专题3.7 三点共线证法多斜率向量均可做高考数学解答题压轴题突破讲义（解析版）

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1、【题型综述】三点共线问题证题策略一般有以下几种：斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；向量法：利用向量共线定理证明三点共线；直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.【典例指引】类型一 向量法证三点共线例1 （

2、2012北京理19）（本小题共14分）已知曲线:（）()若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；()设=4，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点,直线与直线交于点，求证：，三点共线.方程为：，则，欲证三点共线，只需证，共线即成立，化简得：将代入易知等式成立，则三点共线得证。学&类型二 斜率法证三点共线例2.（2017上海模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N（1）求直线FN与直线AB的夹角的大小；（2）求证：点B、O、C三点共线kOB=，y1y2=4，kOB=kOC，点B、

3、O、C三点共线学&类型三 直线方程法证三点共线例3（2017贵阳二模）已知椭圆C：=1（a0）的焦点在x轴上，且椭圆C的焦距为2（）求椭圆C的标准方程；（）过点R（4，0）的直线l与椭圆C交于两点P，Q，过P作PNx轴且与椭圆C交于另一点N，F为椭圆C的右焦点，求证：三点N，F，Q在同一条直线上 =，即直线QN过点（1，0），又椭圆C的右焦点坐标为F（1，0），三点N，F，Q在同一条直线上学&类型四 多种方法证三点共线例4.（2017保定一模）设椭圆x2+2y2=8与y轴相交于A，B两点（A在B的上方），直线y=kx+4与该椭圆相交于不同的两点M，N，直线y=1与BM交于G（1）求椭圆的离心率

4、；（2）求证：A，G，N三点共线【扩展链接】1.给出,等于已知与的中点三点共线;2. 给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数,等于已知三点共线；【新题展示】1【2019北京首都师范大学附属中学预测】在平面直角坐标系中，点在椭圆 上，过点的直线的方程为（）求椭圆的离心率；（）若直线与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值；（）设椭圆的左、右焦点分别为，点与点关于直线对称，求证：点三点共线【思路引导】（）求得椭圆C的a，b，c，运用离心率公式计算即可得到所求值；（）在直线l中，分别令x0，y0，求得A，B的坐标，求得三角形OAB的面积，由P代入椭圆方程，运用基本不等式即可得到所求最小值；（）讨论

5、当x00时，P（0，1），当x00时，设点Q（m，n），运用对称，分别求得Q的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，即可得证【解析】（）依题意可知，所以椭圆离心率为（）因为直线与轴，轴分别相交于两点，所以来源:Zxxk.Com令，由得，则令，由得，则所以的面积因为点在椭圆 上，所以所以即，则所以当且仅当，即时，面积的最小值为（）当时，当直线时，易得，此时，因为，所以三点共线同理，当直线时，三点共线当时，设点，因为点与点关于直线对称，所以整理得解得所以点又因为，且 所以 所以点三点共线综上所述，点三点共线2【2019广东深圳2月调研】在平面直角坐标系中， 椭圆的中心在坐标原点，其右焦点为，且点 在

6、椭圆上来源:Zxxk.Com（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为、是椭圆上异于，的任意一点，直线交椭圆于另一点，直线交直线于点， 求证：，三点在同一条直线上【思路引导】（1）（法一）由题意，求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，求得，进而求得的值，即可得到椭圆的标准方程；（法二）设椭圆的方程为（），列出方程组，求得的值，得到椭圆的标准方程。（2）设，直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和向量的运算，即可证得三点共线。【解析】（1）（法一）设椭圆的方程为，一个焦点坐标为，另一个焦点坐标为，由椭圆定义可知，椭圆的方程为（法二）不妨设椭圆的方程为（），来源:Z+xx+k.Com一

7、个焦点坐标为，又点在椭圆上，联立方程，解得，椭圆的方程为（2）设，直线的方程为，由方程组消去，并整理得：，直线的方程可表示为，将此方程与直线联立，可求得点的坐标为， ，所以，又向量和有公共点，故，三点在同一条直线上3【2019安徽合肥一模】设椭圆 ()的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，若椭圆的离心率为，的周长为(1)求椭圆的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点，设弦，的中点分别为，证明：三点共线【思路引导】()由的周长为求得，由离心率求得，从而可得的值，进而可得结果；()易知，当直线的斜率不存在时，三点共线；当直线的斜率存在时，由点差法可得 ，即，同理可得，从而可

