专题4.1 复杂的三视图问题 高考数学选填题压轴题突破讲义（解析版）

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1、一方法综述三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题. 三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视

2、、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置解题时一定耐心加细心，观察准确线与线的位置关系，区分好实线和虚线的不同. 根据几何体的三视图确定直观图的方法：（1） 三视图为三个三角形，对应三棱锥；（2） 三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；（3） 三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；（4） 三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥；（5） 三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱. 对于几何体的三视图是多边形的，可构造长方体（正方体），在长方体（正方体）中去截得几何体.二解题策略类型一 构造正方体（长方体）求解【例1】【20

3、18年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.【指点迷津】正视图、侧视图是三角形，考虑底面顶点数是四，是四棱锥【举一反三】1、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D.【答案】 B【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中截得三棱锥P-ABC，其中点A为中点，所以.故选B.2、如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） 【答案】B3、【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如

4、图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）3（B）2（C）2（D）2【答案】B【解析】原几何体是四棱锥P-ABCD，如图，最长的棱长为补成的正方体的体对角线，由三视图可知正方体的棱长为2，所以该四棱锥的最长棱的长度为.故选B.&网类型二 旋转体与多面体组合体的三视图【例2】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几何体的体积是则它的表面积是( )ABCD【答案】C【解析】由已知三视图可知：该几何体的直观图是一个底面半径为，高为的圆柱内挖去一个半径为的半球，因为该几何体的体积为，所以，即，解得，所以该几何体的表

5、面积为，故选C.【指点迷津】1.三视图有两个长方形含两个虚半圆，一个圆，故知该几何体是圆柱内挖去一个半径为的半球2. 三视图有两个半圆含虚三角，想到半球有挖空部分，俯视图是一个圆含实线正方形，几何体是由半径为2的半球挖去一个正四棱锥【举一反三】1、一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A. B. C. D.1 【答案】 C 【解析】由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为121.故选C.2、一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是半径为的半圆，俯视图为圆内接一个正方形，则该几何体的体积为（ ）A B

6、 C D【答案】D【解析】分析：该几何体是由半径为2的半球挖去一个正四棱锥，四棱锥的高为2，底面为正方形，其对角线为4，分别求出2部分的体积并相减即可得到答案.解：由题意知，该几何体是由半球挖去一个正四棱锥，四棱锥的高为2，底面为正方形，其对角线为4，则该正方形边长为，故四棱锥的体积为，半球的体积为，故该几何体的体积为.故答案为D.类型三 与三视图相关的外接与内切问题【例3】已知一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，腰长为3，底边长为2，俯视图是一个半径为1的圆如图，则这个几何体的内切球的体积为A B C D【答案】A【解析】由三视图知该几何体是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为3

7、，其正视图为等腰三角形，圆锥的内切球半径等于正视图三角形内切圆半径，且内切圆的半径满足，解得，几何体的内切球体积为，故选A【指点迷津】（1）三视图的定义正确读取图中线的位置关系和数量关系.（2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割成四个小三棱锥，利用等体积法求内切球半径.（3）分析外切球球心位置，利用已知的数量，求外切圆半径.【举一反三】1、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）ABCD【答案】C【解析】由三视图可得，三棱锥为如图所示的三棱锥，其中侧面底面，在和中，取的中点，连，则为外接圆的圆心，且底面，所以球心在上设球半

8、径为，则在中，由勾股定理得，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为故选C2、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()A B. C D. 【答案】 D【解析】根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥D-ABC,其中平面ADC平面ABC,ADC为等边三角形.取AC的中点为E,连接DE、BE,则有DEAC,所以DE平面ABC,所以DEEB.由图中数据知AE=EC=EB=1,DE=,AD=2=DC=DB,AB=BC=,AC=2.设此三棱锥的外接球的球心为O,则它落在高线DE上,连接OA,则有AO2=AE2+OE2=1+OE2,AO=DO=DE-OE=-OE

