增,又,当时,单调递减,当时,单调递增的单调递减区间为,单调递增区间为 （2）当时,，显然无零点 当时,(i)当时,，显然无零点 (ii)

7、当时，易证，,令，则，令，得，当时，；当时，故，从而，显然无零点.综上,无零点21.（1）设椭圆的方程为，半焦距为由已知，点，则设点，据抛物线定义，得由已知，则从而，所以点设点为椭圆的左焦点，则，据椭圆定义，得，则从而，所以椭圆的标准方式是（2）设点，则两式相减，得，即因为为线段的中点，则所以直线的斜率从而直线的方程为，即联立，得，则所以设点到直线的距离为，则所以由，得令，则设，则由，得从而在上是增函数，在上是减函数，所以，故面积的最大值为22.（1）由，将x=cos，y=sin代入得到+3=12,所以曲线C的直角坐标方程为+3=12，的极坐标为，化为直角坐标为（-2，0）由直线l的参数方程为：（t为参数），知直线l是过点P（-2，0），且倾斜角为的直线，把直线的参数方程代入曲线C得，所以|PM|PN|t1t2|4（2）由曲线C的方程为 ，来源:学+科+网Z+X+X+K不妨设曲线C上的动点，则以P为顶点的内接矩形周长l，又由sin（）1，则l16；因此该内接矩形周长的最大值为1623.（1）因为，所以,即，来源:Zxxk.Com当且仅当时等号成立，此时取得最小值3