专题8.2两直线的位置关系 2020年高考数学一轮复习对点提分（文理科通用）原卷版

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1、第八篇 平面解析几何专题8.02两直线的位置关系【考试要求】1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.【知识梳理】1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.两直线相交直线l1：A1

2、xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解.3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|.特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.【微点提醒】1.两直线平行的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A

3、2xB2yC20平行的充要条件是A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10).2.两直线垂直的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.3.在运用两平行直线间的距离公式d时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点

4、到直线的距离.()【教材衍化】2.(必修2P114A10改编)两条平行直线3x4y120与ax8y110之间的距离为()A. B. C.7 D.3.(必修2P89练习2改编)已知P(2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_.【真题体验】4.(2019淄博调研)直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m()A.2 B.3 C.2或3 D.2或35.(2019北京十八中月考)圆(x1)2y22的圆心到直线yx3的距离为()A.1 B.2 C. D.26.(2019宁波期中)经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是()A.6x4y30 B.3x2y

5、30C.2x3y20 D.2x3y10【考点聚焦】考点一两直线的平行与垂直【例1】 (1)(2019河北五校联考)直线l1：mx2y10，l2：x(m1)y10，则“m2”是“l1l2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)已知三条直线2x3y10，4x3y50，mxy10不能构成三角形，则实数m的取值集合为()A. B.C. D.【规律方法】1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也

6、可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训练1】 (一题多解)已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)当l1l2时，求a的值；(2)当l1l2时，求a的值.考点二两直线的交点与距离问题【例2】 (1)(一题多解)求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程为_.(2)已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是_.(3)(2019厦门模拟)若两平行直线3x2y10，6xayc0之间的距离为，则c的值是_.【规律方法】1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组

7、求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等.【训练2】 (1)(2019上海黄浦区监测)已知曲线yax(a0且a1)恒过点A(m，n)，则点A到直线xy30的距离为_.(2)(一题多解)直线l过点P(1，2)且到点A(2，3)和点B(4，5)的距离相等，则直线l的方程为_.考点三对称问题角度1对称问题的求解【例31】 (2019潍坊期中)若点(a，b)关于直线y2x的对称点在x轴上，则a，b满足的条件为()A.

8、4a3b0 B.3a4b0C.2a3b0 D.3a2b0角度2对称问题的应用【例32】 (一题多解)光线沿直线l1：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方程.【规律方法】1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，且直线l与直线MN垂直.2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.3.若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：(1)若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；(2)若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B在直线l2上.【训练3】 已知三角形的一个顶点A(4，1)，它的两条

9、角平分线所在直线的方程分别为l1：xy10和l2：x10，则BC边所在直线的方程为_.【反思与感悟】1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题.【易错防范】1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.2.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(

10、2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.【核心素养提升】【数学抽象】活用直线系方程1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.直线系方程的常见类型(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：yy0k(xx0)(k是参数，直线系中未包括直线xx0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线AxByC0的直线系方程是：AxBy0(是参数且C)；(3)垂直于已知直线AxByC0的直线系方程是：BxAy0(是参数)；(4)过两条已

11、知直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程是：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R，但不包括l2).类型1相交直线系方程【例1】 (一题多解)已知两条直线l1：x2y40和l2：xy20的交点为P，求过点P且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.类型2平行直线系方程【例2】 求过点A(1，4)且与直线2x3y50平行的直线方程.【例3】 已知直线l1与直线l2：x3y60平行，l1能和x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程.【例4】 (一题多解)已知直线方程3x4y70，求与之平行而且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程.类型3垂直

12、直线系方程【例5】 求经过A(2，1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.类型4直线系方程的应用【例6】 已知三角形三边所在的直线方程分别为：2xy40，xy70，2x7y140，求边2x7y140上的高所在的直线方程.【例7】 求过直线2x7y40与7x21y10的交点，且和A(3，1)，B(5，7)等距离的直线方程.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.直线2xym0和x2yn0的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.不能确定2.已知两直线方程分别为l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，则a()A.2 B.2 C. D.3.(一题多解)

13、过两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方程为()A.19x9y0 B.9x19y0C.19x3y0 D.3x19y04.从点(2，3)射出的光线沿与向量a(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()A.x2y40 B.2xy10C.x6y160 D.6xy805.(2019运城二模)在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：axy10与过定点Q的直线m：xay30相交于点M，则|MP|2|MQ|2()A. B. C.5 D.106.(2019青岛模拟)若直线l1：x3ym0(m0)与直线l2：2x6y30的距离为，则m()A.7 B. C.14 D.177.

14、(2018新余调研)已知坐标原点关于直线l1：xy10的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为()A.2x3y50 B.3x2y50C.3x2y50 D.2x3y508.一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l：xy10上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是()A. B.2 C.3 D.4二、填空题9.如果直线ax2y3a0与直线3x(a1)ya7平行，则a_.10.已知入射光线经过点M(3，4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_.11.(一题多解)(2019南昌模

15、拟)已知点A(1，0)，B(3，0)，若直线ykx1上存在一点P，满足PAPB，则k的取值范围是_.三、解答题12.已知方程(2)x(1)y2(32)0与点P(2，2).(1)证明：对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019丹东二模)已知直线l1：2xy30，直线l2：4x2y10和直线l3：xy10，若点M同时满足下列条件：(1)点M是第一象限的点；(2)点M到l1的距离是到l2的距离的；(3)点M到l1的距离与到l3的距离之比是.则点M的坐标为()A

16、. B.C. D.14.(2019天津河东区模拟)已知动直线l：axbyc20(a0，c0)恒过点P(1，m)且Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则的最小值为()A. B. C.1 D.915.若ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，则直线BC的方程为_.16.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2，3)对称，则直线l的方程是_.【新高考创新预测】17.(思维创新)已知常数x1、x2、y1、y2满足：xy1，xy1，x1x2y1y2，则的最大值为_.14