专题3.7 三点共线证法多斜率向量均可做高考数学解答题压轴题突破讲义(原卷版)
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1、专题7 三点共线证法多,斜率向量均可做【题型综述】三点共线问题证题策略一般有以下几种:斜率法:若过任意两点的直线的斜率都存在,通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线;距离法:计算出任意两点间的距离,若某两点间的距离等于另外两个距离之和,则这三点共线;向量法:利用向量共线定理证明三点共线;直线方程法:求出过其中两点的直线方程,在证明第3点也在该直线上;点到直线的距离法:求出过其中某两点的直线方程,计算出第三点到该直线的距离,若距离为0,则三点共线.面积法:通过计算求出以这三点为三角形的面积,若面积为0,则三点共线,在处理三点共线问题,离不开解析几何的重要思想:“设而不求思想”.【典例
2、指引】类型一 向量法证三点共线例1 (2012北京理19)(本小题共14分)已知曲线:()()若曲线是焦点在轴上的椭圆,求的取值范围;()设=4,曲线与轴的交点为,(点位于点的上方),直线与曲线交于不同的两点,直线与直线交于点,求证:,三点共线.【解析】类型二 斜率法证三点共线例2.(2017上海模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点,设AB的中点为M,A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N(1)求直线FN与直线AB的夹角的大小;(2)求证:点B、O、C三点共线来源:ZXXK【解析】类型三 直线方程法证三点共线例3(2017贵阳二模)已知椭圆C:=1(a0
3、)的焦点在x轴上,且椭圆C的焦距为2()求椭圆C的标准方程;()过点R(4,0)的直线l与椭圆C交于两点P,Q,过P作PNx轴且与椭圆C交于另一点N,F为椭圆C的右焦点,求证:三点N,F,Q在同一条直线上【解析】类型四 多种方法证三点共线例4.(2017保定一模)设椭圆x2+2y2=8与y轴相交于A,B两点(A在B的上方),直线y=kx+4与该椭圆相交于不同的两点M,N,直线y=1与BM交于G来源:Z_xx_k.Com(1)求椭圆的离心率;(2)求证:A,G,N三点共线【解析】【扩展链接】1.给出,等于已知与的中点三点共线;2. 给出以下情形之一:;存在实数;若存在实数,等于已知三点共线;【新
4、题展示】1【2019北京首都师范大学附属中学预测】在平面直角坐标系中,点在椭圆 上,过点的直线的方程为()求椭圆的离心率;()若直线与轴、轴分别相交于两点,试求面积的最小值;()设椭圆的左、右焦点分别为,点与点关于直线对称,求证:点三点共线【思路引导】()求得椭圆C的a,b,c,运用离心率公式计算即可得到所求值;()在直线l中,分别令x0,y0,求得A,B的坐标,求得三角形OAB的面积,由P代入椭圆方程,运用基本不等式即可得到所求最小值;()讨论当x00时,P(0,1),当x00时,设点Q(m,n),运用对称,分别求得Q的坐标,运用三点共线的条件:斜率相等,即可得证2【2019广东深圳2月调研
5、】在平面直角坐标系中, 椭圆的中心在坐标原点,其右焦点为,且点 在椭圆上(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的左、右顶点分别为、是椭圆上异于,的任意一点,直线交椭圆于另一点,直线交直线于点, 求证:,三点在同一条直线上来源:【思路引导】(1)(法一)由题意,求得椭圆的焦点坐标,利用椭圆的定义,求得,进而求得的值,即可得到椭圆的标准方程;(法二)设椭圆的方程为(),列出方程组,求得的值,得到椭圆的标准方程。(2)设,直线的方程为,联立方程组,利用根与系数的关系和向量的运算,即可证得三点共线。3【2019安徽合肥一模】设椭圆 ()的左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于,两点,若椭圆的离心率为,的周长为(
6、1)求椭圆的方程;(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点,设弦,的中点分别为,证明:三点共线【思路引导】()由的周长为求得,由离心率求得,从而可得的值,进而可得结果;()易知,当直线的斜率不存在时,三点共线;当直线的斜率存在时,由点差法可得 ,即,同理可得,从而可得结论【同步训练】1已知椭圆E:+=1(a)的离心率e=,右焦点F(c,0),过点A(,0)的直线交椭圆E于P,Q两点(1)求椭圆E的方程;(2)若点P关于x轴的对称点为M,求证:M,F,Q三点共线;(3)当FPQ面积最大时,求直线PQ的方程【思路点拨】(1)由椭圆的离心率公式,计算可得a与c的值,由椭圆的几何性质可得b的
7、值,将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案;(2)根据题意,设直线PQ的方程为y=k(x3),联立直线与椭圆的方程可得(3k2+1)x218k2x+27k26=0,设出P、Q的坐标,由根与系数的关系的分析求出、的坐标,由向量平行的坐标表示方法,分析可得证明;(3)设直线PQ的方程为x=my+3,联立直线与椭圆的方程,分析有(m2+3)y2+6my+3=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),结合根与系数的关系分析用y1y2表示出FPQ的面积,分析可得答案【详细解析】2.已知椭圆C:+y2=1的左顶点为A,右焦点为F,O为原点,M,N是y轴上的两个动点,且MFNF,直线AM和AN分别与椭圆C交
8、于E,D两点()求MFN的面积的最小值;()证明;E,O,D三点共线【思路点拨】(I)F(1,0),设M(0,t1),N(0,t2)不妨设t1t2由MFNF,可得=0,化为:t1t2=1SMFN=,利用基本不等式的性质即可得出(II)A(,0)设M(0,t),由(1)可得:N(0,),(t1)直线AM,AN的方程分别为:y=x+t,y=x分别与椭圆方程联立,利用一元二次方程的根与系数的关系可得kOE,kOD只要证明kOE=kOD即可得出E,O,D三点共线【详细解析】3.已知焦距为2的椭圆W:+=1(ab0)的左、右焦点分别为A1,A2,上、下顶点分别为B1,B2,点M(x0,y0)为椭圆W上不
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