专题4.3 立体几何的动态问题高考数学选填题压轴题突破讲义（解析版）

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1、一方法综述立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点.究其原因，是因为学生缺乏相关素养和解决问题的策略造成的.动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特

2、点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证.二解题策略类型一 立体几何中动态问题中的角度问题例1.【四川高考题】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.【答

3、案】，当时取等号.所以，当时，取得最大值. 【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值.当点M在P处时，EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小时，点M到达点Q时，角最小，余弦值最大.【举一反三】1、【四川高考题】如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）A B C D【答案】B ，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B. 2、【广东省东莞市20

4、19届高三第二次调研】在正方体中，E是侧面内的动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是A B C D【答案】B【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，设0，1，1，0，1，1，1，设平面的法向量y，则，取，得，平面，解得，设直线与直线AB所成角为，1，直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是故选：B3、如图，已知平面，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（ ）A B C D【答案】C类型二 立体几何中动态问题中的距离问题【例2】【广西壮族自治区柳州市20

5、19届高三毕业班3月模拟】如图，在正方体中，棱长为1，点为线段上的动点（包含线段端点），则下列结论错误的是（ ）A当时，平面B当为中点时，四棱锥的外接球表面为C的最小值为D当时，平面【答案】C【解析】对于，连结，则，设到平面的距离为，则，解得，.当时，为与平面的交点平面平面，平面，平面，故A正确又由以上分析可得，当时，即为三棱锥的高，平面，所以D正确对于B，当为中点时，四棱锥为正四棱锥，设平面的中心为，四棱锥的外接球为，所以，解得，故四棱锥的外接球表面积为，所以B正确对于C，连结，则，由等面积法得的最小值为，的最小值为所以C不正确故选：C.【指点迷津】求两点间的距离或其最值.一种方法，可建立坐

6、标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），求其值.【举一反三】1、【河南省焦作市2018-2019学年高三三模】在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1EEF，则|AF|的最大值为（）AB1CD2【答案】B【解析】以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z0，4，F（x，0，0），x0，4，则|AF|x（4，4，4z），（x，0，z）因为C1EEF，所以 ，即：z2+4x4z0，xz

7、当z2时，x取得最大值为1|AF|的最大值为1故选：B2.如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（ ）A21 B22 C23 D25【答案】B【解析】在上取点，使得，则面，连结，则在平面上，以所在直线为轴，以所在直线为轴，由题意可知，点轨迹为抛物线，其方程为，点坐标为，设，则（其中，当时，故3、如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为_.【答案】 类型三 立体几何中动态问题中的面积、体积问题【例3】在棱长为6的正方体

8、中，是中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ）A. 36 B. C. 24 D. 【答案】B【指点迷津】求几何体体积的最值，先观察几何图形三棱锥，其底面的面积为不变的几何量，求点P到平面BCD的距离的最大值，选择公式，可求最值.【举一反三】1、 九章算术是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，若，当阳马体积最大时，则堑堵的体积为（ ）A B C. D【答案】C2、【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017届高三下学期第一次模拟】已知矩形中， ，

9、分别是上两动点，且，把四边形沿折起，使平面平面，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3、【湖南省衡阳市2019届高三二模】如图，直角三角形，将绕边旋转至位置，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，分别为，的中点，作面，作面，连，易知点即为四面体的外接球心，.设，则，.【处理一】消元化为二次函数.【处理二】柯西不等式.所以.类型四 立体几何中动态问题中的轨迹问题【例4】如图直三棱柱中，为边长为2的等边三角形，点、分别是边、的中点，动点在四边形内部运动，并且始终有平面，则动点的轨迹长度为（

10、 ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为分别为的中点，所以，所以平面，平面，又因为,所以平面平面，要使平面，则平面，所以点的轨迹为线段，点的轨迹长度为. 故本题正确答案为.【指点迷津】由已知可知平面平面，要始终有平面，点M为定点，所以点P的轨迹为线段HF，求其长度即可.【举一反三】1、【安徽省安庆市2019届高三二模】如图，正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，一只蚂蚁从点出发沿每个侧面爬到，路线为，则蚂蚁爬行的最短路程是（）ABCD【答案】A【解析】正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为，宽为，则其对角线的长为最短程. 因此蚂蚁爬行的最短路程为. 故选:A. 2、在正方体中，已

