专题2.7 欲证不等恒成立目标调整依形式高考数学解答题压轴题突破讲义（解析版）

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1、【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策略：准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.【典例指引】例1已知函数（）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；（）当且时，试比较的大小令，则只要证明在上单调递增，又，&网显然函数在上单调递增 ，即，在上单调递增，即，当时，有例2已知函数.若函数满足下列条件：；对一切实数，不等式恒成立.()求函数的表达式；()若对，恒成立，求实数的取值范围；()求证：. ()证明：因为，所以 要证不等式成立， 即证. 因为， &网所以.

2、所以成立 例3已知函数，在定义域内有两个不同的极值点 （I）求的取值范围；（II）求证：【答案】(1) ;(2)详见解析. &网【思路引导】 (1) 函数，在定义域内有两个不同的极值点， 令即对求导，按照和分类判断单调性及极限，求出函数的极值，确定a的范围;(2)证明， 即证， ，构造函数求导判断单调性求出函数的最值，即可证明不等式成立.（II）由题意及（I）可知，即证 例4已知函数的图象在处的切线过点， .（1）若，求函数的极值点；（2）设是函数的两个极值点，若，证明： .（提示）【思路引导】（1）求导，则.又，曲线在处的切线过点利用斜率相等，可得，又，可得，则，可得函数的极值点（2）由题是

3、方程的两个根，则， ，由，可得， ，是函数的极大值， 是函数的极小值，要证，只需，计算整理可得 ，令，则，设，利用导数讨论函数的性质即可得证 【新题展示】1【2019山西晋中1月适应性考试】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.来源:Z,X,X,K【思路引导】（1）由题意，求得函数的导数， 分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）由（1）知，当时，的最大值为，从而要证等价于，即，设，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得证.【解析】（1）由题意，得， 若，恒成立，在上是增函数；若，当时，是增函数； 来源:ZXXK当时，是减函数；综上，时，在上是增函数；时，在上是增函数，在上是减函数

4、.2【2019陕西西安西北工业大学附属第一次适应性训练】已知函数，曲线在点处的切线方程为求a，b的值；2若当时，关于x的不等式恒成立，求k的取值范围【思路引导】（1）求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得切点，由，的方程，可得，的值；（2）由题意可得恒成立，即有对恒成立，求导并根据函数单调性情况进行分类讨论，最终获得k取值范围.【解析】函数，导数为，曲线在点处的切线方程为，可得，则，即有，；2当时，关于x的不等式恒成立，可得恒成立，即有对恒成立，可设，导数为，设，当时，在递增，可得，则在递增，与题设矛盾；当，可得，3【2019湖北黄冈上学期元月调研】设函数求的单调区间；当时，若对任意

5、的，都有，求实数的取值范围；证明不等式.【思路引导】 求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；问题等价于对恒成立，令，根据函数的单调性求出的取值范围，从而可得结果； 由知对任意的恒成立，令得：，累加即可证明结论【解析】，即，原不等式等价于对恒成立，令，则对恒成立，时，故所求a的范围为由知不等式对任意的和恒成立，则对任意的恒成立，令得：，2，n，再迭加即可，得4【2019福建三明期末质量检测】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：.【思路引导】(1)对函数求导，分情况讨论导函数的正负，进而得到单调性；（2）对函

6、数求导，结合极值点的概念得到，构造函数，对函数求导，得到函数单调性即可得到结果.【解析】（2）函数的定义域为，函数有两个极值点，且.由（1）知，且，则，【同步训练】1已知函数与.（1）若曲线与曲线恰好相切于点，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：. .【思路引导】（1）先求出导函数 由 ，解方程可得；（2）由 在恒成立的必要条件为得，再利用导数研究函数的单调性及最值，从而证明时，对任意 ，总有；（3）由（2）知：时，令，化简可得，再令 ，多个不等式求和，利用对数的运算法则即可的结论.试题解析：（1）先求出导函数 由 ，解方程可得. （2）令，则 ，在恒成立的必要条件为

7、.即，又当时，令，则，即，在递减，即，在恒成立的充分条件为.综上，可得：（3）设为的前n项和，则，要证原不等式，只需证：，由（2）知：时即：（当且仅当时取等号）.令，则，即：，即， 令 ，多个不等式求和，从而原不等式得证&网【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.2函数f（x）=（）求f（x）的单调区间；

8、（）若a0，求证：f（x）.【思路引导】（）求导整理可得，通过讨论a的取值可得函数的单调区间；（）由（）可得a0时，故可将问题转化为证 成立即可，构造函数，利用导数可以得到，从而证得原不等式成立。 () 由（）知在上单调递减； 在上单调递增，则 要证，即证，即证0 令，则， 由解得，由解得，在上单调递减； 在上单调递增；，&网 0成立从而成立3已知函数其中实数为常数且.（I）求函数的单调区间；（II）若函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围及所有极值之和；（III）在（II）的条件下，记分别为函数的极大值点和极小值点，求证：.【思路引导】（1）利用导数并结合实数的不同取值求解单调区间；（

9、2）由（1）可知当时函数有极值，此时 ，再根据根与系数的关系求解；（3）将问题转化为证明当时， 成立的问题，变形得即证，构造函数，利用函数的单调性证明即可。由或 由 综上所述，当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；当时， 的单调递增区间为， ，单调递减区间&网（III）由（II）知，当，. 故原不等式等价于证明当时， ，来源:ZXXK即证.设函数，则当时， .函数在区间单调递减， 由知， .即. 从而原不等式得证. &网来源:Zxxk.Com点睛：本题的解题过程需要注意以下两点：（1）分类讨论思想方法的运用，对于题目中出现的参数，要根据题意分为不同的情况去处理，在分类中要做到补充不漏；（2

