专题1.7 极值点偏移第五招——函数的选取高考数学解答题压轴题突破讲义（解析版）

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1、于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造新函数. 那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数.已知函数有两个不同的零点，其极值点为（1）求的取值范围；（2）求证：；（3）求证：；（4）求证：解：（1），若，则，在上单调递增，来源:至多有一个零点，舍去；则必有，得在上递减，学*在上递增，要使有两个不同的零点，则须有（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当时，；当时，）（3）由所证结论可以看出，这已不再是的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：（ii）构造函数，则来源:学*（4）（i）同上；（ii）

2、构造函数，则学*当时，但因式的符号不容易看出，引进辅助函数，则，当时，得在上递增，有，则，得在上递增，有，即；（iii）将代入（ii）中不等式得，又，在上递增，故，学*点评：虽然做出来了，但判定因式及的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数再次回到题设条件：，记函数，则有接下来我们选取函数再解（3）、（4）两问（3）（i），得在上递减，在上递增，有极小值，又当时，；当时， 由不妨设【点评】用函数来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化

3、过程，降低难度注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将，相加得注2：在第（ii）步中，我们为什么总是给定的范围？这是因为的范围较的范围小，以第（3）问为例，若给定，因为所构造的函数为，这里，且，得，则当时，无意义，被迫分为两类：若，则，结论成立；当时，类似于原解答来源:ZXXK而给字，则不会遇到上述问题当然第（4）问中给定或的范围均可，请读者自己体会其中差别【思考】练习1：（查看热门文章里极值点偏移（1）应该用哪个函数来做呢？提示：用函数来做，用函数来做学*练习2 ：（安徽合肥2017高三第二次质量检测）已知（1）求的单调区间；（2）设, ，为函数的两个零点，求证.提示：将，两边取对数转化为

4、指数方程处理.【招式演练】已知函数有两个零点，求证：.只要证：即证：，即证：，由的单调性知，只需证：，学*同理构造函数，利用单调性证明，下略.已知的图像上有两点，其横坐标为，且.（1）证明：；（2）证明：.又构造函数：，则，故在上单调递增，由于时，且，故必存在，使得，故在上单调递减，在上单调递增，又时，且，故在上恒成立，也即在上恒成立，令，有，学*再由，且在上单调递增，故，即证：成立.综上：即证成立.从而对恒成立，同理得出：.综上：即证成立，也即原不等式成立. 学*已知函数（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值；（3）若函数有两个不同的零点， ，求证： 【答案】

5、（1）；（2）当时， ，当时， ，当时， ；（3）证明见解析.试题解析：（1）因为点在曲线上，所以，解得因为，所以切线的斜率为0，来源:Zxxk.Com所以切线方程为（2）因为，当时， ， ，所以函数在上单调递增，则；来源:Z|xx|k.Com当，即时， ， ，所以函数在上单调递增，则；当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则；学*当，即时， ， ，函数在上单调递减，则综上，当时， ；当时， ；当时， 令，则，于是，来源:令（），则，故函数在上是增函数，所以，即成立，所以原不等式成立所以，即成立，所以原不等式成立学*【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查

6、构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数，然后利用导数求其最小值来求.已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；（3）当时，函数的图象与轴交于两点且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明： 1时，求f(x)的单调区间和极值.（2）若对于任意xe,e2，都有f(x)4lnx成立，求k的取值范围 ；（3）若x1x2,且f(x1)=f(x

7、2),证明：x1x21,所以f(x)=lnx-k0,函数f(x)的单调递增区间是(1,+)，无单调递减区间,无极值；当k0时，令lnx-k=0,解得x=ek，当1xek时，f(x)ek,f(x)0所以函数f(x)的单调递减区间是(1,ek)，单调递增区间是(ek,+)，在区间(1,+)上的极小值为f(ek)=(k-k-1)ek=-ek,无极大值 由题意，f(x)-4lnx0,即问题转化为(x-4)lnx-(k+1)x(x-4)lnxx对于xe,e2恒成立,令g(x)=(x-4)lnxx,则g(x)=4lnx+x-4x2,令t(x)=4lnx+x-4,xe,e2,则t(x)=4x+10,所以t(