11、知点为平面中的一个动点，且点满足：直线与平面所成的角的大小等于平面与平面所成锐二面角的大小，则点的轨迹为（ ）A直线 B椭圆 C圆 D抛物线【答案】D3、已知平面平面，且.是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为 ( )A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图1所示，则，设，易知直线与平面所的角分别为，均为锐角，类型五 立体几何中动态问题中的翻折、旋转问题【例5】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ）A. B. C. D.【答案】B.【解析】试题分析：设，设，则由题意，

12、在空间图形中，设，在中，在空间图形中，过作，过作，垂足分别为，过作，连结，则就是二面角的平面角， 在中，【举一反三】 1、【四川省宜宾市2019届高三二诊】已知棱长都为2的正三棱柱的直观图如图，若正三棱柱绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为ABCD【答案】B【解析】由题意，四个选项高都是2，若侧视图为A，中间应该有一条竖直的实线或虚线若为C，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线若为D，则长应为，而不是1故选：B2.【重庆市南开中学2019届高三三月测试】如图，在正方形中，分别为线段，上的点，将绕直线、绕直线各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线与直线所成角的最大值为_【答案】【

13、解析】由题绕直线、绕直线各自独立旋转一周，形成两个圆锥体，AB和DF成为圆锥的母线，所以无论怎么旋转，都有，利用几何体性质得：最大角是AB与BE的对称直线B和DF关于直线CD的对称直线D在同一平面内时所成角，为故答案为3.【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_.【答案】【解析

14、】三强化训练一、选择题1. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是边AA1，CC1上的中点，点M是BB1上的动点，过点E，M，F的平面与棱DD1交于点N，设BMx，平行四边形EMFN的面积为S，设yS2，则y关于x的函数yf(x)的图象大致是()ABCD【答案】A【解析】由对称性易知四边形为菱形， ， 为二次函数，开口向上，顶点为.故选：2、某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图所示圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为ABCD【答案】C【解析】根据几何体的三视图如图所示：由于

15、底面周长为8，得到，解得，所以点M到N在下底面上的射影的弧长为，把圆柱的侧面展开得到从M到N的路径中的最小值为故选：C3、如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）A动点在平面上的射影在线段上 B恒有平面平面C三棱锥的体积有最大值 D异面直线与不可能垂直【答案】D4.【河南省郑州市第一中学2019届高三上期中】在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）ABCD【答案】C【解析】解：如图所示：三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则：当时，线段达到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：

16、，则：，由于：，所以：则：为等腰三角形所以：，在中，设外接圆的直径为，则：，所以：外接球的半径，则：，故选：C5【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】在长方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】补全截面EFG为截面EFGHQR如图，其中H、Q、R分别为、的中点，易证平面ACD1平面EFGHQR，直线D1P与平面EFG不存在公共点， D1P面ACD1，D1P面ACD1，PAC，过P作AC的垂线，垂足为K，则BK=,此时BP最短，PBB1的面积最小，三角形面积的最小值为，故选：C6.【上海交通大学附属中学2019届

17、高三3月月考】如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（ ）ABCD不能确定【答案】C【解析】如图所示：PA平面ABC，PD与平面ABC所成的角=PDA,过点A作AEBC，垂足为E，连接PE，PA平面ABC，PABC，BC平面PAE，BCPE,在RtAED，RtPAD，RtPED中：cos，cos，cos，cos cos cos cos,又均为锐角， ，故选C.7如图，在等腰中，M为的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为，则二面角的大小为（）A30B60C90D120【答案】D【解析】等腰直角BC中，BBC2，M为C中点，折之前C2

