专题5.4数列求和及数列的综合应用 2020年高考数学一轮复习对点提分（文理科通用）解析版

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1、第五篇 数列及其应用专题5.04数列求和及数列的综合应用【考试要求】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法；3.了解数列是一种特殊的函数；4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.【知识梳理】1.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是

2、由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.3.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an1(或者相邻三项等)之间的递推关系

3、，或者Sn与Sn1(或者相邻三项等)之间的递推关系.【微点提醒】1.1234n.2.1222n2.3.裂项求和常用的三种变形(1).(2).(3).【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，().()(3)求Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.()(4)若数列a1，a2a1，anan1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列an的通项公式是an.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(3)要分a0或a1或a0且a1讨论求解.【教材衍化】2.(必修5P47

4、B4改编)数列an中，an，若an的前n项和为，则项数n为()A.2 018 B.2 019C.2 020 D.2 021【答案】B【解析】an，Sn11，所以n2019.3.(必修5P56例1改编)等比数列an中，若a127，a9，q0，Sn是其前n项和，则S6_.【答案】【解析】由a127，a9知，27q8，又由q0，解得q，所以S6.【真题体验】4.(2018东北三省四校二模)已知数列an满足an1an2，a15，则|a1|a2|a6|()A.9 B.15 C.18 D.30【答案】C【解析】由题意知an是以2为公差的等差数列，又a15，所以|a1|a2|a6|5|3|1|1355311

5、3518.5.(2019北京朝阳区质检)已知数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，bnan2n1，且SnTn2n1n22，则2Tn_.【答案】2n2n(n1)4【解析】由题意知TnSnb1a1b2a2bnann2n12，又SnTn2n1n22，所以2TnTnSnSnTn2n2n(n1)4.6.(2019河北“五个一”名校质检)若f(x)f(1x)4，anf(0)fff(1)(nN*)，则数列an的通项公式为_.【答案】an2(n1)【解析】由f(x)f(1x)4，可得f(0)f(1)4，ff4，所以2anf(0)f(1)f(1)f(0)4(n1)，即an2(n1).【考点聚焦】考点一分组转

6、化法求和【例1】 (2019济南质检)已知在等比数列an中，a11，且a1，a2，a31成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn2n1an(nN*)，数列bn的前n项和为Sn，试比较Sn与n22n的大小.【答案】见解析【解析】(1)设等比数列an的公比为q，a1，a2，a31成等差数列，2a2a1(a31)a3，q2，ana1qn12n1(nN*).(2)由(1)知bn2n1an2n12n1，Sn(11)(32)(522)(2n12n1)135(2n1)(12222n1)nn22n1.Sn(n22n)10，Sn0，解得所以an2n.(2)由题意知：S2n1(2n1)bn

7、1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，则cn，因此Tnc1c2cn，又Tn，两式相减得Tn，所以Tn5.【规律方法】1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.【训练3】 已知等差数列an满足：an1an(nN*)，a11，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，an2log2bn1.(1)分别求数列an，b

8、n的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.【答案】见解析【解析】(1)设等差数列an的公差为d，则d0，由a11，a21d，a312d分别加上1，1，3后成等比数列，得(2d)22(42d)，解得d2(舍负)，所以an1(n1)22n1.又因为an2log2bn1，所以log2bnn，则bn.(2)由(1)知anbn(2n1)，则Tn，Tn，由，得Tn2.Tn2，Tn1233.考点四数列的综合应用【例4】 某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每

9、天比前一天翻一番(即增加1倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢？【答案】见解析【解析】设该学生工作n天，每天领工资an元，共领工资Sn元，则第一种方案an(1)38，Sn(1)38n；第二种方案an(2)4n，Sn(2)4(123n)2n22n；第三种方案an(3)0.42n1，Sn(3)0.4(2n1).令Sn(1)Sn(2)，即38n2n22n，解得n18，即小于或等于18天时，第一种方案比第二种方案报酬高(18天时一样高).令Sn(1)Sn(3)，即38n0.4(2n1)，利用计算器计算得小于或等于9天时，第一种方案报酬高，所以少于10天时，选择第一种方案.比较第二、第三种方案，S10(2

10、)220，S10(3)409.2，S10(3)S10(2)，Sn(3)Sn(2).所以等于或多于10天时，选择第三种方案.【规律方法】数列的综合应用常考查以下几个方面：(1)数列在实际问题中的应用；(2)数列与不等式的综合应用；(3)数列与函数的综合应用.解答数列综合题和应用题既要有坚实的基础知识，又要有良好的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再结合其他相关知识来解决问题.【训练4】 已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在

11、函数yf(x)的图象上.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，试求数列bn的前n项和Tn.【答案】见解析【解析】(1)设二次函数f(x)ax2bx(a0)，则f(x)2axb.由于f(x)6x2，得a3，b2，所以f(x)3x22x.又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上，所以Sn3n22n.当n2时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5；当n1时，a1S131221615，也适合上式，所以an6n5(nN*).(2)由(1)得bn，故Tn.【反思与感悟】1.非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数

12、列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.2.解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的是什么.(3)求解求出该问题的数学解.(4)还原将所求结果还原到实际问题中.【易错防范】1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号.3.解等差数列、等比数列应用题时，审题至关重要，深刻理解

13、问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A.24 B.3 C.3 D.8【答案】A【解析】设an的公差为d，根据题意得aa2a6，即(a12d)2(a1d)(a15d)，解得d2，所以数列an的前6项和为S66a1d16(2)24.2.数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100等于()A.

