专题4.3 立体几何的动态问题高考数学选填题压轴题突破讲义（原卷版）

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1、一方法综述立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点.究其原因，是因为学生缺乏相关素养和解决问题的策略造成的.动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特

2、点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证.二解题策略类型一 立体几何中动态问题中的角度问题例1.【四川高考题】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.【指

3、点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值.当点M在P处时，EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小时，点M到达点Q时，角最小，余弦值最大.【举一反三】1、【四川高考题】如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）A B C D2、【广东省东莞市2019届高三第二次调研】在正方体中，E是侧面内的动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是A B C D3、如图，已

4、知平面，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（ ）A B C D类型二 立体几何中动态问题中的距离问题【例2】【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟】如图，在正方体中，棱长为1，点为线段上的动点（包含线段端点），则下列结论错误的是（ ）A当时，平面B当为中点时，四棱锥的外接球表面为C的最小值为D当时，平面【指点迷津】求两点间的距离或其最值.一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），求其值.【举一反

5、三】1、【河南省焦作市2018-2019学年高三三模】在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1EEF，则|AF|的最大值为（）AB1CD22.如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（ ）A21 B22 C23 D253、如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为_.类型三 立体几何中动态问题中的面积、体积问题【例3】在棱长为6的正方体中，是中点，点是面所在的平面内的动点，且满

6、足，则三棱锥的体积最大值是（ ）A. 36 B. C. 24 D. 【指点迷津】求几何体体积的最值，先观察几何图形三棱锥，其底面的面积为不变的几何量，求点P到平面BCD的距离的最大值，选择公式，可求最值.【举一反三】1、 九章算术是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，若，当阳马体积最大时，则堑堵的体积为（ ）A B C. D2、【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017届高三下学期第一次模拟】已知矩形中， ， 分别是上两动点，且，把四边形沿折起，使平面平面，若折得的几何体

7、的体积最大，则该几何体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 3、【湖南省衡阳市2019届高三二模】如图，直角三角形，将绕边旋转至位置，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为（ ）ABCD类型四 立体几何中动态问题中的轨迹问题【例4】如图直三棱柱中，为边长为2的等边三角形，点、分别是边、的中点，动点在四边形内部运动，并且始终有平面，则动点的轨迹长度为（ ）A. B. C. D. 【指点迷津】由已知可知平面平面，要始终有平面，点M为定点，所以点P的轨迹为线段HF，求其长度即可.【举一反三】1、【安徽省安庆市2019届高三二模】如图，正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，一只蚂蚁从点

8、出发沿每个侧面爬到，路线为，则蚂蚁爬行的最短路程是（）ABCD2、在正方体中，已知点为平面中的一个动点，且点满足：直线与平面所成的角的大小等于平面与平面所成锐二面角的大小，则点的轨迹为（ ）A直线 B椭圆 C圆 D抛物线3、已知平面平面，且.是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为 ( )A. B. C. D. 类型五 立体几何中动态问题中的翻折、旋转问题【例5】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ）A. B. C. D.【举一反三】 1、【四川省宜宾市2019届高三二诊】已知棱长都为2的正三棱柱的直观图如图，若正三棱柱绕着它的一条侧棱

9、所在直线旋转，则它的侧视图可以为ABCD2.【重庆市南开中学2019届高三三月测试】如图，在正方形中，分别为线段，上的点，将绕直线、绕直线各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线与直线所成角的最大值为_3.【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_.三强化训练一、选择题1. 已

10、知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是边AA1，CC1上的中点，点M是BB1上的动点，过点E，M，F的平面与棱DD1交于点N，设BMx，平行四边形EMFN的面积为S，设yS2，则y关于x的函数yf(x)的图象大致是()ABCD2、某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图所示圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为ABCD3、如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）A动点在平面上的射影在线段上 B恒有平面平面C三棱锥的体积有最大值

11、D异面直线与不可能垂直4.【河南省郑州市第一中学2019届高三上期中】在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）ABCD5【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】在长方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（ ）ABCD6.【上海交通大学附属中学2019届高三3月月考】如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（ ）ABCD不能确定7如图，在等腰中，M为的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为，则二面角的大小为（）A30B60C90D120二、填

12、空题8.【安徽省蚌埠市2019届高三第一次检查】如图所示，正方体的棱长为2，E，F为，AB的中点，M点是正方形内的动点，若平面，则M点的轨迹长度为_9已知正方体的棱长为，点为线段上一点，是平面上一点，则 的最小值是_；10、【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最小值为60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）11【2019届湘

13、赣十四校高三联考第二次考试】如图，正三棱锥的高，底面边长为4，分别在和上，且，当三棱锥体积最大时，三棱锥的内切球的半径为_12【河南省六市2019届高三第一次联考】如图，是等腰直角三角形，斜边，D为直角边BC上一点不含端点，将沿直线AD折叠至的位置，使得在平面ABD外，若在平面ABD上的射影H恰好在线段AB上，则AH的取值范围是_13【陕西省榆林市2019届高考模拟第三次测试】如图，是边长为2的正方形，其对角线与交于点，将正方形沿对角线折叠，使点所对应点为，.设三棱锥的外接球的体积为，三棱锥的体积为，则_14【河南省洛阳市2018-2019学年高中三第二次统考】正四面体中，是的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该四面体内切球的体积为_.15【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，平面，且，现将以直线为轴旋转一周后，则直线与动直线所成角的范围_16在三棱锥中，,分别为棱和棱上的动点，则的周长范围_. 12