专题7.7利用空间向量求夹角与距离距离供选用 2020年高考数学一轮复习对点提分（文理科通用）原卷版

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1、第七篇 立体几何与空间向量专题7.07利用空间向量求夹角和距离(距离供选用)【考点聚焦突破】考点一用空间向量求异面直线所成的角【例1】 (1)(一题多解)(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B. C. D.(2)(一题多解)(2019河北、山西、河南三省联考)在三棱锥PABC中，ABC和PBC均为等边三角形，且二面角PBCA的大小为120，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()A. B. C. D.【规律方法】1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(

2、2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cosv1，v2|求解.2.两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是0，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.【训练1】 (一题多解)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，E，F分别为BC，BB1的中点，M，N分别为AA1，A1C1的中点，则直线MN与EF所成角的余弦值为()A. B. C. D.考点二用空间向量求线面角【例2】 (2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点.(1)证明：PO平

3、面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值.【规律方法】利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【训练2】 (2019郑州测试)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED平面ABCD，ABD，AB2AD.(1)求证：平面BDEF平面ADE；(2)若EDBD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值.考点三用空间向量求二面角【

4、例3】 (2019北京海淀区模拟)如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，ABCD，且CD6，AB12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQOB.(1)(一题多解)证明：OD平面PAQ；(2)若BE2AE，求二面角CBQA的余弦值.【规律方法】利用空间向量计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱

5、垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.【训练3】 (2018安徽六校第二次联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ABBCCC12CD，E为线段AB的中点，F是线段DD1上的动点.(1)求证：EF平面BCC1B1；(2)(一题多解)若BCDC1CD60，且平面D1C1CD平面ABCD，求平面BCC1B1与平面DC1B1所成角(锐角)的余弦值.考点四用空间向量求空间距离(供选用)【例4】 如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2，求点A到平面MBC的距离.【规律方法】1.空间中两点间的距离的求法两

6、点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.因此，要求两点间的距离除了使用距离公式外，还可转化为求向量的模.2.求点P到平面的距离的三个步骤：(1)在平面内取一点A，确定向量的坐标表示；(2)确定平面的法向量n；(3)代入公式d求解.【训练4】 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是棱AB，AD，B1C1，D1C1的中点，则平面EFD1B1和平面GHDB的距离是_.【反思与感悟】1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.2.利用法向量求距离问

7、题的程序思想方法第一步，确定法向量；第二步，选择参考向量；第三步，确定参考向量到法向量的投影向量；第四步，求投影向量的长度.【易错防范】1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.2.利用向量法求二面角大小的注意点(1)建立空间直角坐标系时，若垂直关系不明确，应先给出证明；(2)对于某些平面的法向量，要结合题目条件和图形多观察，判断该法向量是否已经隐含着，不用再求.(3)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题

8、1.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A.120 B.60C.30 D.60或302.在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D所成角大小为()A. B. C. D.3.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.则CD与平面ACM所成角的正弦值为()A. B. C. D.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为()A. B. C. D.5.(2019日照模拟)设正方体ABCDA1B1C1

9、D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A. B. C. D.二、填空题6.(2019昆明月考)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_.7.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_.8.(一题多解)已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为_.三、解答题9.(2018江苏卷)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，

10、ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.10. (2018河北五校联考)如图，在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，A1AA1C，A1AA1C.(1)求证：A1C1B1C；(2)(一题多解)求二面角B1A1CC1的正弦值.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019长沙雅礼中学检测)在三棱锥PABC中，点P在底面的正投影恰好是等边ABC的边AB的中点，且点P到底面ABC的距离等于底面边长.设PAC与底面所成的二

11、面角的大小为，PBC与底面所成的二面角的大小为，则tan()的值是()A. B. C. D.12.(2019济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B. C. D.13.如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为_.14.如图在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11.D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA1.(1)求证：CDC1D；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值；(3)求点C到平面B1DP的距离.【新高考创新预测】15. (思维创新)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E分别是BC，AB的中点，ABAC，且ACAD.设PC与DE所成角为，PD与平面ABC所成角为，二面角PBCA为，则()A. B.C. D.11