14、200 B.200 C.400 D.400【答案】B【解析】S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.3.数列an的通项公式是an，前n项和为9，则n等于()A.9 B.99 C.10 D.100【答案】B【解析】因为an，所以Sna1a2an()()()()1，令19，得n99.4.(2019德州调研)已知Tn为数列的前n项和，若mT101 013恒成立，则整数m的最小值为()A.1 026 B.1 025 C.1 024 D.1 023【答案】C【解析】1，Tnn1，T101 013111 0131 024，又mT101 013恒

15、成立，整数m的最小值为1 024.5.(2019厦门质检)已知数列an满足an1(1)n1an2，则其前100项和为()A.250 B.200 C.150 D.100【答案】D【解析】当n2k(kN*)时，a2k1a2k2，当n2k1(kN*)时，a2ka2k12，当n2k1(kN*)时，a2k2a2k12，a2k1a2k14，a2k2a2k0，an的前100项和(a1a3)(a97a99)(a2a4)(a98a100)254250100.二、填空题6.已知正项数列an满足a6aan1an.若a12，则数列an的前n项和Sn_.【答案】3n1【解析】由a6aan1an，得(an13an)(an

16、12an)0，又an0，所以an13an，又a12，所以an是首项为2，公比为3的等比数列，故Sn3n1.7.(2019武汉质检)设数列(n2n)an是等比数列，且a1，a2，则数列3nan的前15项和为_.【答案】【解析】等比数列(n2n)an的首项为2a1，第二项为6a2，故公比为，所以(n2n)an，所以an，则3nan，其前n项和为1，n15时，为1.8.某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为_.【答案】9【解析】由于平均产量类似于图形过P1(1，S1)，Pn(n，Sn)两点直线的斜率，斜率大平均产量就高，由图可知n9时割

17、线P1P9斜率最大，则m的值为9.三、解答题9.求和Sn(x0).【答案】见解析【解析】当x1时，Sn(x2x4x2n)2n2n2n.当x1时，Sn4n.10.设数列an的前n项和为Sn，a12，an12Sn(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)设bn1log2(an)2，求证：数列的前n项和Tn.【答案】见解析【解析】(1)解因为an12Sn(nN*)，所以an2Sn1(n2)，所以an1anSnSn1an，所以an12an(n2).又因为a22a14，a12，所以a22a1，所以数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，则an22n12n(nN*).(2)证明因bn1log2(an

18、)2，则bn2n1.则，所以TnN B.NC.N D.不确定【答案】A【解析】投入资金逐月值构成等比数列bn，利润逐月值构成等差数列an，等比数列bn可以看成关于n的指数式函数，它是凹函数，等差数列an可以看成关于n的一次式函数.由于a1b1，a12b12，相当于图象有两个交点，且两交点间指数式函数图象在一次函数图象下方，所以全年的总利润a1a2a12比总投资Nb1b2b12大，故选A.13.已知数列an中，an4n5，等比数列bn的公比q满足qanan1(n2)且b1a2，则|b1|b2|b3|bn|_.【答案】4n1【解析】由已知得b1a23，q4，bn(3)(4)n1，|bn|34n1，

19、即|bn|是以3为首项，4为公比的等比数列，|b1|b2|bn|4n1.14.(2019潍坊调研)已知数列an的前n项和为Sn，a15，nSn1(n1)Snn2n.(1)求证：数列为等差数列；(2)令bn2nan，求数列bn的前n项和Tn.【答案】见解析【解析】(1)证明由nSn1(n1)Snn2n得1，又5，所以数列是首项为5，公差为1的等差数列.(2)解由(1)可知5(n1)n4，所以Snn24n.当n2时，anSnSn1n24n(n1)24(n1)2n3.又a15也符合上式，所以an2n3(nN*)，所以bn(2n3)2n，所以Tn52722923(2n3)2n，2Tn522723924

20、(2n1)2n(2n3)2n1，所以得Tn(2n3)2n110(23242n1)(2n3)2n110(2n3)2n110(2n28)(2n1)2n12.【新高考创新预测】15.(多填题)已知公差不为零的等差数列an中，a11，且a2，a5，a14成等比数列，an的前n项和为Sn，bn(1)nSn，则an_，数列bn的前n项和Tn_.【答案】2n1(1)n【解析】设等差数列an的公差为d(d0)，则由a2，a5，a14成等比数列得aa2a14，即(14d)2(1d)(113d)，解得d2，则ana1(n1)d2n1，Snna1dn2，当n为偶数时，TnS1S2S3S4Sn1Sn12223242(n1)2n237(2n1)；当n为大于1的奇数时，TnS1S2S3S4Sn1Sn12223242(n2)2(n1)2n237(2n3)n2，当n1时，也符合上式.综上所述，Tn(1)n.16