专题6.2平面向量基本定理及坐标表示 2020年高考数学一轮复习对点提分（文理科通用）解析版

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1、第六篇 平面向量与复数专题6.02平面向量基本定理及坐标表示【考试要求】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【知识梳理】1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a(

2、x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.4.平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.【微点提醒】1.若a(x1，y1)，b(x2，y2)且ab，则x1x2且y1y2.2.若a与b不共线，ab0，则0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.【疑误辨析】1.判

3、断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可以表示成.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)共线向量不可以作为基底.(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.(4)若b(0，0)，则无意义.【教材衍化】2.(必修4P118A2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是()A.e1(0，0)，e2(1，2)B.e1(1，2)，e2(5，7)C

4、.e1(3，5)，e2(6，10)D.e1(2，3)，e2【答案】B【解析】两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.3.(必修4P99例8改编)设P是线段P1P2上的一点，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为()A.(2，2) B.(3，1)C.(2，2)或(3，1) D.(2，2)或(3，1)【答案】A【解析】由题意得且(3，3).设P(x，y)，则(x1，y3)(1，1)，x2，y2，则点P(2，2).【真题体验】4.(2015全国卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()A.(7，4) B.(7，4)C.(

5、1，4) D.(1，4)【答案】A【解析】根据题意得(3，1)，(4，3)(3，1)(7，4)，故选A.5.(2017山东卷)已知向量a(2，6)，b(1，)，若ab，则_.【答案】3【解析】ab，260，解得3.6.(2019苏州月考)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为_.【答案】(1，5)【解析】设D(x，y)，则由，得(4，1)(5x，6y)，即解得【考点聚焦】考点一平面向量基本定理及其应用【例1】 (1)(2019衡水中学调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若2，3，(，R)，则()A.

6、 B.1 C. D.3(2)(2019北京海淀区调研)在ABC中，D为三角形所在平面内一点，且.延长AD交BC于E，若，则的值是_.【答案】(1)A(2)【解析】(1)()()2()3.因为E，M，F三点共线，所以2()(3)1，即251，.(2)设x，.由于E，B，C三点共线，1，x.根据平面向量基本定理，得，.因此.【规律方法】1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】 (1)(2019济南质检)在A

7、BC中，若P是直线BN上的一点，且满足m，则实数m的值为()A.4 B.1 C.1 D.4(2)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足，则_.【答案】(1)B(2)【解析】(1)根据题意设n(nR)，则nn()n(1n).又m，解得(2)因为，所以()，所以，所以.考点二平面向量的坐标运算【例2】 (1)设A(0，1)，B(1，3)，C(1，5)，D(0，1)，则等于()A.2 B.2 C.3 D.3(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】(1)C(2)D【解析】(1)由题意得(1，2)，(1，4)，(0，2

8、)，所以(0，6)3(0，2)3.(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，a(1，1)，b(6，2)，c(1，3)，cab，(1，3)(1，1)(6，2)，则解得2，4.【规律方法】1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【训练2】 (1)已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，

9、3)，|2|，则向量的坐标是_.(2)(2019天津和平区一模)如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，ADDC，ADDC2AB，E为AD的中点，若(，R)，则的值为()A. B. C.2 D.【答案】(1)(4，7)(2)B【解析】(1)由点C是线段AB上一点，|2|，得2.设点B为(x，y)，则(2x，3y)2(1，2).则解得所以向量的坐标是(4，7).(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB1，则CDAD2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，(2，2)，(2，1)，(1，2)，(2，2)(2，1)(1，2)，解得则.考点三平面向量共线的坐标

10、表示多维探究角度1利用向量共线求向量或点的坐标【例31】 (一题多解)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_.【答案】(3，3)【解析】法一由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44，4).又(2，6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3，3)，所以点P的坐标为(3，3).法二设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4，4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2，6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3，3).角度2利用向量共线求参数【例32】 (1)(2018全国卷)已知向量a(1，2)，b(2

11、，2)，c(1，).若c(2ab)，则_.(2)已知向量a(2，3)，b(1，2)，若manb与a3b共线，则_.【答案】(1)(2)【解析】(1)由题意得2ab(4，2)，因为c(1，)，且c(2ab)，所以420，即.(2)由，所以a与b不共线，又a3b(2，3)3(1，2)(5，3)0.那么当manb与a3b共线时，有，即得.【规律方法】1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；(2)若ab(b0)，则ab.2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标

