四川省棠湖中学2020届高三上学期开学考试数学（文）试题（含答案）

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1、2019-2020学年度秋四川省棠湖中学高三开学考试文科数学试题三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本大题满分12分）某机构用“10分制”调查了各阶层人士对某次国际马拉松赛事的满意度，现从调查人群中随机抽取16名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若满意度不低于分，则称该被调查者的满意度为“极满意”，求从这16人中随机选取3人，至少有2人满意度是“极满意”的概率；18（本大题满分12

2、分）数列满足：，.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数.19.（本大题满分12分）在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，、分别为线段、上一点，且，.（1）证明：；（2）证明：平面，并求三棱锥的体积.20.（本大题满分12分）设函数,其中为自然对数的底数（1）若,求的单调区间;（2）若,求证:无零点21.（本大题满分12分）已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值17.由茎叶图可知：这组数据的众数为86，中位数被调查者的满意度为“极

3、满意”共有4人其满意度分别为，从这16人中随机选取3人，至少有2人是“极满意”的概率18.（1）n=1时，可得a14，n2时，与两式相减可得（2n1）+1=2n，n=1时，也满足，.（2）=Sn，又，可得n>9，可得最小正整数n为1019.（1）AMAD3，MD3，AM2+AD2MD2，AMAD，平面MAD平面ABCD，平面MAD平面ABCDAD，AM平面ABCD，又BD平面ABCD，AMBD（2）在棱AD上取一点N，使得ND1，CE1，CEND，又BCAD，ECND，又ABCD，ENAB，FNAM，FNENN，平面ENF平面MAB，又EF平面ENF，EF平面MAB，来源:学科网AM平面

4、ABCD，且FDMD，AM3，F到平面ABCD的距离d，VDAEFVFADE120.（1）若,则, 令,则,当时,即单调递增,又,当时,单调递减,当时,单调递增的单调递减区间为,单调递增区间为 （2）当时,，显然无零点 当时,(i)当时,，显然无零点 (ii)当时，易证，,令，则，令，得，当时，；当时，故，从而，显然无零点.综上,无零点21.（1）设椭圆的方程为，半焦距为由已知，点，则设点，据抛物线定义，得由已知，则从而，所以点设点为椭圆的左焦点，则，据椭圆定义，得，则从而，所以椭圆的标准方式是（2）设点，则两式相减，得，即因为为线段的中点，则所以直线的斜率从而直线的方程为，即联立，得，则所以设点到直线的距离为，则所以由，得令，则设，则由，得从而在上是增函数，在上是减函数，所以，故面积的最大值为22.（1）由，将x=cos，y=sin代入得到+3=12,所以曲线C的直角坐标方程为+3=12，的极坐标为，化为直角坐标为（-2，0）由直线l的参数方程为：（t为参数），知直线l是过点P（-2，0），且倾斜角为的直线，把直线的参数方程代入曲线C得，所以|PM|PN|t1t2|4（2）由曲线C的方程为 ，不妨设曲线C上的动点，则以P为顶点的内接矩形周长l，又由sin（）1，则l16；因此该内接矩形周长的最大值为1623.（1）因为，所以,即，当且仅当时等号成立，此时取得最小值3