专题8.2两直线的位置关系 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)解析版
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1、第八篇 平面解析几何专题8.02两直线的位置关系【考试要求】1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直;2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.【知识梳理】1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1l2k1k2.特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1,l2斜率都存在,设为k1,k2,则l1l2k1k21,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直.2.两直线相交直线l1:A1
2、xB1yC10和l2:A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解;平行方程组无解;重合方程组有无数个解.3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|.特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离d.(3)两条平行线间的距离公式一般地,两条平行直线l1:AxByC10,l2:AxByC20间的距离d.【微点提醒】1.两直线平行的充要条件直线l1:A1xB1yC10与直线l2:A
3、2xB2yC20平行的充要条件是A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10).2.两直线垂直的充要条件直线l1:A1xB1yC10与直线l2:A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.3.在运用两平行直线间的距离公式d时,一定要注意将两方程中x,y的系数分别化为相同的形式.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点
4、到直线的距离.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)两直线l1,l2有可能重合.(2)如果l1l2,若l1的斜率k10,则l2的斜率不存在.【教材衍化】2.(必修2P114A10改编)两条平行直线3x4y120与ax8y110之间的距离为()A. B. C.7 D.【答案】D【解析】由题意知a6,直线3x4y120可化为6x8y240,所以两平行直线之间的距离为.3.(必修2P89练习2改编)已知P(2,m),Q(m,4),且直线PQ垂直于直线xy10,则m_.【答案】1【解析】由题意知 1,所以m42m,所以m1.【真题体验】4.(2019淄博调研)直线2x(m1)y40与直线m
5、x3y20平行,则m()A.2 B.3 C.2或3 D.2或3【答案】C【解析】直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行,则有,故m2或3.5.(2019北京十八中月考)圆(x1)2y22的圆心到直线yx3的距离为()A.1 B.2 C. D.2【答案】C【解析】圆(x1)2y22的圆心坐标为(1,0),由yx3得xy30,则圆心到直线的距离d.6.(2019宁波期中)经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是()A.6x4y30 B.3x2y30C.2x3y20 D.2x3y10【答案】A【解析】因为抛物线y22x的焦点坐标为,直线3x2y50的斜率为,所以所求直线
6、l的方程为y,化为一般式,得6x4y30.【考点聚焦】考点一两直线的平行与垂直【例1】 (1)(2019河北五校联考)直线l1:mx2y10,l2:x(m1)y10,则“m2”是“l1l2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)已知三条直线2x3y10,4x3y50,mxy10不能构成三角形,则实数m的取值集合为()A. B.C. D.【答案】(1)C(2)D【解析】(1)由l1l2得m(m1)1(2),得m2或m1,经验证,当m1时,直线l1与l2重合,舍去,所以“m2”是“l1l2”的充要条件.(2)由题意得直线mxy10与2x3y10,4
7、x3y50平行,或者直线mxy10过2x3y10与4x3y50的交点.当直线mxy10与2x3y10,4x3y50分别平行时,m或;当直线mxy10过2x3y10与4x3y50的交点时,m.所以实数m的取值集合为.【规律方法】1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训练1】 (一题多解)已知直线l1:ax2y60和直线l2:x(a1)ya210.(1)当l1l2时,求a的值;(2)当l1l
8、2时,求a的值.【答案】见解析【解析】(1)法一当a1时,l1:x2y60,l2:x0,l1不平行于l2;当a0时,l1:y3,l2:xy10,l1不平行于l2;当a1且a0时,两直线方程可化为l1:yx3,l2:yx(a1),由l1l2可得解得a1.综上可知,a1.法二由l1l2知即a1.(2)法一当a1时,l1:x2y60,l2:x0,l1与l2不垂直,故a1不符合;当a1时,l1:yx3,l2:yx(a1),由l1l2,得1a.法二l1l2,A1A2B1B20,即a2(a1)0,得a.考点二两直线的交点与距离问题【例2】 (1)(一题多解)求经过直线l1:3x2y10和l2:5x2y10
