专题2.9函数与数学模型 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)原卷版
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1、第二篇 函数及其性质专题2.09函数与数学模型【考试要求】1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律;2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义;3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义.【知识梳理】1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0,)上的增减性单调递增单
2、调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a、b为常数,a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a,b,c为常数,a0)与指数函数相关模型f(x)baxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)与对数函数相关模型f(x)blogaxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)与幂函数相关模型f(x)axnb(a,b,n为常数,a0)【微点提醒】1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆
3、炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.2.充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.()(2)函数y2x的函数值比yx2的函数值大.()(3)不存在x0,使ax0x1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度.()【教材衍化】2.(必修1P107A1改编)在某个物理实验中,测得变量x和变量y的几组数
4、据,如下表:x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x,y最适合的拟合函数是()A.y2x B.yx21C.y2x2 D.ylog2x3.(必修1P59A6改编)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)()A.2020年 B.2021年C.2022年 D.2023年【真题体验】4.(2019上海静安区月考)生产一定数量的商品的全部费用称为
5、生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元).一万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为()A.36万件 B.18万件C.22万件 D.9万件5.(2019天津和平区质检)已知f(x)x2,g(x)2x,h(x)log2x,当x(4,)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是()A.f(x)g(x)h(x) B.g(x)f(x)h(x)C.g(x)h(x)f(x) D.f(x)h(x)g(x)6.(2019枣庄调研)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元
6、时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为yalog4xb.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为_万元.【考点聚焦】考点一利用函数的图象刻画实际问题【例1】 (2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【规律方法】1.当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的
7、变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际情况的答案.2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系,考查了数学直观想象核心素养.【训练1】 高为H,满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为h时水的体积为v,则函数vf(h)的大致图象是()考点二已知函数模型求解实际问题【例2】 为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层,体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)(0x10,k为常数),若不
8、建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.【规律方法】1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.2.利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.【训练2】 (2019日照月考)已知某服装厂生产某种品牌的衣服,销售量q(x)(单位:百件)关于每件衣服的利润x(单位:元)的函数解析式为q(x)求该服装厂所获得的最大效益是多少元?考点三构造函数
9、模型求解实际问题角度1二次函数、分段函数模型【例31】 (2019锦州模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4x20时,v是x的一次函数,当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年.(1)当0x20时,求函数v关于x的函数解析式;(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.角度2构建指数(对数)型函数模型【例32】 一片森林原来面积为
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