9、,所以AO=,故球O的半径为,故所求几何体的外接球的表面积S=4()=,故选D.3、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A B C D类型四 与三视图相关的最值问题【例4】某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（A）2 （B）2 （C）4 （D）2【答案】 C【指点迷津】构造长方体，体对角线为已知长度的棱，长方体三个面为投影面.根据题意，用长方体的棱长表示a+b，用不等式求其最值. 【举一反三】1、

10、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则的最大值为（ ）A.32 C.64 【答案】C【解析】根据三视图可以画出该几何体的直观图如图，其中，平面，.作，且、交于点，连接，则.设，根据图中的几何关系，有，两式联立消去得，再由均值不等式，得.故选C.2、若某几何体的三视图如图所示，这个几何体中最长的棱长为 ，几何体的体积为 .【答案】，3、某三棱锥的三视图如图所示（）该三棱锥的体积为_（）该三棱椎的四个面中，最大面的面积是_【答案】 8 【解析】三棱锥的底面积，其四个面的面积分别为，面积最大为&网三强化训练一、选择题1.【山东省泰安市高三2019年3月检测】九章算术中，将底面是直角

11、三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为【答案】D【解析】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，几何体的表面积，故选：D2.【辽宁省大连市2019届高三3月测试】我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（）

12、A40B43C46D47【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面平面，底面梯形是等腰梯形，高为3 ,梯形的高为4 ,等腰梯形的高为，三个梯形的面积之和为,故选C.3.【广东省梅州市2019届高三总复习质检】九章算术给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离，用现代语言描述：在羡除中，两条平行线与间的距离为h，直线到平面的距离为，则该羡除的体积为已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为ABCD【答案】B【解析】由三视图还

13、原原几何体知，羡除中，底面ABCD是矩形，平面平面ABCD，AB，CD间的距离，如图，取AD中点G，连接EG，则平面ABCD，由侧视图知，直线EF到平面ABCD的距离为，该羡除的体积为故选：B4.【安徽省合肥市2018届高三三模】我国古代九章算术将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为A B40 C D【答案】D【解析】由三视图可知，该刍童的直观图是如图所示的六面体，图中正方体棱长为， 分别是所在正方体棱的四等分点，其表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，矩形面积为，梯形的上下底分

14、别为，梯形的高为，梯形面积为，所以该刍童的表面积为 ，故选D.5如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】通过三视图还原，可知三棱锥为如下图所示的，可通过切割长方体得到所以长方体的外接球即为三棱锥的外接球又，所以外接球半径：球的表面积为：本题正确选项：6如图，一个圆柱从上部挖去半球得到几何体的正视图，侧视图都是图1，俯视图是图2，若得到的几何体表面积为，则（ ）A3 B4C5 D6【答案】B【解析】所得几何体的表面积等于底面圆面积加上侧面积和半球表面积，即.故选.7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

15、( )A B C D【答案】D【解析】观察三视图发现：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即，下方削去半个球，故几何体的体积为：，故选D.8某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A10 B20 C30 D60【答案】A【解析】根据三视图将三棱锥P-ABC还原到长方体中,如图所示, 故选A.9一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A B C D【答案】A【解析】由题意可知几何体是一个底面半径和高都是6的圆柱，挖去一个半圆锥的几何体如图：几何体的体积为：故选：A10如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为A15 B

16、18 C22 D33【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，组合体上部为一个半径为3的半球，下部是一个圆锥，圆锥的底面半径为3.母线长为5，半球的表面积为，圆锥的侧面积为，所以该几何体的表面积为，故选D.11.榫卯（snmo）是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为（）A BC D【答案】A【解析】由三视图知该榫头是由上下两部分构成：上方为长方体（底面为边长是1的正方形，高为2），下方为圆柱（底面圆半径为2，高为2

17、）其表面积为圆柱的表面积加上长方体的侧面积，所以其体积圆柱与长方体体积之和，所以故选A12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】 B 13.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）【答案】A【解析】该几何体是由两个小三棱锥和一个圆锥组成，所以体积为，故选A.14. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为（）ABCD【答案】B【解析】结合题意，绘制图像，如图所示平面DEF的面积为，故该几何体的体积，故选B.二、填空题15.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .【答案】 16、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 【答案】