专题1.2 常用逻辑用语 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)
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1、第一篇 集合与不等式专题1.02常用逻辑用语【考试要求】1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系;2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定;能正确使用全称量词对特称命题进行否定.【知识梳理】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp2.全称量词与
2、存在量词(1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“”表示.(2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.3.全称命题和特称命题(命题p的否定记为p,读作“非p”) 名称形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x,有p(x)成立存在M中的一个x0,使p(x0)成立简记xM,p(x)x0M,p(x0)否定x0M,p(x0)xM,p(x)【微点提醒】1.区别A是B的充分不必要条件(AB且BA),与A的充分不必要条件是B(BA且AB)两者的不同.2.A是B的充分不必要条件B是A的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的
3、否定规律是“改量词,否结论”.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若已知p:x1和q:x1,则p是q的充分不必要条件.()(2)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(2)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.【教材衍化】2.(选修21P26A3改编)命题“xR,x2x0”的否定是()A.x0R,x02x00 B.x0R,x02x00C.xR,x2x0 D.xR,x2x2n,则p为()A.nN,n22n B.
4、nN,n22nC.nN,n22n D.nN,n22n【答案】C【解析】命题p的量词“”改为“”,“n22n”改为“n22n”, p:nN,n22n.5.(2018天津卷)设xR,则“”是“x31”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由,得0x1,所以0x31;由x31,得x1,不能推出0x1.所以“”是“x31是ff(1)4”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】(1)C(2)A【解析】(1)|a3b|3ab|(a3b)2(3ab)2a26ab9b29a26abb2,又|a|b|
5、1,ab0ab,因此|a3b|3ab|是“ab”的充要条件.(2)当m1时,f f(1)f f(2)22m14,当f f(1)4时,f f(1)f f(2)22m1422,2m12,解得m.故“m1”是“f f(1)4”的充分不必要条件.【规律方法】充要条件的两种判断方法(1)定义法:根据pq,qp进行判断.(2)集合法:根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.【训练1】 (2018浙江卷)已知平面,直线m,n满足m,n,则“mn”是“m”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若m,n,mn,由线面平行的判定定理知m.若
6、m,m,n,不一定推出mn,直线m与n可能异面,故“mn”是“m”的充分不必要条件.考点二充分条件、必要条件的应用典例迁移【例2】 (经典母题)已知Px|x28x200,非空集合Sx|1mx1m.若xP是xS的必要条件,求m的取值范围.【答案】见解析【解析】由x28x200,得2x10,Px|2x10.xP是xS的必要条件,则SP.解得m3.又S为非空集合,1m1m,解得m0.综上,m的取值范围是0,3.【迁移探究1】 本例条件不变,若xP是xS的必要不充分条件,求m的取值范围.【答案】见解析【解析】由例知,SP,或解得0m3或0m3,0m3,故m的取值范围是0,3.【迁移探究2】 本例条件不
7、变,若xP的必要条件是xS,求m的取值范围.【答案】见解析【解析】由例知Px|2x10,若xP的必要条件是xS,即xS是xP的必要条件,PS,解得m9.故m的取值范围是9,).【迁移探究3】 本例条件不变,问是否存在实数m,使xP是xS的充要条件?并说明理由.【答案】见解析【解析】由例题知Px|2x10.若xP是xS的充要条件,则PS,这样的m不存在.【规律方法】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集
8、合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.(3)数学定义都是充要条件.【训练2】 (2019临沂月考)设p:实数x满足x24ax3a20.若a0且p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【答案】见解析【解析】由p得(x3a)(xa)0,当a0时,3ax0,则2x3或x2,则x4或x2.设p:A(3a,a),q:B(,4)2,),又p是q的充分不必要条件.可知AB,a4或3a2,即a4或a.又a0,a4或a0,即实数a的取值范围为(,4.考点三全称量词与存在量词角度1全(特)称命题的否定【例31】 (1)命题“nN*,f(n)N
9、*且f(n)n”的否定形式是()A.nN*,f(n)N*且f(n)nB.nN*,f(n) N*或f(n)nC.n0N*,f(n0) N*且f(n0)n0D.n0N*,f(n0) N*或f(n0)n0(2)(2019德州调研)命题“x0R,1f(x0)2”的否定形式是()A.xR,1f(x)2B.x0R,12D.xR,f(x)1或f(x)2【答案】(1)D(2)D【解析】(1)全称命题的否定为特称命题,命题的否定是:n0N*,f(n0) N*或f(n0)n0.(2)特称命题的否定是全称命题,原命题的否定形式为“xR,f(x)1或f(x)2”.角度2含有量词(、)的参数取值问题【例32】 (经典母
10、题)已知f(x)ln(x21),g(x)m,若对x10,3,x21,2,使得f(x1)g(x2),则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】当x0,3时,f(x)minf(0)0,当x1,2时,g(x)ming(2)m,对x10,3,x21,2使得f(x1)g(x2)等价于f(x)ming(x)min,得0m,所以m.【迁移探究】 若将“x21,2”改为“x21,2”,其他条件不变,则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】当x1,2时,g(x)maxg(1)m,对x10,3,x21,2使得f(x1)g(x2)等价于f(x)ming(x)max,得0m,m.【规律方法】1.全称命题与特称命题的否定
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