专题8.4直线与圆、圆与圆的位置关系 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)解析版
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1、第八篇 平面解析几何专题8.04直线与圆、圆与圆的位置关系【考试要求】1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.【知识梳理】1.直线与圆的位置关系设圆C:(xa)2(yb)2r2,直线l:AxByC0,圆心C(a,b)到直线l的距离为d,由消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离dr02.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R,r,Rr,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表示:位置关系相离
2、外切相交内切内含几何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210【微点提醒】1.关注一个直角三角形当直线与圆相交时,由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形.2.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(
3、在括号内打“”或“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.()(4)过圆O:x2y2r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的充分不必要条件;(2)除外切外,还有可能内切;(3)两圆还可能内切或内含.【教材衍化】2.(必修2P132A5改编)直线l:3xy60与圆x2y
4、22x4y0相交于A,B两点,则|AB|_.【答案】【解析】由x2y22x4y0得(x1)2(y2)25,所以该圆的圆心坐标为(1,2),半径r.又圆心(1,2)到直线3xy60的距离为d,由r2d2,得|AB|210,即|AB|.3.(必修2P133A9改编)圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_.【答案】2【解析】由得两圆公共弦所在直线方程xy20.又圆x2y24的圆心到直线xy20的距离为.由勾股定理得弦长的一半为,所以,所求弦长为2.【真题体验】4.(2019大连双基测试)已知直线ymx与圆x2y24x20相切,则m值为()A. B. C. D.1【答案】D【解析】由x
5、2y24x20得圆的标准方程为(x2)2y22,所以该圆的圆心坐标为(2,0),半径r,又直线ymx与圆x2y24x20相切,则圆心到直线的距离d,解得m1.5.(2018西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x1)2y21有公共点,则直线l斜率的取值范围为()A.(,) B.,C.(,) D.【答案】D【解析】数形结合可知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为yk(x3),则圆心(1,0)与直线yk(x3)的距离应小于等于半径1,即1,解得k.6.(2019北京海淀区模拟)若圆C1:x2y21与圆C2:x2y26x8ym0外切,则m()A.21 B.19 C.9 D.11【答案】C【
6、解析】圆C1的圆心为C1(0,0),半径r11,因为圆C2的方程可化为(x3)2(y4)225m,所以圆C2的圆心为C2(3,4),半径r2(m25).从而|C1C2|5.由两圆外切得|C1C2|r1r2,即15,解得m9.【考点聚焦】考点一直线与圆的位置关系【例1】 (1)(2019青岛测试)已知点M(a,b)在圆O:x2y21外,则直线axby1与圆O的位置关系是()A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定(2)已知O:x2y21,点A(0,2),B(a,2),从点A观察点B,要使视线不被O挡住,则实数a的取值范围是()A.(,2)(2,)B.(,)(,)C.(,)(,)D.(,)【答案】
7、(1)B(2)B【解析】(1)因为M(a,b)在圆O:x2y21外,所以a2b21,而圆心O到直线axby1的距离d1,故直线与圆O相交. (2)易知点B在直线y2上,过点A(0,2)作圆的切线.设切线的斜率为k,则切线方程为ykx2,即kxy20.由d1,得k.切线方程为yx2,和直线y2的交点坐标分别为(,2),(,2).故要使视线不被O挡住,则实数a的取值范围是(,)(,).【规律方法】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法:利用d与r的关系.(2)代数法:联立方程之后利用判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法,点
8、与圆的位置关系法适用于动直线问题.【训练1】 (1)“a3”是“直线yx4与圆(xa)2(y3)28相切”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)圆x2y22x4y0与直线2txy22t0(tR)的位置关系为()A.相离 B.相切C.相交 D.以上都有可能【答案】(1)A(2)C【解析】(1)若直线yx4与圆(xa)2(y3)28相切,则有2,即|a1|4,所以a3或5.但当a3时,直线yx4与圆(xa)2(y3)28一定相切,故“a3”是“直线yx4与圆(xa)2(y3)28相切”的充分不必要条件.(2)直线2txy22t0恒过点(1,2),1
9、2(2)2214(2)50,点(1,2)在圆x2y22x4y0内,直线2txy22t0与圆x2y22x4y0相交.考点二圆的切线、弦长问题多维探究角度1圆的弦长问题【例21】 (2018全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A,B两点,则|AB|_.【答案】2【解析】由题意知圆的方程为x2(y1)24,所以圆心坐标为(0,1),半径为2,则圆心到直线yx1的距离d,所以|AB|22.角度2圆的切线问题【例22】 过点P(1,2)作圆C:(x1)2y21的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为()A.y B.y C.y D.y【答案】B【解析】圆(x1)2y21的圆心为C(1,0
10、),半径为1,以|PC|2为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21,将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y10,即y.角度3与弦长有关的最值和范围问题【例23】 (2018全国卷)直线xy20分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x2)2y22上,则ABP面积的取值范围是()A.2,6 B.4,8C.,3 D.2,3【答案】A【解析】圆心(2,0)到直线的距离d2,所以点P到直线的距离d1,3.根据直线的方程可知A,B两点的坐标分别为(2,0),(0,2),所以|AB|2,所以ABP的面积S|AB|d1d1.因为d1,3,所以S2,6,即ABP面积的取值范围是2,6.【规律方法】1.弦
11、长的两种求法(1)代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长.(2)几何方法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l2.2.过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法:当斜率存在时,设为k,则切线方程为yy0k(xx0),即kxyy0kx00,由圆心到直线的距离等于半径,即可得出切线方程;当斜率不存在时,要加以验证. 【训练2】 (1)已知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切,且与直线xay10平行,则a_.(2)(2019杭州测试)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦,其中最短弦的长为_.【
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