专题7.1 与数学文化相关的数学考题高考数学选填题压轴题突破讲义(原卷版)
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1、【方法综述】关注学生数学文化的意识的养成,努力推进数学文化的教育,已经成为当今数学教师与改革的一个重要特征,在新课改的数学命题中,数学文化已经得到足够的重视,但并没由得到应有的落实,造成数学文化教学的缺失的根本原因在于教师自身数学文化素养的缺乏,令人欣喜的是在近几年的高考试题中已经开始有意识的进行尝试和引导,在众多的经典试题中,湖北卷的数学文化题更超凡脱俗和出类拔萃,因此,我们特别策划了此专题,将数学文化与数学知识相结合,选取典型样题深度解读,希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.【解答策略】类型一、取材数学游戏 游戏可以让数学更加好玩,在游戏中运用数学知识,或蕴含着数学原理的智力
2、游戏可笼统地称为数学游戏,把数学游戏改编为高考试题,既不失数学型,又能增加了考题的趣味性,充分体现了素质教育与大众数学的理念. 例1、五位同学围成一圈依次循环报数,规定:第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;若报出的数是3的倍数,则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数,当五位同学依次循环报到第100个数时,甲同学拍手的总次数为 .【指点迷津】以数学游戏为素材的命制高考题目,创造了既宽松又竞争的环境,拉近了考生与数学的心理距离,但要注意游戏素材的选择应与考生的实际生活密切相关,便于考生更好地理解游戏.例如:2012年
3、高考湖北卷第13题“回文数”,考查排列、组合和归纳推理等知识.本题以此为背景,以简单的游戏为分析计算对象,考查学生的阅读理解能力和合情推理能力.【举一反三】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22,,11,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,99.3位回文数有90个:101,111,121,191,202,999.则()4位回文数有_个;()2n1(nN+)位回文数有_个.类型二、取材数学名著 如数学家的传记、数学演讲报告、数学讲义等,这些都是命制考题好的素材,从中选取一段有关的数学素材,突出索要考查的数学知识,在引导中学数学教学知能并重的同时,有意识地
4、培养学生的数学素养.例2、我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为,现将该金杖截成长度相等的10段,记第段的重量为,且,若,则( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【指点迷津】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式以及转化与划归思想,属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型,数列中的五个基本量,一般可以“知二求
5、三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式,并灵活应用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程.学*【举一反三】【辽宁省丹东市2019届高三测试(一)】我国明代伟大数学家程大位在算法统综中常以诗歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节三升九,上梢四节贮三升,唯有中间两节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明”意思是:九节竹的盛米容积成等差数列,其中的“三升九”指3.9升,则九节竹的中间一节的盛米容积为( )A0.9升B1升C1.1升D2.1升类型三、取材数学名题 数学名
6、题具有非凡的魅力,它常常蕴涵深刻的数学内容、经典的数学方法或与一些数学大师相关联,数学名题能持续地是命制试题的重点取材之一.例3、【江西省南昌市2019届高三第一次模】我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,第行的所有数字之和为,若去除所有为1的项,依次构成数列,则此数列的前55项和为( )A4072B2026C4096D2048【指点迷津】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行,然后令x1得到对应项的系数和,结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可【举一反三】【广西桂林市,贺州市,崇左市201
7、9年高三3月调研】2018年9月24日,英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动,黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列的各项的和,那么下列结论正确的是( )A B C D类型四、取材数学推理 数学猜想是推动数学发展的强大动力之一,是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素,也是人类理性中最富有创造性的部分,数学猜想一旦被证明,就将转化为定理,从而丰富数学理论,即使被否定或不能被证实,也常常能给数学带来不可预期的成果,数学猜想是命制考题的好素材,它包含丰富的数学知识和思想方法.例4、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如: 他们研究
8、过图1中的1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16这样的数成为正方形数.下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378【指点迷津】合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).【举一反三】【湖北省恩施州2019届高三2月检测】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的四
9、元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题:今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为( )A9B16C18D20类型五、取材数学图形 例5、一幅图胜过一千字,“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”,图形不仅包含大量信息,而且形象直观,生动绚丽,还能展示数学之美,图形是数学总要的组成部分,高考试题中自然少不了这样的试题,同时能较好的体现数学文化,甚至富有诗意的数学图形.【贵州省凯里市第一中学
10、2019届高三下学期模拟考试黄金卷二】如图,是我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积为,小正方形的面积为,直角三角形较小的锐角为,则( )ABCD【举一反三】1.中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若取,立方寸=升,则商鞅铜方升的容积约为( ) A升B升C升D升2.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三二模】牛顿迭代法亦称切线法,它是求函数零点近似解的另一种方法,若定义是函数零点近似解的初始值,过点的切线为,切线与轴交点的横坐标,即为函数零点近似解的下一
11、个初始值,以此类推,满足精度的初始值即为函数零点的近似解,设函数,满足应用上述方法,则( )ABCD类型六、取材数学文化与现代科学: 数学文化与现代科学泛指最近一段时间国内外发生的数学方面的大事,被广大媒体和公众共同关注,具有方向性和短暂性和聚焦性等特点,命题专家从一段时事材料中甄选一个角度,简明扼要的交代时事背景,抽象出数学模型,突出索要考查的数学问题,类似于文科综合卷中的时事材料,既能达到一般试题的考查效果,又能融入肥厚的数学文化,平添点滴生活气息.例6、【福建省2019届高考适应(三)】习总书记在十九大报告中指出:必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念.某市为贯彻落实十九大精神,开展植
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