18、，BMC，折之后AMCM，AMBM，CMBM，AMC是二面角CBMA的平面角，折后A，C间的距离为，由余弦定理得cosAMC，AMC二面角CBMA的大小为，即为120故选：D二、填空题8.【安徽省蚌埠市2019届高三第一次检查】如图所示，正方体的棱长为2，E，F为，AB的中点，M点是正方形内的动点，若平面，则M点的轨迹长度为_【答案】【解析】如图所示，取的中点，的中点，连接，可得：四边形是平行四边形，.同理可得：平面平面，点是正方形内的动点，若平面.点在线段上点的轨迹长度故答案为9已知正方体的棱长为，点为线段上一点，是平面上一点，则 的最小值是_；【答案】【解析】解：当取得最小时，点必定是点在

19、平面上的射影，即在上.与在二面角的两个面内，为此将绕旋转90，使得平面与平面在同一平面内，由，故当共线且与垂直时，取得最小.在平面内，因为所以，又，所以与都是等腰直角三角形，所以得到=，故的最小值为.10、【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最小值为60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】试题分析：由题意，是

20、以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由，又AC圆锥底面，在底面内可以过点B，作，交底面圆于点D，如图所示，连结DE，则DEBD，连结AD，等腰ABD中， ,当直线AB与a成60角时，故，又在中，&网过点B作BFDE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性可知 ,为等边三角形，即AB与b成60角，正确，错误.由最小角定理可知正确；很明显，可以满足平面ABC直线a，直线与所成的最大角为90，错误.正确的说法为. &网11【2019届湘赣十四校高三联考第二次考试】如图，正三棱锥的高，底面边长为4，分别在和上，且，当三棱锥体积最大时，三棱锥的内切球的半径为_【答案】【解析】设， ，当时，取得最大值，

21、此时为中点，经过点，且，所以可求，因此易求，又 ，.12【河南省六市2019届高三第一次联考】如图，是等腰直角三角形，斜边，D为直角边BC上一点不含端点，将沿直线AD折叠至的位置，使得在平面ABD外，若在平面ABD上的射影H恰好在线段AB上，则AH的取值范围是_【答案】【解析】解：在等腰中，斜边，D为直角边BC上的一点，将沿直AD折叠至的位置，使得点在平面ABD外，且点在平面ABD上的射影H在线段AB上，设，平面ABC，当时，B与D重合，当时，为直角边BC上的一点，的取值范围是故答案为：13【陕西省榆林市2019届高考模拟第三次测试】如图，是边长为2的正方形，其对角线与交于点，将正方形沿对角线

22、折叠，使点所对应点为，.设三棱锥的外接球的体积为，三棱锥的体积为，则_【答案】【解析】由题,易知三棱锥的外接球的球心为，到底面的距离为，.故答案为14【河南省洛阳市2018-2019学年高中三第二次统考】正四面体中，是的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该四面体内切球的体积为_.【答案】【解析】如下图，正方体中作出一个正四面体将正三角形和正三角形沿边展开后使它们在同一平面内，如下图：要使得最小，则三点共线，即：，设正四面体的边长为，在三角形中，由余弦定理可得：，解得：，所以正方体的边长为2，正四面体的体积为：，设四正面体内切球的半径为，由等体积法可得：，整理得：，解得：，所以该四面体内切球的体

23、积为.15【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，平面，且，现将以直线为轴旋转一周后，则直线与动直线所成角的范围_【答案】【解析】画出图像如下图所示，将平移到的位置，点在以为圆心，半径为的圆上运动.则就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，为定值，故最值由来确定，故当在处线线角最小，在处线线角最大.由于，故.而，故，所以.而，故.所以所求线线角的取值范围是.16在三棱锥中，,分别为棱和棱上的动点，则的周长范围_.【答案】【解析】三棱锥如图：把三棱锥ABCD的侧面展开如图，, B,A,共线，此时两点间的连接线即是的周长的最小值8，但此时E，F重合于A，不能构成三角形，所以取不到8由图观察，当分别在棱和棱上由A向下移动时，的长度先变小，移动至分别与AD，AC垂直时，的长度最小，再向下移动逐渐变大，所以的周长最大为=15,故答案为. 31