专题4.5函数y=Asin(ωxψ)的图像与性质 2020年高考数学一轮复习对点提分（文理科通用）解析版

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1、第四篇 三角函数与解三角形专题4.05函数yAsin(x)的图象与性质【考试要求】1.结合具体实例，了解yAsin(x)的实际意义；能借助图象理解参数，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响；2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型【知识梳理】1.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.xx02yAsin(x)0A0A02.函数yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATfx3.函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)的图象的两种途径4.三角函数

2、应用(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)Asin(x)k中的待定系数.(3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.【微点提醒】1.由ysin x到ysin(x)(0，0)的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度.2.函数yAsin(x)的对称轴由xk(kZ)确定；对称中心由xk(kZ)确定其横坐标.3.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为yAsin x，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位

3、移，表示纯音振动的频率(对应音高)，A表示纯音振动的振幅(对应音强).4.交变电流可以用三角函数表达为yAsin(x)，其中x表示时间，y表示电流，A表示最大电流，表示频率，表示初相位.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)将函数y3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y3sin.()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.()(3)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.()【答案】

4、(1)(2)(3)(4)【解析】(1)将函数y3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y3cos 2x.(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当1时平移的长度不相等.【教材衍化】2.(必修4P56T3改编)y2sin的振幅、频率和初相分别为()A.2，4， B.2，C.2， D.2，4，【答案】C【解析】由题意知A2，f，初相为.3.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：月份x1234收购价格y(元/斤)6765选用一个正弦型函数来近似描述收购

5、价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为_.【答案】y6cosx【解析】设yAsin(x)B(A0，0)，由题意得A1，B6，T4，因为T，所以，所以ysin6.因为当x2时，y7，所以sin()67，即sin 1，则2k(kZ)，可取.所以ysin66cosx.【真题体验】4.(2019北京通州区模拟)函数y2cos的部分图象是()【答案】A【解析】由y2cos可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点，故排除B；又因为函数图象过点，故排除C.5.(2016全国卷)若将函数y2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()A.y2sin B.y2sinC.y2sin D.y

6、2sin【答案】D【解析】函数y2sin的周期为，将函数y2sin的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y2sin2sin，故选D.6.(2018济南模拟改编)ycos(x1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是_.【答案】【解析】相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期，故它们之间的距离为.【考点聚焦】考点一函数yAsin(x)的图象及变换【例1】 某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x) 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x02xAsin(x)0550(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将yf(x)图象上所有点向

7、左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图象.若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值.【答案】见解析【解析】(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数解析式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，得g(x)5sin.因为函数ysin x图象的对称中心为(k，0)(kZ).令2x2k，kZ，解得x(kZ).由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，所以令(kZ)，解得(kZ).由0可知，当k1时，取得最小值.【规律方法】作函数yAsin(x)(A0，0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作yAsin(

8、x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【训练1】 (1)(2017全国卷)已知曲线C1：ycos x，C2：ysin，则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到

9、的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2(2)(2018青岛调研)若把函数ysin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数ycos x的图象重合，则的一个可能取值是()A.2 B. C. D.【答案】(1)D(2)A【解析】(1)易知C1：ycos xsin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数ysin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数ysinsin的图象，即曲线C2，因此D项正确.(2)ysin和函数ycos x的图象重合，可得2k，kZ，则6k2

10、，kZ.2是的一个可能值.考点二求函数yAsin(x)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_.(2)(2019长郡中衡阳八中联考)函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，已知A，B，则f(x)图象的对称中心为()A.(kZ) B.(kZ)C.(kZ) D.(kZ)【答案】(1)f(x)sin(2)C【解析】(1)由题图可知A，法一，所以T，故2，因此f(x)sin(2x)，又对应五点法作图中的第三个点，因此22k(kZ)，所以2k(kZ).又|，所以.故f(x)sin.法二以为第二个“零点”，为最小值点，

11、列方程组解得故f(x)sin.(2)T2，2，因此f(x)sin(2x).由五点作图法知A是第二点，得2，22k(kZ)，所以2k(kZ)，又|0)的图象向左平移个单位，所得的部分函数图象如图所示，则的值为()A. B.C. D.(2)(2019山东省重点中学质检)已知函数f(x)Asin(x)的图象的一部分如图所示，则f(x)图象的对称轴方程是_.【答案】(1)C(2)x(kZ)【解析】(1)由题图知，T2，2，f(x)2cos 2x，f(x)2cos(2x2)，则由图象知，f2cos2.22k(kZ)，则k(kZ).又0，所以.(2)由图象知A2，又12sin(0)，即sin ，又|0)的

12、最小正周期为.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数yg(x)的图象，若yg(x)在0，b(b0)上至少含有10个零点，求b的最小值.【答案】见解析【解析】(1)f(x)2sin xcos x(2sin2x1)sin 2xcos 2x2sin.由最小正周期为，得1，所以f(x)2sin，由2k2x2k(kZ)，整理得kxk(kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间是(kZ).(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y2sin 2x1的图象；所以g(x)2sin 2x1.令g(x)0，得xk或xk(kZ)