8、得结论【解析】()由题意知，又，椭圆的方程为()易知，当直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点在轴上，三点共线；当直线的斜率存在时，设其斜率为，且设联立方程得相减得，即，同理可得，所以三点共线【同步训练】1已知椭圆E：+=1（a）的离心率e=，右焦点F（c，0），过点A（，0）的直线交椭圆E于P，Q两点（1）求椭圆E的方程；（2）若点P关于x轴的对称点为M，求证：M，F，Q三点共线；（3）当FPQ面积最大时，求直线PQ的方程【思路点拨】（1）由椭圆的离心率公式，计算可得a与c的值，由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案；（2）根据题意，设直线PQ的方程为y=k（

9、x3），联立直线与椭圆的方程可得（3k2+1）x218k2x+27k26=0，设出P、Q的坐标，由根与系数的关系的思路引导求出、的坐标，由向量平行的坐标表示方法，思路引导可得证明；（3）设直线PQ的方程为x=my+3，联立直线与椭圆的方程，思路引导有（m2+3）y2+6my+3=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），结合根与系数的关系思路引导用y1y2表示出FPQ的面积，思路引导可得答案（3）设直线PQ的方程为x=my+3由方程组，得（m2+3）y2+6my+3=0，学& 2.已知椭圆C：+y2=1的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，且MFNF，直线AM和AN分别

10、与椭圆C交于E，D两点（）求MFN的面积的最小值；（）证明；E，O，D三点共线【思路点拨】（I）F（1，0），设M（0，t1），N（0，t2）不妨设t1t2由MFNF，可得=0，化为：t1t2=1SMFN=，利用基本不等式的性质即可得出（II）A（，0）设M（0，t），由（1）可得：N（0，），（t1）直线AM，AN的方程分别为：y=x+t，y=x分别与椭圆方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系可得kOE，kOD只要证明kOE=kOD即可得出E，O，D三点共线【详细解析】（I）F（1，0），设M（0，t1），N（0，t2）不妨设t1t2学&MFNF，=1+t1t2=0，化为：t1t2=1S

11、MFN=1当且仅当t1=t2=1时取等号3.已知焦距为2的椭圆W：+=1（ab0）的左、右焦点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，点M（x0，y0）为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线MA1，MA2，MB1，MB2的斜率之积为（1）求椭圆W的标准方程；（2）如图所示，点A，D是椭圆W上两点，点A与点B关于原点对称，ADAB，点C在x轴上，且AC与x轴垂直，求证：B，C，D三点共线【思路点拨】（1）由c=1，a2b2=1，求得四条直线的斜率，由斜率乘积为，代入求得a和b的关系，即可求得a和b的值，求得椭圆W的标准方程；（2）设A，D的坐标，代入椭圆方程，作差法，求得直线AD的斜

12、率，由kADkAB=1，代入求得=，由kBDkBC=0，即可求证kBD=kBC，即可求证B，C，D三点共线（2）证明：不妨设点A（x1，y1），D（x2，y2），B的坐标（x1，y1），C（x1，0），A，D在椭圆上，=0，即（x1x2）（x1+x2）+2（y1y2）（y1+y2）=0，=，学&由ADAB，kADkAB=1，=1，（，）=1，=，kBDkBC=0，kBD=kBC，B，C，D三点共线学&4.给定椭圆C：+=1（ab0），称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆的“伴随圆”已知A（2，1）是椭圆G：x2+4y2=m（m0）上的点（）若过点P（0，）的直线l与椭圆G有且只有一个公共点，

13、求直线l被椭圆G的“伴随圆”G1所截得的弦长；（）若椭圆G上的M，N两点满足4k1k2=1（k1，k2是直线AM，AN的斜率），求证：M，N，O三点共线【思路点拨】（）将A代入椭圆方程，可得m，进而得到椭圆方程和伴椭圆方程，讨论直线l的斜率不存在和存在，设出l的方程，代入椭圆方程运用判别式为0，求得k，再由直线和圆相交的弦长公式，计算即可得到所求弦长；（）设直线AM，AN的方程分别为y1=k1（x2），y1=k2（x2），设点M（x1，y1），N（x2，y2），联立椭圆方程求得交点M，M的坐标，运用直线的斜率公式，计算直线OM，ON的斜率相等，即可得证5.已知椭圆,四点 中恰有三点在椭圆C上（

14、1）求椭圆的方程.（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于， 两点， 轴于点，点在椭圆C上，且 求证： ， 三点共线.【思路点拨】根据椭圆上的点坐标求出椭圆方程；设出， ，则， ，再向量坐标化，得到，得到，最终得到； 6.已知抛物线：（）的焦点为，点为直线与抛物线准线的交点，直线与抛物线相交于、两点，点关于轴的对称点为.（1）求抛物线的方程；（2）证明：点在直线上.【思路点拨】（1）由交点坐标可得，求得可得抛物线方程；（2）设直线的方程为（），代入抛物线方程消去x整理得，再设，进而得，可得直线的方程为，又，故BD方程化为，令，得，即结论成立。【详细解析】（1）依题意知，解得，学&所以抛物

