专题8.9圆锥曲线的最值、范围、证明问题 2020年高考数学一轮复习对点提分（文理科通用）解析版

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1、第八篇 平面解析几何专题8.09圆锥曲线的最值、范围、证明问题【考试要求】1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的综合问题的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.【知识梳理】1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.3.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标

2、函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.5.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|.【微点提醒】1.直线与椭圆位置关系的有关结论(供选用)(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与

3、椭圆相切；(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.2.直线与抛物线位置关系的有关结论(供选用)(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.()(3)直线l与

4、抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.()(4)如果直线xtya与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|y1y2|.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.【教材衍化】2.(选修21P71例6改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】C【解析】结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条；直线x0，过

5、点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x0).3.(选修21P69例4改编)已知倾斜角为60的直线l通过抛物线x24y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|_.【答案】16【解析】法一直线l的方程为yx1，由得y214y10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y214，|AB|y1y2p14216.法二如图所示，过F作AD的垂线，垂足为H，则|AF|AD|p|AF|sin 60，即|AF|.同理，|BF|，故|AB|AF|BF|16.【真题体验】4.(2019浙江八校联考)抛物线yax2与直线ykxb(k0)交于A，B两点，且这两点的横

6、坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则()A.x3x1x2 B.x1x2x1x3x2x3C.x1x2x30 D.x1x2x2x3x3x10【答案】B【解析】由消去y得ax2kxb0，可知x1x2，x1x2，令kxb0得x3，所以x1x2x1x3x2x3.5.(2019唐山市五校联考)直线l与双曲线C：1(a0，b0)交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为()A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，把A，B两点坐标分别代入双曲线的方程，得两式相减得0，又所以，所

7、以kOMkl1，所以e212，又e1，所以e.6.(2019潍坊二模)已知抛物线yax2(a0)的准线为l，l与双曲线y21的两条渐近线分别交于A，B两点，若|AB|4，则a_.【答案】【解析】抛物线yax2(a0)的准线l：y，双曲线y21的两条渐近线分别为yx，yx，可得xA，xB，可得|AB|4，解得a.【考点聚焦】考点一最值问题角度1利用几何性质求最值【例11】 设P是椭圆1上一点，M，N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为()A.9，12 B.8，11C.8，12 D.10，12【答案】C【解析】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆

8、心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|PB|2a10，连接PA，PB分别与圆相交于两点，此时|PM|PN|最小，最小值为|PA|PB|2R8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM|PN|最大，最大值为|PA|PB|2R12，即最小值和最大值分别为8，12.角度2利用基本不等式或二次函数求最值【例12】 (2019郑州二模)已知动圆E经过点F(1，0)，且和直线l：x1相切.(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程；(2)已知点A(3，0)，若斜率为1的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B，C两点，求ABC面积的最大值.【答案】见解析【解析】(1)由题

9、意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离，动点E的轨迹是以F(1，0)为焦点，直线x1为准线的抛物线，故轨迹G的方程是y24x.(2)设直线l的方程为yxm，其中3m0恒成立.由根与系数的关系得x1x242m，x1x2m2，|CB|4，点A到直线l的距离d，SABC42(3m)，令t，t(1，2)，则m1t2，SABC2t(4t2)8t2t3，令f(t)8t2t3，f(t)86t2，令f(t)0，得t(负值舍去).易知yf(t)在上单调递增，在上单调递减.yf(t)在t，即m时取得最大值为.ABC面积的最大值为.【规律方法】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法

10、：一是几何方法，即通过利用 圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【训练1】 已知椭圆1(ab0)，F1，F2为它的左、右焦点，P为椭圆上一点，已知F1PF260，SF1PF2，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆方程；(2)已知T(4，0)，过T的直线与椭圆交于M，N两点，求MNF1面积的最大值.【答案】见解析【解析】(1)由已知，得|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 604c2，即|PF1|2|PF2|2|PF

11、1|PF2|4c2，|PF1|PF2|sin 60，即|PF1|PF2|4，联立解得a2c23.又，c21，a24，b2a2c23，椭圆方程为1.(2)根据题意可知直线MN的斜率存在，且不为0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为xmy4，代入椭圆方程，整理得(3m24)y224my360，则(24m)2436(3m24)0，所以m24.y1y2，y1y2，则MNF1的面积SMNF1|SNTF1SMTF1|TF1|y1y2|1866.当且仅当，即m2时(此时适合0的条件)取得等号.故MNF1面积的最大值为.考点二范围问题【例2】 (2018浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不

12、含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)证明设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程4，即y22y0y8x0y0的两个不同的实根.所以y1y22y0，因此，PM垂直于y轴.(2)解由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此，PAB的面积SPAB|PM|y1y2|(y4x0).因为x1(x0b0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设

13、直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOMkON，求原点O到直线l的距离的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)由题知e，2b2，又a2b2c2，b1，a2，椭圆C的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程得(4k21)x28kmx4m240，依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0，化简得m24k21，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.若kOMkON，则，即4y1y25x1x2，(4k25)x1x24km(x1x2)4m20，(4k25)4km4m20，即(4k25)(m21)8k2

14、m2m2(4k21)0，化简得m2k2，由得0m2，k2.原点O到直线l的距离d，d21，又k2，0d20).(1)证明：k0)在椭圆1内，1，解得0m，故k.(2)解由题意得F(1，0).设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0).由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r).因为|MN|3，所以r222.所以r，圆C的方程为(x2)2.(2)证明把x0代入方程(x2)2，解得y1或y4，即点M(0，1)，N(0，4).当ABx轴时，可知ANMBNM0.当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为ykx1

