专题7.6利用空间向量证明平行与垂直 2020年高考数学一轮复习对点提分（文理科通用）原卷版

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1、第七篇 立体几何与空间向量专题7.06利用空间向量证明平行与垂直【考试要求】1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理；4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题；6.并能描述解决夹角和距离的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.【知识梳理】1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量

2、：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmnm0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm03.异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角l1与l2所成的角范围(0，)求法cos cos |cos |4.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，则sin |cosa，n|.5.求二面角的大小(1)如图，AB，CD是二面

3、角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，.(2)如图，n1，n2 分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).6.点到平面的距离用向量方法求点B到平面距离基本思路：确定平面法向量， 在平面内取一点A，求向量到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面的法向量为n，点B到平面的距离d.【微点提醒】1.平面的法向量是非零向量且不唯一.2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系.3.线面角的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin |cosa，n

4、|，不要误记为cos |cosa，n|.4.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)若直线a的方向向量和平面的法向量平行，则a.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0，.()【教材衍化】2.(选修21P104练习2改编)已知平面，的法向量分别为n1(2，3，5

5、)，n2(3，1，4)，则()A. B.C.，相交但不垂直 D.以上均不对3.(选修21P112A4改编)已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cos m，n，则l与所成的角为()A.30 B.60 C.120 D.150【真题体验】4.(2019天津和平区月考)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.a B.a C.a D.a5.(2018北京朝阳区检测)已知平面的一个法向量为(1，2，2)，平面的一个法向量为(2，4，k)，若，则k等于()A.2 B.4 C.4 D.26.(2019烟台月考)若直线l的方向向量为a(1，0，2

6、)，平面的法向量为n(2，0，4)，则直线l与平面的位置关系为_.【考点聚焦】考点一利用空间向量证明平行问题【例1】 如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.证明：PQ平面BCD.【规律方法】(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向

7、量运算.【训练1】 如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB平面EFG.考点二利用空间向量证明垂直问题【例2】 如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.【规律方法】(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)用向量证明垂直的方法线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积

8、为零.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.【训练2】 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.考点三用空间向量解决有关位置关系的探索性问题角度1与平行有关的探索性问题【例31】 如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证：BDAA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存

9、在，请说明理由.角度2与垂直有关的探索性问题【例32】 如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC4，ABAD2.(1)求证：ACBF；(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【规律方法】解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.(2)探索性问题的关键是设点：空间中的点可设为(x，y，z)；坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y，0)；坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；直线(线段)AB上的点

10、P，可设为，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算.【训练3】 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB；(2)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【反思与感悟】1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种

11、是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.3.用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都容易建系：(1)有三条两两垂直的直线；(2)有线面垂直；(3)有两面垂直.【易错防范】1.用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)

12、即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.若直线l的一个方向向量为a(2，5，7)，平面的一个法向量为u(1，1，1)，则()A.l或l B.lC.l D.l与斜交2.已知a(2，3，1)，b(2，0，4)，c(4，6，2)，则下列结论正确的是()A.ac，bc B.ab，acC.ac，ab D.以上都不对3.若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交 B.平行C.在平面内 D.平行或在平

13、面内4.已知平面内有一点M(1，1，2)，平面的一个法向量为n(6，3，6)，则下列点P中，在平面内的是()A.P(2，3，3) B.P(2，0，1)C.P(4，4，0) D.P(3，3，4)5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.斜交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内二、填空题6.(2019青岛调研)已知(1，5，2)，(3，1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数xy_.7.(2018合肥月考)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形

14、ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_.8.设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n(2，2，4)，若a(1，1，2)，则直线l与平面的位置关系为_；若a(1，1，1)，则直线l与平面的位置关系为_.三、解答题9.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.证明：平面PQC平面DCQ.10.如图正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO，且FO平面ABCD.(1)求证：AE平面BCF；(2)求证：CF平面AEF.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.如图所示，在平

15、行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.以上说法正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.412.(2019成都调研)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，P为C1D1的中点，M为BC的中点.则AM与PM的位置关系为()A.平行 B.异面C.垂直 D.以上都不对13.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和的值为_.14.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02).(1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使平面EFPQ平面PQMN？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.13