12、对应成比例来求解.【训练3】 (1)(2019北师大附中检测)已知向量a(1，1)，点A(3，0)，点B为直线y2x上的一个动点，若a，则点B的坐标为_.(2)设向量(1，2)，(2m，1)，(2n，0)，m，nR，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则mn的最大值为()A.3 B.2 C.2 D.3【答案】(1)(3，6)(2)A【解析】(1)由题意设B(x，2x)，则(x3，2x)，a，x32x0，解得x3，B(3，6).(2)由题意易知，其中(2m1，1)，(2n1，2)，所以(2m1)21(2n1)，得：2m12n1.2m12n2，所以2mn122，即mn3.【反思与感悟】1.平面向量

13、基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.2.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.3.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式.【易错防范】1.注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2x2y10.2.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.向量a，b满足ab(1，5)，ab(5，3)，则b为()A.(3，4) B.(3，4)C.(3，4) D.(3

14、，4)【答案】A【解析】由ab(1，5)，ab(5，3)，得2b(1，5)(5，3)(6，8)，b(6，8)(3，4).2.已知点A(1，3)，B(4，1)，则与同方向的单位向量是()A. B.C. D.【答案】A【解析】(4，1)(1，3)(3，4)，与同方向的单位向量为.3.已知向量a(2，1)，b(3，4)，c(1，m)，若实数满足abc，则m等于()A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】由平面向量的坐标运算法则可得ab(5，5)，c(，m)，据此有解得5，m1，m6.4.已知向量a(1，2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的()A.充要条件 B.充分不必要条件

15、C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得ab(2，2m)，由a(ab)，得1(2m)22，所以m6，则“m6”是“a(ab)”的充要条件.5.已知e1，e2是不共线向量，ame12e2，bne1e2，且mn0，若ab，则()A. B. C.2 D.2【答案】C【解析】因为ab，所以ab，即me12e2(ne1e2)，则得2.6.已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若(R)，且点P在直线x2y0上，则的值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】设P(x，y)，则由，得(x2，y3)(2，2)(5，7)(25，27).所以x54，y75.又点P在直

16、线x2y0上，故542(75)0，解得.7.(2019河北豫水中学质检)已知在RtABC中，BAC90，AB1，AC2，D是ABC内一点，且DAB60，设(，R)，则()A. B. C.3 D.2【答案】A【解析】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，因为DAB60，所以设D点的坐标为(m，m)(m0).(m，m)(1，0)(0，2)(，2)，则m，且m，所以.8.在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab【答案】B【解

17、析】设，.而bb，.因此，b.由于a，b不共线，因此由平面向量的基本定理，得解之得，.故ab.二、填空题9.(2019安徽江南十校联考)已知平面向量a(1，m)，b(2，5)，c(m，3)，且(ac)(ab)，则m_.【答案】【解析】a(1，m)，b(2，5)，c(m，3)，ac(m1，m3)，ab(1，m5)，又(ac)(ab)，(m1)(m5)m30，即m23m20，解之得m.10.已知A(2，3)，B(4，3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|BP|，则点P的坐标为_.【答案】(8，15)【解析】设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，则，得(x2，y3)(x4，y3)，即解得所

18、以点P的坐标为(8，15).11.已知A(1，1)，B(3，1)，C(a，b)，若A，B，C三点共线，则a，b的关系式为_.【答案】ab2【解析】由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三点共线，.2(b1)2(a1)0，即ab2.12.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，则角C_.【答案】【解析】因为pq，则(ac)(ca)b(ba)0，所以a2b2c2ab，所以，由余弦定理知，cos C，又因为0C，所以C.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.如图，在ABC中，若，则的值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】

19、().因为，所以，则.14.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若xy，其中x，yR，则xy的最大值是()A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以|2|xy|2x2y22xyx2y2，x2y21，则2xyx2y21.又(xy)2x2y22xy2，故xy的最大值为.15.已知|1，|，0，点C在AOB内，且与的夹角为30，设mn(m，nR)，则的值为_.【答案】3【解析】0，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，(1，0)，(0，)，mn(m，n).tan 30，m3n，即3.16.在ABC中，点D满足，当点E在线段AD上移动时，若，则t(1)22的最小值是_.【答案】【解析】因为，所以.又，点E在线段AD上移动，所以，则，即.所以t(1)2222212.当时，t的最小值是.【新高考创新预测】17.(多填题)直角ABC中，ABAC2，D为AB边上的点，且2，则_；若xy，则xy_.【答案】4【解析】以A为原点，分别以，的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，2)，D，则，(0，2)，(2，2)，则(0，2)0(2)(2)4.由xyx(0，2)y(2，2)(2y，2x2y)得解得则xy.15