15、.联立方程消去y得，(12k2)x24kx60.设直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2，x1x2.所以kANkBN0.所以ANMBNM.综合知ANMBNM.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.直线yx3与双曲线1(a0，b0)的交点个数是()A.1 B.2 C.1或2 D.0【答案】A【解析】由直线yx3与双曲线1的渐近线yx平行，故直线与双曲线的交点个数是1.2.已知双曲线C：1(a0，b0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是()A.2xy0 B.x2y0C.xy0 D.xy0【

16、答案】B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，由得，结合题意化简得1，即，所以双曲线C的渐近线方程为x2y0.3.抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离为()A. B. C.2 D.【答案】B【解析】设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d，x时， dmin.4.若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A.2 B.3 C.6 D.8【答案】C【解析】由题意得F(1，0)，设点P(x0，y0)，则y3(2x02).x0(x01)yxx0yxx03(x02)22.因为2x02，所以当x02时，取得最大值，最大值为6.5.(2018太原一模

17、)已知抛物线y24x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为，则|AB|()A.6 B.8 C.12 D.16【答案】A【解析】由题意知抛物线y24x的焦点F的坐标为(1，0)，易知当直线AB垂直于x轴时，AOB的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，与y24x联立，消去x得ky24y4k0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y2，y1y24，所以|y1y2|，所以AOB的面积为1，解得k，所以|AB|y1y2|6.二、填空题6.(2019北京朝阳区一模)抛物线C：y22px(p0)的准线与x轴的交点为M，过点M作

18、C的两条切线，切点分别为P，Q，则PMQ_.【答案】【解析】由题意得M，设过点M的切线方程为xmy，代入y22px得y22pmyp20，4p2m24p20，m1，则切线斜率k1，MQMP，因此PMQ.7.过双曲线1(a0，b0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为_.【答案】(1，)【解析】由过双曲线1(a0，b0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得2.e1，1e0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y28px(p0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y28px(p0)的另一个交点为Q，则_.【答案】3【解析】设直线OP的方

19、程为ykx(k0)，联立得解得P，联立得解得Q，|OP|，|PQ|，3.三、解答题9.设椭圆C1：1(ab0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任意一点，且MF1F2的周长是42.(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若点C满足，连接AC交DE于点P，求证：|PD|PE|.【答案】见解析【解析】(1)解由e，知，所以ca，因为MF1F2的周长是42，所以2a2c42，所以a2，c，所以b2a2c21，所以椭圆C1的方程为：y21.(2)证明由(1)得A(2，0)，B(2，0)，设D(x0，y0)，所以E(

20、x0，0)，因为，所以可设C(2，y1)，所以(x02，y0)，(2，y1)，由可得：(x02)y12y0，即y1.所以直线AC的方程为：.整理得：y(x2).又点P在DE上，将xx0代入直线AC的方程可得：y，即点P的坐标为，所以P为DE的中点，|PD|PE|.10.如图，已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称.(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).【答案】见解析【解析】由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M，由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220

21、，则x1x2，y1y2，(1)将AB中点M代入直线方程ymx解得b，由得m或m.故实数m的取值范围为.(2)令t，则|AB|，且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d .当且仅当t2时，等号成立.故AOB面积的最大值为.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019烟台一模)已知抛物线M：y24x，过抛物线M的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，且交抛物线的准线于点E.若2，则直线l的斜率为()A.3 B.2 C. D.1【答案】B【解析】分别过A，B两点作AD，BC垂直于准线，垂足分别为D，C，由2，得B为AE的中点，|AB|BE|

22、，则|AD|2|BC|，由抛物线的定义可知|AF|AD|，|BF|BC|，|AB|3|BC|，|BE|3|BC|，则|CE|2|BC|，tan CBE2，直线l的斜率ktan AFxtan CBE2.12.(2019河北百校联考)已知抛物线y24x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A，B两点(A在第一象限内)，3 ，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则ABG的面积为()A. B. C. D.【答案】C【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为3，所以y13y2，设直线l的方程为xmy1，由消去x得y24my40，y1y24，y1y24m，m，x1x2，AB的中点坐标为，过A

23、B中点且垂直于直线l的直线方程为y，令y0，可得x，所以SABG.13.(一题多解)(2018全国卷)已知点M(1，1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若AMB90，则k_.【答案】2【解析】法一由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21.由消去x得y24，即y2y40，则y1y2，y1y24，则AMB90，得(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将

24、x1x2，x1x21与y1y2，y1y24代入，得k2.法二设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以yy4(x1x2)，则k，取AB的中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为A，B，又AMB90，点M在准线x1上，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|).又M为AB的中点，所以MM平行于x轴，且y01，所以y1y22，所以k2.14.(2018天津卷)设椭圆1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(kx10，点Q的坐标为(x1，y1).由BPM的面积是BPQ面积的2

25、倍，可得|PM|2|PQ|，从而x2x12x1(x1)，即x25x1.易知直线AB的方程为2x3y6，由方程组消去y，可得x2.由方程组消去y，可得x1.由x25x1，可得5(3k2)，两边平方，整理得18k225k80，解得k，或k.当k时，x290，不合题意，舍去；当k时，x212，x1，符合题意.所以，k的值为.【新高考创新预测】15.(思维创新)已知抛物线y24x，焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则|AF|的最小值为_.【答案】22【解析】当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)(k0)，代入y24x可得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21.由抛物线的定义可得|AF|x11，|BF|x21，所以|AF|x11.令x21t(t1)，则x2t1，所以|AF|22(当且仅当t时等号成立)；当直线l的斜率不存在时，易得|AF|1.综上，|AF|的最小值为22.20