9、的交点,且垂直于直线l3:3x5y60的直线l的方程为_.(2)已知点P(4,a)到直线4x3y10的距离不大于3,则a的取值范围是_.(3)(2019厦门模拟)若两平行直线3x2y10,6xayc0之间的距离为,则c的值是_.【答案】(1)5x3y10(2)0,10(3)2或6【解析】(1)法一先解方程组得l1,l2的交点坐标为(1,2),再由l3的斜率求出l的斜率为,于是由直线的点斜式方程求出l:y2(x1),即5x3y10.法二由于ll3,故l是直线系5x3yC0中的一条,而l过l1,l2的交点(1,2),故5(1)32C0,由此求出C1,故l的方程为5x3y10.法三由于l过l1,l2
10、的交点,故l是直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条,将其整理,得(35)x(22)y(1)0.其斜率,解得,代入直线系方程即得l的方程为5x3y10.(2)由题意得,点P到直线的距离为.又3,即|153a|15,解之得0a10,所以a的取值范围是0,10.(3)依题意知,解得a4,c2,即直线6xayc0可化为3x2y0,又两平行线之间的距离为,所以,解得c2或6.【规律方法】1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线xa的距离d|x0a|,到直线yb的距离d
11、|y0b|;(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数分别化为相等.【训练2】 (1)(2019上海黄浦区监测)已知曲线yax(a0且a1)恒过点A(m,n),则点A到直线xy30的距离为_.(2)(一题多解)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等,则直线l的方程为_.【答案】(1)(2)x3y50或x1【解析】(1)由题意,可知曲线yax(a0且a1)恒过点(0,1),所以A(0,1),点A(0,1)到直线xy30的距离d.(2)法一当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y2k(x1),即kxyk20.由题意知,即|3k1|3k3|,k.直线l的方
12、程为y2(x1),即x3y50.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x1,也符合题意.法二当ABl时,有kkAB,直线l的方程为y2(x1),即x3y50.当l过AB中点时,AB的中点为(1,4).直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.考点三对称问题角度1对称问题的求解【例31】 (2019潍坊期中)若点(a,b)关于直线y2x的对称点在x轴上,则a,b满足的条件为()A.4a3b0 B.3a4b0C.2a3b0 D.3a2b0【答案】A【解析】设点(a,b)关于直线y2x的对称点为(t,0),则有解得4a3b0.角度2对称问题的应用【例32】 (一题多解)光线沿直线l1
13、:x2y50射入,遇直线l:3x2y70后反射,求反射光线所在的直线方程.【答案】见解析【解析】法一由得反射点M的坐标为(1,2).又取直线x2y50上一点P(5,0),设P关于直线l的对称点P(x0,y0),由PPl可知,kPP.而PP的中点Q的坐标为,又Q点在l上,3270.由得根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x2y330.法二设直线x2y50上任意一点P(x0,y0)关于直线l的对称点为P(x,y),则,又PP的中点Q在l上,3270,由可得P点的横、纵坐标分别为x0,y0,代入方程x2y50中,化简得29x2y330,所求反射光线所在的直线方程为29x2y330
14、.【规律方法】1.解决点关于直线对称问题要把握两点,点M与点N关于直线l对称,则线段MN的中点在直线l上,且直线l与直线MN垂直.2.如果直线或点关于点成中心对称问题,则只需运用中点公式就可解决问题.3.若直线l1,l2关于直线l对称,则有如下性质:(1)若直线l1与l2相交,则交点在直线l上;(2)若点B在直线l1上,则其关于直线l的对称点B在直线l2上.【训练3】 已知三角形的一个顶点A(4,1),它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1:xy10和l2:x10,则BC边所在直线的方程为_.【答案】2xy30【解析】A不在这两条角平分线上,因此l1,l2是另两个角的角平分线所在直线.点A关
15、于直线l1的对称点A1,点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上.设A1(x1,y1),则有解得所以A1(0,3).同理设A2(x2,y2),易求得A2(2,1).所以BC边所在直线方程为2xy30.【反思与感悟】1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1,l2,l1l2k1k2;l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题.【易错防范】1.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率,可根据判定定理判断
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