专题2.9 函数图象高与低差值正负恒成立高考数学解答题压轴题突破讲义（解析版）

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1、【题型综述】数形结合好方法：对于函数与的函数值大小问题，常常转化为函数的图象在 上方（或下方）的问题解决，而函数值的大小论证则常以构造函数，即利用作差法，转化为论证恒成立问题.【典例指引】例1设函数.（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；（2）求证： .【思路引导】（1）将问题转化为不等式在上恒成立，求实数的取值范围的问题。可构造函数，经分类讨论得到恒成立时的取值范围即可。（2）先证明对于任意的正整数，不等式恒成立，即恒成立，也即恒成立，结合（1）的结论，当， 时在上成立，然后令可得成立，再令即可得不等式成立。当时，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，所以，不合题意

2、；当时，令，则当时， ，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，所以，而且仅有，不合题意.综上所求实数的取值范围是.学*（2）对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数，不等式恒成立，即恒成立，变形为恒成立，在（1）中，令， ，则得在上单调递减，所以，即，来源:Z&X&X&K令，则得成立.当时，可得.即，所以成立。学*点睛：本题难度较大，解题中连续用到了分类讨论、构造的方法。在（1）中将问题转化为不等式恒成立的问题处理，在解题中需要在对参数m分类讨论的基础上再求其值。（2）中的问题更是考查学生的观察分析问题的能力，在得到需要证明不等式成立的基础上仍需作出相应的变形，并利用上一问的结论来解

3、决，所以需要学生具有较强的想象力。例2已知函数，（为常数，其中是自然对数的底数）（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当且时，函数的图象恒在的图象上方【思路引导】（1）求出函数的导数，利用导数判断的单调性，并求出单调区间；（2）构造函数，利用导数证明在上为增函数，且求得得答案.点睛：本题考查函数导数的综合应用问题，考查数学转化思想方法与分类讨论思想思想方法，是中档题；利用导数求解函数单调性的一般步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间

4、上是减函数，对应区间为减区间.例3已知函数，为其导函数.(1) 设，求函数的单调区间；(2) 若， 设，为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标为 证明：.来源:Z*xx*k.Com【思路引导】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，得增区间，得减区间即可；（2）问题转化为证明令 来源:Zxxk.Com，根据函数单调性证明即可. (2) 法一：，故在定义域上单调递增.只需证：，即证 (*)学*注意到 不妨设. 令，则 ，从而在上单减，故， 即得(*)式. 取，则显然有， 从而，另外由三次函数的中心对称性可知，则有 .学*【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及不

5、等式证明问题.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.【新题展示】1【2019河南周口期末调研】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数的图像不在轴上方，求的取值范围.【思路引导】（1）对函数求导，分当时和当时，讨论导函数的正负，进而得到单调区间；（2）原式子等价于对任意，都有恒成立，即在上，按照第一问分的情

6、况，继续讨论导函数的正负得到原函数的单调性，进而得到函数的最值，得到结果.【解析】（2）对任意，函数的图像不在轴上方，等价于对任意，都有恒成立，即在上.由（1）知，当时，在上是增函数，又，不合题意；当时，在处取得极大值也是最大值，所以.令，所以.在上，是减函数.又，所以要使得，须，即.故的取值范围为.2【2019北京东城区高三期末】已知函数f（x）=axex-x2-2x（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）当x0时，若曲线y=f（x）在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围【思路引导】（1）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的

7、坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（2）根据题意，原问题可以转化为恒成立，设，求出的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案【解析】设，则，又由，则，则函数在区间上递减，又由，则有，若恒成立，必有，即的取值范围为3【2019山东济南外国语学校1月段模】已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）当时，的图象恒在的图象上方，求a的取值范围.【思路引导】（1）首先求出f（x）导数，分类讨论a来判断函数单调性；（2）利用转化思想 yf（x）的图象恒在yax3+x2（a1）x的图象上方，即xexaxax3+x2（a1）x对x（0，+）恒成立；即 exax2x10对x（0，+）