8、x)在区间e,e2上单调递增,故t(x)min=t(e)=e-4+4=e0,故g(x)0,所以g(x)在区间e,e2上单调递增,函数g(x)max=g(e2)=2-8e2要使k+1(x-4)lnxx对于xe,e2恒成立,只要k+1g(x)max,又f(x1)=f(x2),即证f(x1)f(e2kx1),构造函数h(x)=f(x)-f(e2kx)=(lnx-k-1)x-(lne2kx-k-1)e2kx,来源:即h(x)=xlnx-(k+1)x+e2k(lnxx-k-1x2),x(0,ek)来源:h(x)=lnx+1-(k+1)+e2k(1-lnxx2+k-1x2)=(lnx-k)(x2-e2k)

9、x2,因为x(0,ek),所以lnx-k0,x20,所以函数h(x)在区间(0,ek)上单调递增,故h(x)h(ek),而h(ek)=f(ek)-f(e2kek)=0,故h(x)0,所以f(x1)f(e2kx1),即f(x2)=f(x1)f(e2kx1),所以x1x2e2k成立点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题

10、，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会%网已知函数()求的单调区间；（）设极值点为，若存在，且，使，求证：【答案】（1）增区间为： 减区间为： ；（2）见解析.试题解析：（） 的定义域为，由得: 由得增区间为： 由得减区间为： （）要证，只需证由（）知在上为增函数， 在上是增函数， ，即又成立，即已知函数.(1)求的单调区间；(2)若函数， 是函数的两个零点， 是函数的导函数，证明： .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据导函数是否变号进行讨论，当时， ， 递增，当时，导函数有一零点，导函数先正后负，故得增区间为，减区间为

11、；（2）利用分析法先等价转化所证不等式：要证明，只需证明 ，即证明，即证明，再令，构造函数，利用导数研究函数单调性，确定其最值： 在上递增，所以，即可证得结论.学#综上：当时， 的单调增区间为，单调减区间为当时， 的单调增区间为 即证明，即证明 令，则则， 在上递减， ，在上递增， 所以成立，即来源:点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.已知函数与的图象关于直线对

12、称.（1）不等式对任意恒成立，求实数的最大值；（2）设在内的实根为， ，若在区间上存在，证明： .【答案】（1）1（2）见解析 ：要证： ，即证： ，只要证，即证，构造函数，其中.利用导数可得 在上单调递增，即得学*试题解析：（1）由，所以，设，.由， 在上单调递增；， 在上单调递减，所以，即，所以实数的最大值为.而，故，而，从而，因此当，即单调递增.从而当时， ，即，故得证. .网已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.（1）求实数的值及函数的单调区间；（2）设函数，证明时， .【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析. 已知.（）求的单调区间；（）设，为函数的两个

13、零点，求证：.【答案】（）见解析； （）见解析.【解析】试题分析: （）根据导数，分类讨论，当时， ；当时， ，由得， 时， ， 时， ，即可得出单调区间；（）由（）知的单调递增区间为，单调递减区间为不妨设，由条件知，即，构造函数， 与图像两交点的横坐标为， ，利用单调性只需证#网构造函数利用单调性证明点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值

14、，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会已知函数， （）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；（）若函数存在两个极值点， ，且，证明： 【答案】（1）（2）详见解析.若，即，方程的两根为， ，当时， ，所以函数单调递减，当时， ，所以函数单调递增，不符合题意综上，若函数为定义域上的单调函数，则实数的取值范围为（）因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，即在有两个不等的实根， ，于是， 且满足， ，同理可得学#，已知函数与的图象在点处有相同的切线（）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范围；（）若函数有两个极值点，且，证

15、明：【答案】（）；（）证明过程见解析；来源:ZXXK （）由题意，函数，其定义域为，令，得，其判别式，函数有两个极值点， ，等价于方程在内有两不等实根，又，故所以，且， ，令， ，则，由于，故在上单调递减故所以，所以点睛：此题主要考查函数导数的几何意义，以及函数单调性、最值在不等式证明中的综合应用能力等有关方面的知识，属于高档题型，也是高频考点.在问题（）中根据导数几何意义建立方程组，求出函数解析式，再由题意构造函数，将问题转化为求函数的零点个数，利用导数求出函数的最值、单调区间，从而求出实数的取值范围；在问题（）中，由（）可求出函数的解析式，依据导数与极值点的关系求出参数的范围，并求出参数与极值点的关系式，根据问题构造新的函数，再用函数的单调性证明不等式成立.网 27