13、，所以在0，上恰好有两个零点，若yg(x)在0，b上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可.所以b的最小值为4.【规律方法】1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.3.研究yAsin(x)的性质时可将x视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数yaAcos(x1，2，3，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ，12月份的月平均气温最低为18

14、，则10月份的平均气温为_.【答案】20.5【解析】因为当x6时，yaA28；当x12时，yaA18，所以a23，A5，所以yf(x)235cos，所以当x10时，f(10)235cos23520.5. (2)已知函数f(x)5sin xcos x5cos2x(其中xR)，求：函数f(x)的最小正周期；函数f(x)的单调区间；函数f(x)图象的对称轴和对称中心.【答案】见解析【解析】因为f(x)sin 2x(1cos 2x)5(sin 2xcos 2x)5sin，所以函数的最小正周期T.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以函数f(x)的递增区间为(kZ).由2k2x2k(kZ)，得k

15、xk(kZ)，所以函数f(x)的递减区间为(kZ).由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称轴方程为x(kZ).由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称中心为(kZ).【反思与感悟】1.五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角x的变化.2.由图象确定函数解析式解决由函数yAsin(x)的图象确定A，的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.【易错防范】1.由函数ysin x的图象

16、经过变换得到yAsin(x)的图象，如先伸缩再平移时，要把x前面的系数提取出来.2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的确定，基本思想是把x看作一个整体.若0)在区间0，1上至少出现50次最大值，则的最小值为()A.98 B. C. D.100【答案】B【解析】由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以T1，所以.【评析】解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T与所给区间的关系，从而建立不等关系.类型2三角函数的单调性与的关系【例2】 若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递减，则的取值范围是()A.0 B.0C.3 D.3【答案】D

17、【解析】令2kx2k(kZ)，得x，因为f(x)在上单调递减，所以得6k4k3.又0，所以k0，又6k4k3，得0k0)在区间上单调递减，建立不等式，即可求的取值范围.类型3三角函数对称性、最值与的关系【例3】 (1)(2019枣庄模拟)已知f(x)sin xcos x，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(，2)，则的取值范围是_.(结果用区间表示)(2)已知函数f(x)2sin x在区间上的最小值为2，则的取值范围是_.【答案】(1)(2)【解析】(1)f(x)sin xcos xsin，令xk(kZ)，解得x(kZ).当k0时，即，当k1时，2，即.综上，.(

18、2)显然0，分两种情况：若0，当x时，x.因函数f(x)2sin x在区间上的最小值为2，所以，解得.若0)图象上的一个最低点，M，N是与点P相邻的两个最高点，若MPN60，则该函数的最小正周期是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】由P是函数yAsin(x)(0)图象上的一个最低点，M，N是与P相邻的两个最高点，知|MP|NP|，又MPN60，所以MPN为等边三角形.由P(，)，得|MN|26.该函数的最小正周期T6.4.(2018天津卷)将函数ysin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数()A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递

19、减【答案】A【解析】ysinsin 2，将其图象向右平移个单位长度，得到函数ysin 2x的图象.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.令k0，可知函数ysin 2x在区间上单调递增.5.(2019张家界模拟)将函数f(x)sin 2xcos 2x的图象向左平移t(t0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若g(x)g，则实数t的最小值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，f(x)2sin，则g(x)2sin，从而2sin2sin2sin(2x2t)2sin(2x2t)，又t0，所以当2t2t2k(kZ)时，即t(kZ)，实数tmin.二、填空题6.将函数ysin x的图象上所

20、有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是_.【答案】ysinysin.7.(2018沈阳质检)函数f(x)Asin(x)(A0，0，0)的部分图象如图所示，则f_.【答案】【解析】由图象可知A2，T，T，2.当x时，函数f(x)取得最大值，22k(kZ)，2k(kZ)，00)，ff，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则_.【答案】【解析】依题意，x时，y有最小值，sin1，2k (kZ).8k (kZ)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以，即12，令k0，得.三、解答题9.某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)

21、的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0，24).(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差.【答案】见解析【解析】(1)f(8)10cossin10cos sin 1010.故实验室上午8时的温度为10 .(2)因为f(t)102(costsint)102sin，又0t24，所以t，1sin1.当t2时，sin1；当t14时，sin1.于是f(t)在0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12 ，最低温度为8 ，最大温差为4 .10.已知函数f(x)sin(x)的图象关于直线x对称，且图象上相邻最高点的距离为.(1)求f的

22、值；(2)将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，得到yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.【答案】见解析【解析】(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而2.又f(x)的图象关于直线x对称，所以2k(kZ)，因为，所以k0，所以，所以f(x)sin，则fsinsin .(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，所以g(x)fsinsin.当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，g(x)单调递减.因此g(x)的单调递减区间为(kZ).【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019天津和平区调研)已知x是函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0)图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在上的最小值为()A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】x是f(x)2sin图象的一条对称轴，k(kZ)，即k(kZ).00)的最小正周期为，当x时，方程f(x)m恰有两个不同的实数解x1，x2，则x1x2_，f(x1x2)_.【答案】1【解析】函数f(x)2sin cos 2cos21sin xcos x2sin.由T，可得2，f(x)2sin.x，2x，1f(x)2.画出f(x)的图象(图略)，结合图象知x1x2，则f(x1x2)f2sin2sin 1.21