专题3.2利用导数研究函数的单调性 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)解析版
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1、第三篇 导数及其应用专题3.02利用导数研究函数的单调性【考试要求】1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间;2.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值;体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.【知识梳理】1.函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导,则:(1)若f(x)0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f(x)0,右侧f(x)0x0附近的左侧f(x)0图象
2、形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a,b上有最值的条件如果在区间a,b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求yf(x)在a,b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a,b)内的极值;将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【微点提示】1.函数f(x)在区间(a,b)上递增,则f(x)0,“f(x)0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f
3、(x),“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0,则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)函数的极大值一定大于其极小值.()(4)对可导函数f(x),f(x0)0是x0为极值点的充要条件.()(5)函数的
4、最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】(1)f(x)在(a,b)内单调递增,则有f(x)0.(3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f(x0)0,且x0两侧导函数异号.【教材衍化】2.(选修22P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】由题意知在x1处f(1)0,且其两侧导数符号为左负右正.3.(选修22P32A5(4)改编)函数f(x)2xxln x的极值是()A. B. C.e D.e2【答案】C【
5、解析】因为f(x)2(ln x1)1ln x,令f(x)0,所以xe,当f(x)0时,解得0xe;当f(x)e,所以xe时,f(x)取到极大值,f(x)极大值f(e)e.【真题体验】4.(2019青岛月考)函数f(x)cos xx在(0,)上的单调性是()A.先增后减 B.先减后增C.单调递增 D.单调递减【答案】D【解析】易知f(x)sin x1,x(0,),则f(x)0,所以f(x)cos xx在(0,)上递减.5.(2017浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示,则函数yf(x)的图象可能是()【答案】D【解析】设导函数yf(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1,x2
6、,x3,由导函数yf(x)的图象易得当x(,x1)(x2,x3)时,f(x)0(其中x10x2x3),所以函数f(x)在(,x1),(x2,x3)上单调递减,在(x1,x2),(x3,)上单调递增,观察各选项,只有D选项符合.6.(2019豫南九校考评)若函数f(x)x(xc)2在x2处有极小值,则常数c的值为()A.4 B.2或6C.2 D.6【答案】C【解析】函数f(x)x(xc)2的导数为f(x)3x24cxc2,由题意知,在x2处的导数值为128cc20,解得c2或6,又函数f(x)x(xc)2在x2处有极小值,故导数在x2处左侧为负,右侧为正,而当e6时,f(x)x(x6)2在x2处
7、有极大值,故c2.【考点聚焦】考点一求函数的单调区间【例1】 已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)f(x)ex,求函数g(x)的单调减区间.【答案】见解析【解析】(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x,因为f(x)在x处取得极值,所以f0,即3a20,解得a.(2)由(1)得g(x)ex,故g(x)x(x1)(x4)ex.令g(x)0,即x(x1)(x4)0,解得1x0或x0,得单调递增区间;(4)在定义域内解不等式f(x)0),当f(x)0时,解得x,即函数的单调递增区间为;当f(x)0时,解得0x0,则其在区间(,)上的解集为和,即f(x
8、)的单调递增区间为,.考点二讨论函数的单调性【例2】 (2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x,其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)0,求a的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)函数f(x)的定义域为(,),且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0,则f(x)e2x,在(,)上单调递增.若a0,则由f(x)0,得xln .当x时,f(x)0.故f(x)在上单调递减,在区间上单调递增.(2)当a0时,f(x)e2x0恒成立.若aa2e时,f(x)0.综上,a的取值范围是2e,0.【规律方法】1.(1)研究含参数的函数的单调性,要依
9、据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)x3,f(x)3x20(f(x)0在x0时取到),f(x)在R上是增函数.【训练2】 已知f(x)aln x,aR,求f(x)的单调区间.【答案】见解析【解析】因为f(x)aln x,x(0,),所以f(x)x.(1)当a0时,f(x)0,所以f(x)在(0,)上为单调递增函数.(2)当a0时,f(x),则有当x(0,)时,f(x)0,所以f(x)的单调递增区间为(,).综上所述,当a0时,f(x)的单调递增区间为(0
10、,),无单调递减区间.当a0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,).考点三函数单调性的简单应用角度1比较大小或解不等式【例31】 (1)已知函数yf(x)对于任意的x满足f(x)cos xf(x)sin x1ln x,其中f(x)是函数f(x)的导函数,则下列不等式成立的是()A.ffC.ff D.ff(2)已知函数f(x)是函数f(x)的导函数,f(1),对任意实数都有f(x)f(x)0,设F(x),则不等式F(x)的解集为()A.(,1) B.(1,)C.(1,e) D.(e,)【答案】(1)B(2)B【解析】(1)令g(x),则g(x).由解得x;由解得0x,所以
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