专题5.2 解析几何与平面向量相结合问题高考数学选填题压轴题突破讲义(原卷版)
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1、一方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份,平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势.平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理,目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算.或者考虑向量运算的几何意义,利用其几何意义解决有关问题.二解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件,化解解析几何中的垂直问题【例1】【河北省石家庄市2019届高三3月检测】已知双曲线的左,右焦点分别是,若双曲线右支上存在一点,使(为坐标原点),且,则实数的值为( )ABCD【指点迷津】由向量加法法则结合三角形中位线性质,可得MF1F2是以为F1F2斜边
2、的直角三角形由此设运用勾股定理算出与,得到结论【举一反三】1.【山东省济南市2019届高三3月模拟】设,分别是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于,两点,且,则椭圆的离心率为( )ABCD2.已知双曲线的右顶点为,抛物线的焦点为若在的渐近线上存在点,使得,则的离心率的取值范围是 ( )A B C D 【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用,抛物线基本性质的应用,向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用,属于中档题,首先可画一张草图,分析其中的几何关系,然后将系用代数形式表示出来,即可得到一个一元二次方程,若要使得一元二次方程有实数解, ,水到渠成,即可得到答案,因此将几何关系
3、转化成方程是解题的关键类型二 利用向量平行的充要条件,灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】过双曲线(,)的右焦点作圆的切线,切点为直线交抛物线于点,若(为坐标原点),则双曲线的离心率为( )A B C D 【指点迷津】本题主要考查利用抛物线及双曲线的定义、双曲线的简单性质求双曲线的离心率,属于中档题求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于的等式,从而求出的值本题是利用点
4、到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式,最后解出的值【举一反三】1.【江西省上饶市2019届高三二模】设抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于、两点,满足,若,则( )ABCD2.已知为双曲线上不同三点,且满足(为坐标原点),直线的斜率记为,则的最小值为( )A 8 B 4 C 2 D 1【指点迷津】涉及到的知识点有平面向量共线定理,直线斜率的计算公式,基本不等式等 首先得出原点为线段AB的中点,再求出直线PA,PB斜率的表达式, 算出为定值,再由基本不等式求出最小值类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程【例3】已知对任意平面向量,把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量,叫做把点
5、绕点逆时针方向旋转角得到点设平面内曲线上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线,则原来曲线的方程是( )A B C D 【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容,是高考命题的热点和重点主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维,属于较高的能力考查求轨迹方程常用的方法有:直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式,然后根据相关点法可以求出点的轨迹方程【举一反三】【广东省江门市2019届高考一模】直角坐标系中,已知两点,点满足,其中,且则点的轨迹方程为( )ABCD类型四 利用
6、向量相等的关系,把几何问题代数化【例4】【福建省莆田市2019届高三下学期检测】已知直线过抛物线:的焦点,交于两点,交的准线于点.若,且,则()ABCD【指点迷津】本题主要结合题意,绘制图形,利用抛物线的性质,建立方程,将几何问题代数化,计算p值.求解此类问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系 【举一反三】已知双曲线:(,)的左、右焦点分别为、,过点作圆:的切线,切点为,且直线与双曲线的一个交点满足,设为坐标原点,若,则双曲线的渐近线方程为( )A B C D 类型五 利用向
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