15、线的方程.（2）设直线的方程为（）， 7.已知椭圆： 的离心率与双曲线： 的离心率互为倒数，且经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，已知是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且与交于点， 为坐标原点，求证： 三点共线【思路点拨】(1)由二者离心率互为倒数以及椭圆经过点，建立关于a，b，c的方程组从而得到椭圆的标准方程；（2）因为线段线段的中垂线的斜率为，所以线段所在直线的斜率为，线段所在直线的方程为，联立方程可得，利用韦达定理得到弦的中点的坐标，所以，所以点在定直线上，而两点也在定直线上，所以三点共线【详细解析】（1）因为双曲线： 的离心率，学&而椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，所以

16、椭圆的离心率为，设椭圆的半焦距为，则.又椭圆经过点，所以.，联立，解得.所以椭圆的标准方程为. 来源:8.设椭圆C：+=1（ab0）的右焦点为F1，离心率为，过点F1且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆C的方程；（2）若y2=4x上存在两点M，N，椭圆C上存在两个点P，Q，满足：P，Q，F1三点共线，M，N，F1三点共线且PQMN，求四边形PMQN的面积的最小值【思路点拨】（1）由题意可知：a=b2，a=c及a2=b2c2，即可求得a和b的值，求得椭圆的标准方程；（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x1）（k0）

17、联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值由弦长公式|PQ|=，四边形PMQN的面积S=|MN|PQ|=，令1+k2=t，（t1），则S=4（1+）4，S4，综上可知：四边形PMQN的面积的最小值4学&9.已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点（I）若直线l1的倾斜角为，求ABM的面积S的值；（）过点B作直线BNl于点N，证明：A，M，N三点共线【思路点拨】（I）由题意，直线l1的x=y+1，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式即可求得ABM的面积S的值；（）直线y

18、=k（x1），代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得kAM=kMN，A，M，N三点共线 10.已知椭圆C：=1（ab0）的长轴长为2，且椭圆C与圆M：（x1）2+y2=的公共弦长为（1）求椭圆C的方程（2）经过原点作直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，ADx轴于点D，点E在椭圆C上，且，求证：B，D，E三点共线.【思路点拨】（1）由题意得，由椭圆C与圆M：的公共弦长为，其长度等于圆M的直径，得椭圆C经过点，由此能求出椭圆C的方程（2）设A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，y1），D（x1，0）利用点差法求出，从而求出kABkAE=1，进而求出kBE=kBD，

19、由此能证明B，D，E三点共线【详细解析】（1）由题意得，则由椭圆C与圆M：的公共弦长为，其长度等于圆M的直径，即又=，所以kABkAE=1，即，所以所以又=，所以kBE=kBD，所以B，D，E三点共线11.已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，且过点（1，），椭圆C的右焦点为A，点B的坐标为（，0）（）求椭圆C的方程；（）已知纵坐标不同的两点P，Q为椭圆C上的两个点，且B、P、Q三点共线，线段PQ的中点为R，求直线AR的斜率的取值范围【思路点拨】（）由椭圆的离心率为，且过点（1，），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（）依题意直线PQ过点（，0），且斜率不为0，设其方程为x=my

20、+，联立，得4（3m2+4）y2+12my45=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线AR的斜率的取值范围（）依题意直线PQ过点（，0），且斜率不为0，故可设其方程为x=my+，联立，消去x，得4（3m2+4）y2+12my45=0，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x0，y0），直线AR的斜率为k，故，k=，当m=0时，k=0，当m0时，k=，故|4m+|=4|m|+，0，0|k|，且k0，综上所述，直线AR的斜率的取值范围是12.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，抛物线E：x2=4y的焦点是椭圆C的一个顶点（）求椭圆C的方程；（）若

21、A，B分别是椭圆C的左、右顶点，直线y=k（x4）（k0）与椭圆C交于不同的两点M，N，直线x=1与直线BM交于点P来源:ZXXK（i）证明：A，P，N三点共线；（ii）求OMN面积的最大值【思路点拨】（）由题意知a=2，b=1，c=，即可；（）（i）将直线y=k（x4）（k0）代入椭圆C得：（1+4k2）x232k2x+64k24=0则M（x1，k（x14），N（x2，k（x24）要证A，P，N三点共线，只证明共线即可，即证明成立（ii）将直线y=k（x4）（k0）变形为x=my+4，（m=）联立得（m24）y2+8my12=0|MN|=，点O到直线MN的距离d=OMN面积S=|MN|d即可则M（x1，k（x14），N（x2，k（x24）BM的方程为：，P（1，）要证A，P，N三点共线，只证明共线即可，即证明成立即证明2x1x25（x1+x2）8=0，将代入上式显然成立A，P，N三点共线28