专题7.2 创新型问题高考数学选填题压轴题突破讲义（解析版）

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1、【方法综述】创新型问题主要包括：（）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）. （）创新性问题以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.【解题策略】类型一 实际应用问题【例1】【北京市西城区2019

2、届高三4月一模】团体购买公园门票，票价如下表：购票人数15051100100以上门票价格13元/人11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数_；_.【答案】70 40 【解析】990不能被13整除，两个部门人数之和：a+b51，（1）若51a+b100，则11 （a+b）990得：a+b90， 由共需支付门票费为1290元可知，11a+13b1290 解得：b1

3、50，a60，不符合题意（2）若a+b100，则9 （a+b）990，得 a+b110 由共需支付门票费为1290元可知，1a50，51b100，得11a+13b1290 ，解得：a70人，b40人，故答案为：70，40【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型【举一反三】2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入月球球为一个焦点的椭圆轨道I绕

4、月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子： 其中正确的式子的序号是（ ）A B C D 【答案】B类型二 创新性问题【例2】【四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试】定义在上的函数，单调递增，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：是在上的“追逐函数”；若是在上的“追逐函数”，则；是在上的“追逐函数”；当时，存在，使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（ ）ABCD【答案】B【解析】对于，可得，在是递增函数，若是在上的“追逐函数”；

5、则存在，使得成立，即 ，此时当k=100时，不存在，故错误；对于，若是在上的“追逐函数”，此时，解得，当时，在是递增函数，若是“追逐函数”则，即，设函数 即，则存在，所以正确；对于，在是递增函数，若是在上的“追逐函数”；则存在，使得成立，即 ，当k=4时，就不存在，故错误；对于，当t=m=1时，就成立，验证如下：，在是递增函数，若是在上的“追逐函数”；则存在，使得成立，即此时取 即，故存在存在，所以正确；故选B【指点迷津】高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类

6、比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略【例3】【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】数列的前项和为，定义的“优值”为 ，现已知的“优值”，则_.【答案】【解析】解：由2n，得a1+2a2+2n1ann2n，n2时，a1+2a2+2n2an1（n1）2n1，得2n1ann2n（n1）2n1（n+1）2n1，即ann+1，对n1时，a12也成立，所以 .【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题

7、，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.【举一反三】【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】若数列满足：对任意的且，总存在，使得 ，则称数列是“数列”现有以下四个数列：；其中是“数列”的有( )A个B个C个D个【答案】C【解析】令，则，所以数列是“数列”；令，则，所以，所以数列不是“数列”；令，则，所以，所以数列不是“数列”；令，则 ，所以数列是“数列”综上，“数列”的个数为本题选择C选项.

8、2.【江西师范大学附属中学2019高三上期末】 已知表示不超过实数的最大整数()，如：，定义，给出如下命题：使成立的的取值范围是；函数的定义域为，值域为；其中正确的命题有( )A0个B1个C2个D3个【答案】B【解析】由，所以；x,有2k，即为，令g（k）=，k, ，g（k）在（）单调递减，g（k）g（）=,又t=m+, g（）=0，即g（k）0，故f（x）在1，+）上的“追逐函数”有故选：B8【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模】定义区间，的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为（其中，为自然对数的底数），那么称这个函数为“函数”.下列

9、四个命题：函数不是“函数”；函数是“函数”，且；函数是“函数”；函数是“函数”，且.其中正确的命题的个数为（ ）A4个B3个C2个D1个【答案】B【解析】分析命题： 定义域为，函数在上是单调递增，显然这个区间没有长度，因此函数不是“函数”，故命题是真命题.分析命题：，定义域为， 当时，函数是增函数， 构造两个函数，图象如下图所示：通过图象可知当，而，即， ，所以当时，函数是增函数，增区间的长度为，又因为显然有成立，所以函数是“m函数”， 即成立，故命题是真命题.分析命题： 函数 定义域为， 显然时，此时函数是单调递增函数，增区间为，而区间没有长度，故函数不是“函数”，故命题是假命题.分析命题：

10、函数 定义域，当时，是增函数，故只需成立，是增函数，也就是成立，是增函数，构造二个函数， 如下图所示：通过图象可知：当时，而，所以.从而有时，时，函数是增函数，显然区间长度为，而所以函数是“函数”，又，即.故命题是真命题.综上所述：正确的命题的个数为3个，故本题选B.二、填空题9.【山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断】定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期若为线周期函数，则的值为_.【答案】1【解析】若为线周期函数则满足对任意，恒成立即，即则 本题正确结果：10.【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试黄金卷二

11、】如图所示，有三根和套在一根针上的片且自上而下由小到大的金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根上，每次只能移动一个金属片，且在移动过程中较大的金属片不能放在较小的金属片的上面.则把个金属片从号针全部移到号针,最少要_次【答案】31【解析】设是把个金属片从柱移到柱过程中移动金属片最少次数时,;时,小金属片柱,大金属片柱,小金属片从柱柱,完成,；时, 小金属片柱,中小金属片柱,小金属片从柱柱,用种方法把中、小两金属片移到柱,大金属片到柱;再用种方法把中、小两金属片从柱柱,完成，同样方法，依次可得：11【北京延庆区2019届高三一模】已知集合 ，集合 满足每个集合都恰有5个元素; 集合

12、中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为（），则 的最大值与最小值的和为_.【答案】96【解析】易知，当 的最大值为57.当 的最小值为39.故答案为：9612【四川省成都市2019届高三二诊】在平面直角坐标系中，定义两点，间的折线距离为，已知点,，则的最小值为_.【答案】【解析】d（O，C）|x|+|y|1，首先证明：，两边平方得到 变形为，由重要不等式，显然此不等式成立，故根据不等式的性质得到：故答案为：13【四川省成都市2019届高三二诊】在平面直角坐标系中,定义两点间的折线距离为,已知点,则的取值范围为_.【答案】【解析】d（O，C）|x|+|y|1，令 |x|=，|y|= ,

13、则|x|，|y|故故答案为：14如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB1m，AD0.5m，则五边形ABCEF的面积最大值为_m2.【答案】【解析】以O为坐标原点，AD所在直线为轴建立平面直角坐标系，设边缘线OM上一点，则，设EF与边缘线OM的切点为,因为，所以，故EF所在直线方程为，因此，其中，从而因为当时，当时，即当时取最小值，从而五边形ABCEF的面积取最大值.15【北京师范大学附属实验中学2019届高三下学期第一次质量评估】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象

14、的几何学分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a，在线段上取两个点，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：数列是等比数列；数列是递增数列；存在最小的正数，使得对任意的正整数 ，都有 ；存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有其中真命题的序号是_（请写

15、出所有真命题的序号）.【答案】【解析】由题意，得图1中线段为，即；图2中正六边形边长为，则；图3中的最小正六边形边长为，则；图4中的最小正六边形边长为，则；由此类推，所以为递增数列，但不是等比数列，即错误，正确；因为，即存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有，即正确；错误，综上可知正确的由.16【河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联考】若函数的图象存在经过原点的对称轴，则称为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有_.（填写所有正确结论的序号）；.【答案】【解析】对于中，的反函数为：，所以函数关于直线对称，故是“旋转对称函数”.对于，所以函数是偶函数，它关于轴对称，故是“旋转对称函数”.对于，当时，则函数的图像只可能关于直线对称，又，当时，这与函数的图像关于直线对称矛盾，故不是“旋转对称函数”. 18