专题10.3二项式定理 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)原卷版
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1、第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布专题10.03二项式定理【考试要求】1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理;2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【知识梳理】1.二项式定理(1)二项式定理:(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*);(2)通项公式:Tr1Canrbr,它表示第r1项;(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数C,C,C.2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等,即CC增减性二项式系数C当k(nN*)时,是递增的当k(nN*)时,是递减的二项式系数最大值当n为偶数时,中间的一项取得最大值当n为奇数时,中间的两项
2、与取得最大值3.各二项式系数和(1)(ab)n展开式的各二项式系数和:CCCC2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即CCCCCC2n1.【微点提醒】(ab)n的展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C,C,一直到C,C.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)Cankbk是二项展开式的第k项.()(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.(
3、)(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.()(4)(ab)n某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的二项式系数不同.()【教材衍化】2.(选修23P31T4改编)(xy)n的二项展开式中,第m项的系数是()A.C B.CC.C D.(1)m1C3.(选修23P35练习A1(3)改编)的值为()A.2 B.4C.2 019 D.2 0182 019【真题体验】4.(2018全国卷)的展开式中x4的系数为()A.10 B.20 C.40 D.805.(2019东营调研)已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1,a2,a3,ak(1k11,kN)是
4、一个递增数列,则k的最大值是()A.5 B.6 C.7 D.86.(2018浙江卷)二项式的展开式的常数项是_.【考点聚焦】考点一通项公式及其应用角度1求二项展开式中的特定项【例11】 (1)(2019北京海淀区二模)(x21)的展开式的常数项是()A.5 B.10 C.32 D.42(2)的展开式中所有的有理项为_.【规律方法】求二项展开式中的特定项,一般是化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数r1,代回通项公式即可.角度2求二项展开式中特定项的系数【例12】 (1)(多项式是积的形式)(2017全国卷)(1x)6的展开式中x2的系数
5、为()A.15 B.20 C.30 D.35(2)(多项式是和的形式)已知(1ax)3(1x)5的展开式中含x3的系数为2,则a等于()A.2 B.2 C.2 D.1(3)(三项展开式问题)(x2xy)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10 B.20 C.30 D.60【规律方法】1.求几个多项式和的特定项:先分别求出每一个多项式中的特定项,再合并,通常要用到方程或不等式的知识求解.2.求几个多项式积的特定项:可先分别化简或展开为多项式和的形式,再分类考虑特定项产生的每一种情形,求出相应的特定项,最后进行合并即可.3.三项展开式特定项:(1)通常将三项式转化为二项式积的形式,然后利用多项式
6、积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解;(2)将其中某两项看成一个整体,直接利用二项式展开,然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.【训练1】 (1)(2017全国卷改编)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为_.(2)在(1)7的展开式中,若x2的系数为19,则a_.考点二二项式系数与各项的系数问题【例2】 (1)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a_.(2)(2019汕头质检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9,且(a0a2a8)2(a1a3a9)239,则实数m的值为_.【规律方法】1.“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种
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