8、恒成立，利用函数的单调性和最值即可得到a的范围.来源:Z+xx+k.Com【解析】（ii） 当a1时，lna0，f（x）xexaxx（ex1）0恒成立，f（x）在（，+）上单调递增，无减区间； 综上，当a0时，f（x）的单调增区间是（0，+），单调减区间是（，0）；当0a1时，f（x）的单调增区间是（，lna）和（0，+），单调减区间是（lna，0）；当a1时，f（x）的单调增区间是（，+），无减区间（2）由（I）知f（x）xexax当x（0，+）时，yf（x）的图象恒在yax3+x2（a1）x的图象上方；即xexaxax3+x2（a1）x对x（0，+）恒成立；即 exax2x10对x（0，+

9、）恒成立； 记 g（x）exax2x1（x0），g（x）ex2ax1h（x）；h（x）ex2a；（i） 当时，h（x）ex2a0恒成立，g（x）在（0，+）上单调递增，g（x）g（0）0；g（x）在（0，+）上单调递增；g（x）g（0）0，符合题意； 【同步训练】1已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，若，证明：当时， 的图象恒在的图象上方；（3）证明： .【思路引导】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）时，设，求出函数的导数，利用导数性质推导出恒成立，由此能证明的图象恒在图象的上方；（3）由，设，求出函数的导数，从而，令，得，从而证明结论成立即

10、可. 点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增， 得函数单调递减；考查将问题转化为恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解，此题最大的难点在于构造法证明不等式.2已知函数.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.（参考数据： ， ）.【思路引导】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解；（2）利用参数分离法，转化为两个函数有

11、两个不同的交点即可；（3）的图象在的图象的下方，等价为对任意的， 恒成立，利用参数分离法，结合函数的单调性和导数之间的关系进行期间即可.（3）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立. 学*即对恒成立.令，则， 令，则，因为在上单调递增， ， ，且的图象在上不间断，所以存在，使得，即，则，所以当时， 单调递减；当时， 单调递增，则取到最小值 ，14分所以，即在区间内单调递增.所以，所以存在实数满足题意，且最大整数的值为.学*3已知函数 （1）当a=1时，x01，e使不等式f（x0）m，求实数m的取值范围；（2）若在区间（1，+）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围【

12、思路引导】（I）将a的值代入f（x），求出f（x）的导函数；，将x01，e使不等式f（x0）m转化为f（x）的最小值小于等于m，利用1，e上的函数递增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可（II）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出a的范围 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.4已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若在上存在一点，使得成立

13、，求的取值范围【思路引导】（1）先求函数导数，并因式分解，安装导函数是否变号进行分类讨论：当时，导函数不变号，在定义区间上单调递增；当时，导函数由负变正，单调性先减后增（2）构造差函数，结合（1）讨论单调性，确定对应最小值，解出对应的取值范围（2）由题意可知，在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值由（1）知，当，即时， 在上单调递减， ， ；当，即时， 在上单调递增， ， ；当，即时， ， ， ，此时不存在使成立，学*综上可得的取值范围是或点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出

14、参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.5已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在其定义域内为增函数，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【思路引导】（）当时，求出切点坐标，然后求出，从而求出的值即为切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程；（）先求导函数，要使在定义域（0，+）内是增函数，只需在（0，+）内恒成立，然后将分离，利用基本不等式可求出的取值范围；（III）根据g（x）在1，e上的单调性求出其值域，然后根据（II）可求出的最大值，要使在1，e上至少存在一点x0，使得成立，只需，x

15、1，e，然后建立不等式，解之即可求出的取值范围解得a 实数a的取值范围是，+）学*点睛：不等式的存在问题即为不等式的有解问题，常用的方法有两个：一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可；二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理.6已知函数（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）若存在唯一整数，使得成立，求实数的取值范围【思路引导】（1）本问考查利用导数研究函数单调性，由函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，采用参变分离的方法，将问题转化为在上恒成立，设函数，于是只需满足即可，问题转