10、）对于型的不等式的证明，可通过构造函数，利用函数的单调性和最值去处理，解题时要注意定义域和区间端点函数值的运用。4设函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若的图象与轴交于两点，起，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，求证.（参考知识：若，则有）【思路引导】（1）当时，求出，由 可得增区间，由可得减区间；（2）求出函数的导数，由，得到函数的单调区间，根据函数的单调性可得，从而确定的范围；（3）由题意得得，根据不等式的性质，利用分析法可以证明. （3）由题意得得，欲证即证即证，即.，得证.&网5已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当，且时，证明：.【答案】(1) 单调递减区间为，单调递增区间

11、为；(2)见解析.【思路引导】（1）令，得增区间，得减区间；（2），需证，变量集中. 6已知函数（1）求的单调递增区间；（2）当时，求证：【思路引导】（1）求出，解不等式即可得的单调增区间；（2）等价于，利用导数研究函数的单调性，证明，从而可得结果. 7已知函数（）若函数有零点，其实数的取值范围（）证明：当时，【思路引导】（1）求出函数的导数，讨论两种情况，分别研究函数的单调性，求其最值，结合函数的图象和零点定理即可求出的取值范围；（2）问题转化为，令，令，利用导数研究函数的单调性，分类讨论求出函数的最值，即可证明.试题解析：（1）函数的定义域为.由，得.当时， 恒成立，函数在上单调递增，又，

12、所以函数在定义域上有个零点.当时，则时， 时， .所以函数在上单调递减，在上单调递增.当.当，即时，又 8已知函数.（1）若在区间有最大值，求整数的所有可能取值；（2）求证：当时，.【思路引导】（1）在区间有最大值，即是在区间有极大值，求出，求出极大值点 ，令 ，从而可得结果；（2）等价于，只需证明即可.试题解析：（1）f(x)（x2x2）ex，当x2时，f(x)0，f(x)单调递增，当2x1时，f(x)0，f(x)单调递减，当x1时，f(x)0，f(x)单调递增，来源:由题知：a2a+5，得：7a2，则a6、5、4、3，&网当a6、5、4，显然符合题意，若a3时，f(2)5e2，f(2)e2

13、，f(2)f(2)，不符合题意，舍去故整数a的所有可能取值6，5，4（2）f(x)3lnxx3+(2x24x)ex+7可变为(x23x1)ex3lnxx3+7，令g(x)(x23x1)ex，h(x)=3lnxx3+7，g(x)(x2x2)ex，0x2时，g(x)0，g(x)单调递增，当x2时，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)的最大值为g(2)e2，h(x)，当0x1时，h(x)0，h(x)单调递减，当x1时，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)的最小值为h(1)8e2，g(x)的最大值小于h(x)的最小值，故恒有g(x)h(x)，即f(x)3lnxx3+(2x24x)ex+79已知函数

14、.（1）设，若，求的单调区间；（2）设，比较与的大小.来源:Z_xx_k.Com【答案】（1）的单调增区间是，单调递减区间是；（2）【思路引导】（1）由，得， ，所以的单调增区间是，单调递减区间是。（2）由，所以，即，所以证到了，就证明了，而只需证明所以构造函数，求导可解。 ，即，又，.【点睛】本题第二问是关于多元变量不等式成立问题，我们常用的方法是其中一个做变量，其余做参量，如本题以m为变量，所以构造函数，当然以n为变量也可以。另外还有常用的方法就是，当多个变量以整体形式出现时，我们也常用换元的方法，如经常等。这样多个变量就变成了一个变量问题。10函数(1)讨论的单调性；(2)若函数有两个极

15、值点，且，求证： 【思路引导】 (1) ，分类讨论，研究的符号情况，进而得到函数的单调区间;(2) 设函数有两个极值点，且， 、是的二根 ，若证成立，只需证对恒成立.设，研究其最值即可. 1) 当即，即时，时， ，即， 时， ，即 2) 当时，即，即时时， ，即或时， ，即 综上:时，在上单减，在上单增；时，在上单减，在和上单增; 时， 在上单增 (2)若函数有两个极值点，且则必是，则，则， 当时， ， ， 故，故在上单增故 对恒成立 11已知函数.（）判断函数的单调性；（）求证： .【答案】（）在和上都是增函数；（）证明见解析【思路引导】（1）先对题设条件中函数解析式进行求导，再构造函数对所

16、求得的导函数的值的符号进行判定；（2）先构造函数，再对其求导得到，求出导函数的零点，得到最小值为0，从而证得然后借助函数的单调性，分、三种情形进行分析推证，使得不等式获证。（）设，来源:来源:ZXXK则，得，在上是减函数，在上是增函数，即.当时， ，在上是增函数，即，.当时， ，在上是增函数， 12已知函数(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围；(3)设为正实数，且，求证：【答案】(1) ；（2）；（3）证明见解析.【思路引导】（1）求出导数，由题意可得代入可得，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程；（2）由函数在上为增函数，可得恒成立，既有，当时， ，求得右边函数的最小值，即可得到范围；（3）运用分析法证明，要证，只需证，即证，设，求出导数判断单调性，运用单调递增，即可得证.（3）要证，只需证，即证只需证 设，由（2）知在上是单调函数，又，来源:ZXXK所以，即成立，所以.27