专题10.4 随机事件与概率 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(原卷版)
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1、第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布专题10.04随机事件与概率【考试要求】1.理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系;2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算;3.理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则;4.会用频率估计概率.【知识梳理】1.样本点和样本空间随机试验的每一个可能的结果称为样本点,记作;随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间,记作.2.概率与频率(1)频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率.(2)
2、概率:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).3.事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系若BA且ABAB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事件,则称事件A与事件B互斥AB对立事件
3、若AB为不可能事件,AB为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件ABP(AB)14.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:0P(A)1.(2)必然事件的概率P(E)1.(3)不可能事件的概率P(F)0.(4)互斥事件概率的加法公式如果事件A与事件B互斥,则P(AB)P(A)P(B).若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)1P(B).【微点提醒】1.任一随机事件A都是样本空间的一个子集,称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素.2.从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是
4、全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.3.概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时, 要用到概率加法公式的推广,即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)在大量的重复实验中,概率是频率的稳定值.()(3)若随机事件A发生的概率为P(A),则0P(A)1.()(4)6张奖券中只有一张有奖,甲、乙先后各抽取一张,则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.()【教材衍化】2.(必修3P123A3改编)容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:分组10,20)20,30)30,
5、40)40,50)50,60)60,70)频数234542则样本数据落在区间10,40)的频率为()A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.653.(必修3P121T5改编)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”()A.是互斥事件,不是对立事件B.是对立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件【真题体验】4.(2019北京十八中月考)将一枚硬币向上抛掷10次,其中“正面向上恰有5次”是()A.必然事件 B.随机事件C.不可能事件 D.无法确定5.(2018全国卷)若某群体中的成员只用
6、现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.76.(2019潍坊调研)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙不输的概率是_.【考点聚焦】考点一样本点与样本空间【例1】 将一枚质地均匀的骰子相继投掷两次,请回答以下问题:(1)写出样本点和样本空间;(2)用A表示随机事件“至少有一次掷出1点”,试用样本点表示事件A;(3)用Aj(j1,2,3,4,5,6)表示随机事件“第一次掷出1点,第二次掷出j点”;用B表示随机事件“第一次掷出1点”,试用随机事件Aj表示随机事件B.【规律方法】1
7、.在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间.关于样本空间的几点说明:(1)样本空间中的元素可以是数也可以不是数;(2)样本空间中的样本点可以是有限多个的,也可以是无限多个的.仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间;(3)建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间H,T,它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.【训练1】 写出下列随机试验的样本空间.(1)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和_.(
8、2)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数,_.考点二随机事件的关系【例2】 (1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人,每个人分得一张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()A.是对立事件 B.是不可能事件C.是互斥但不对立事件 D.不是互斥事件(2)设条件甲:“事件A与事件B是对立事件”,结论乙:“概率满足P(A)P(B)1”,则甲是乙的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【规律方法】1.准确把握互斥事件与对立事件的概念:(1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但也可以同时不发生;(2)对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对
9、立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.【训练2】 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,其中:恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;至少有一个是奇数和两个都是奇数;至少有一个是奇数和两个都是偶数;至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是()A. B. C. D.考点三随机事件的频率与概率【例3】 (2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,
10、以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进
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