专题2.1 导数起源于切线曲切联系需熟练高考数学解答题压轴题突破讲义（原卷版）

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1、【题型综述】导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为yy0=f (x0)(xx0)；（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，f (x1)；来源:Z*X*X*K来源:Zxxk.Com第二步：写出过P(x1，f (x1)的切线方程为yf (x1)=f (x1)(xx1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程yf (x

2、1)=f (x1)(xx1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法（1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f (x0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f (x0)解得x0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f (x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切

3、线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f (x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程（5）在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上【典例指引】例1（2013全国新课标卷节选）已知函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y4x+2来源:（）求a，b，c，d的值来源:ZXXK例2设函数（1）当时，求函数在区间上的最小值；（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点，求证：例3已知函数在点

4、处的切线方程为来源:ZXXK求函数的解析式；若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围【新题展示】1【2019吉林一调】已知函数当时，求函数在点处的切线方程；当时，若对任意都有，求实数a的取值范围2【2019北京昌平区期末】已知函数f(x)=lnx-a()若a=-1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；()若f(x)恒成立，求实数a的取值范围来源:Z&xx&k.Com来源:Z.X.X.K3【2019浙江浙南名校联盟期末联考】设，函数.（I）证明：当时，对任意实数，直线总是曲线的切线； （）若存在实数，使得对任意且，都有，求实数的

5、最小值.4【2019河南省期末】已知函数.（1）若，曲线在点处的切线经过点，求的最小值；（2）若只有一个零点，且，求的取值范围.【同步训练】1设函数，若函数在处的切线方程为（）求实数的值；来源:Z_xx_k.Com（）求函数在上的最大值2已知函数，其导函数的两个零点为-3和0（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在区间上的最值3设函数的定义域为，若对任意，都有，则称函数为“”函数已知函数的图象为曲线，直线与曲线相切于（1）求的解析式，并求的减区间；（2）设，若对任意，函数为“”函数，求实数的最小值4已知函数（1）求的单调区间；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点

6、处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；（3）若方程为实数）有两个正实数根且，求证： 5已知函数在处的切线方程为（1）若= ，求证：曲线上的任意一点处的切线与直线和直线围成的三角形面积为定值；来源:Zxxk.Com6已知函数（）（1）若在处取得极大值，求实数的取值范围；（2）若，且过点有且只有两条直线与曲线相切，求实数的值7已知函数，（1）若直线是曲线与曲线的公切线，求；8已知函数（为常数），其图像是曲线（1）设函数的导函数为，若存在三个实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（2）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由9已知函数，（1）若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数的值；来源:Z,xx,k.Com（2）当时，若曲线与在公共点处有相同的切线，求证：点唯一；（3）若， ，且曲线与总存在公切线，求：正实数的最小值5