16、化为求函数的最小值；（2）存在唯一整数，使得，即，于是问题转化为存在唯一一个整数 使得函数图像在直线下方，于是可以画出两个函数图像，结合图像进行分析，确定函数在时图像之间的关系，通过比较斜率大小来确定的取值范围.实数的取值范围是.点睛：导数是高考中的高频考点，同时也是初等数学与高等数学的重要衔接.利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容，使函数内容更加丰富，更加充盈.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“恒成立”问题和“有解”问题的等价转化，可以简化解题过程.还有在求参数取值范围时，可以考

17、虑到分离参数方法或分类讨论的方法，同时数形结合也是解题时必备的工具.7已知函数（）若函数在处的切线平行于直线，求实数a的值；（）判断函数在区间上零点的个数；（）在（）的条件下，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围【思路引导】（1）利用导数的几何意义，得， ；（2）函数的零点个数等价于两个函数的交点的个数，即与的交点个数；（3）不等式能成立问题转化为函数的最值问题.（）在上存在一点，使得成立等价于函数在上的最小值小于零.， 来源:当时，即时， 在上单调递减，所以的最小值为，由可得，； 当时，即时， 在上单调递增，所以的最小值为，由可得； 当时，即时，可得的最小值为此时， 不成立. 来源:Z

18、*X*X*K综上所述:可得所求的范围是或8已知函数.（1）若，求函数的极小值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围，（ ）【思路引导】（1）求出的导函数，研究单调性，即可得到函数的极小值；（2）对参数a分类讨论，明确函数的单调区间；（3）原问题等价于在区间上存在一点，使得，即求函数的最小值即可.【思路点睛】导数为零的点不一定是极值点，导函数的变号零点才是函数的极值点；求单调区间时一定要注意函数的定义域；求最值时需要把极值和端点值逐一求出，比较即可来源:Z*xx*k.Com对于有关恒成立、存在性问题，一直是高考命题的热点，往往以全称命题或特称命题的形式

19、出现，同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进行考查，在高考中多以压轴题或压轴题中的压轴问的形式出现，常用分离参数构造函数法求解.9已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设当时，求实数的取值范围【思路引导】（1）由，分类讨论即可求解函数的单调区间；（2）设，求得，设， 则则分和两种情况讨论，得到函数的单调性，进而求解实数的取值范围.（2）设则设， 则当时，即时，对一切， 所以在区间上单调递增，所以，即，所以在区间上单调递增，所以，符合题意当时，即时，存在，使得，当时， 所以在区间上单调递减，所以当时， ，即，所以在区间上单调递减故当时，有，与题意矛盾，舍去来源:Z,xx,k.Com综上可知，实

20、数的取值范围为10已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）设函数，求函数的单调区间；来源:ZXXK（3）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围.【思路引导】（1）中求的是在x=1的切线方程，所以直接出函数在x=1的导数，和切点即可解决。（2）求单调性区间，先注意定义域，再求导数等于0的根，一般对于含参的问题，我们先看是否能因式分解。（3）存在成立，先变形为，从而构造函数在上的最小值.同时注意第（2）问己求对本问的应用。（3）由题意可知，在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值.由第（2）问，当，即时， 在上单调递减，所以，所以，因为，所以；当，即时， 在上单

21、调递增，所以，所以；当，即时， ，因为，所以，所以，此时不存在使得成立.11已知函数f(x)=lnx，h(x)=ax(a为实数).（1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数m，使得对任意的都有函数的图象在函数图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由（）【思路引导】（）函数与无公共点转化为方程在无解，令，得出是唯一的极大值点，进而得到，即可求解实数取值范围；（）由不等式对恒成立，即对恒成立， 令，则，再令，转化为利用导数得到函数的单调性和极值，即可得出结论. 当且仅当故实数的取值范围为 则取到最小值 ，来源:Z#X#X#K ，即在区间内单调递增 ， 存在实数满足题意，且最大整数的值为.25