专题2.10 已知不等恒成立讨论单调或最值高考数学解答题压轴题突破讲义（解析版）

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1、【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：分离参数函数最值；直接化为最值分类讨论；缩小范围证明不等式；分离函数数形结合。通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。【典例指引】例1设是在点处的切线（）求的解析式；（）求证： ；（）设，其中若对恒成立，求的取值范围【思路引导】（）由导数值得切线斜率，进而得切线方程，即可求函数f（x）的解析式；（）令，求导证得；（）， 当时，由（）得 ，可得，进而得在区间上单调递增， 恒成立， 当时，可得在

2、区间上单调递增，存在，使得， ，此时不会恒成立，进而得的取值范围当时， ，故单调递减；当时， ，故单调递增 所以， ）学*所以 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） 例2函数.（）讨论的单调性；（）若且满足：对，都有，试比较与的大小，并证明.【思路引导】（1）求出， 讨论两种情况分别令可得增区间， 可得得减区间；（2）由（）知在上单调递减，在上单调递增，所以对，都有等价于，可得，令，研究其单调性，可得，进而可

3、得结果.（）当时，由得.由（）知在上单调递减，在上单调递增，所以对，都有等价于即解得；学*令，当时，单调递减；当时，单调递增；又，所以.即，所以.学*来源:Z*X*X*K例3已知函数（，为自然对数的底数）在点处的切线经过点（）讨论函数的单调性；（）若，不等式恒成立，求实数的取值范围【思路引导】 （）求出，由过点的直线的斜率为可得，讨论两种情况，分别由得增区间， 得减区间；（）原不等式等价于不等式恒成立，利用导数研究的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果.来源:（）不等式恒成立，即不等式恒成立，设，若，则，函数单调递增且不存在最小值，不满足题意；当时，由得，学*来【新题展示】1【20

4、19江苏常州上学期期末】已知函数，函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；（3）若函数对恒成立，求实数的取值范围.(是自然对数的底数，)【思路引导】（1）代入a值，求函数的导数，由导数的几何意义求得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；（2）求导数，通过讨论a的范围，求函数单调区间，结合函数单调性和函数的最值可求a的范围；（3）求g（x）解析式，求函数导数，讨论函数单调性，由函数单调性和最值可确定a的范围【解析】（1）当时，则，所以，所以切线方程为.（2），当时，恒成立，所以单调递增，因为，所以有唯一零点，即符合题意；当时，令，解得，列表如下：-0+

5、极小值由表可知，.（iii）当，即时，因为，设，则，所以单调递增，即，所以，又因为，所以，故存在，使得，所以不符题意；综上，的取值范围为.2【2019安徽江淮十校联考】已知函数为常数，e为自然对数的底数，若函数恒成立，求实数a的取值范围；若曲线在点处的切线方程为，且对任意都成立，求k的最大值，【思路引导】由题意转化为恒成立，设，求得导数和单调性，可得极值和最值，即可得到所求范围；求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得，对任意都成立，可得对恒成立，设，求得导数，设，求得导数，由零点存在定理和单调性，可得的最小值，可得k的最大值【解析】函数恒成立，即恒成立，可得恒成立，设，当时，递减；当时

6、，递增，可得处取得最小值，且，所以；的导数为，曲线在点处的切线斜率为，可得，即，又由对任意都成立，可得对恒成立，3【2019辽宁葫芦岛调研】已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）如果对任意，恒成立，求的取值范围.【思路引导】（1）将a代入，求出函数的导数，分别解f（x）0和f（x）0，求出函数的单调区间即可；（2）由原不等式移项为右侧为0的形式，构造新的函数，通过求导对a讨论，研究其增减性及最值，逐步得解【解析】(2)由f(x)x+1，得ax2+ax+1(x+1)ex即(x+1)ex-ax2-ax-10令g(x)=(x+1)ex-ax2-ax-1,则g(x)=(x+2)ex-ax-a，令F(

7、x)=g(x)=(x+2)ex-ax-a,则F(x)=(x+3)ex-a，令t(x)=F(x)=(x+3)ex-a,则t(x)=(x+4) ex，当x0时，t(x)0恒成立，从而t(x)在0,+)上单调递增,此时t(0)=3-a,F(0)=2-a,g(0)=0当a2时，t(x)t(0)=3-a0,即F(x)0所以F(x)在0,+)上单调递增所以F(x)F(0)=2-a0,即g(x)0，从而g(x)在0,+)上单调递增所以g(x)g(0)=0 即(x+1)ex-ax2-ax-10恒成立,所以当a2时合题意；当2a3时，t(x)在0,+)上单调递增,且t(x)t(0)=3-a0即F(x)0F(x)

8、=g(x)在0,+)上单调递增,又F(0)=g(0)=2-a0，必存在x1(0,+),使得x（0,x1)时，g(x)在(0,x1)上单调递减，g(x)g(0)=0，这与g(x)0在x0时恒成立矛盾，从而当23时，t(x)在0,+)上单调递增且t(0)=3-a0，必存在x2(0,+),使得x(0,x2)时，t(x)0，即F(x)0,从而F(x)=g(x)在0,+)上单调递减,F(x)F(0)=g(0)=2-a0，从而g(x)在(0,x1)上单调递减 ，g(x)3时不合题意；综上：a的取值范围是(-,2【同步训练】1已知函数. （1）当，求的图象在点处的切线方程；（2）若对任意都有恒成立，求实数的

9、取值范围.【思路引导】（1）由于是在那点，所以求导可得（2）对f(x)求导，再求导，当时，所以对和分类讨论。单调递增，当时， ，在单调递增， 恒成立；当时，存在当，使，则在单调递减，在单调递增，则当时， ，不合题意，综上，则实数的取值范围为.学&点睛：函数与导数中恒成立与存在性问题，一般是转化成最值问题，常用的两种处理方法：（1）分离参数（2）带参求导，本题采用带参求导。2已知函数， ，若曲线和曲线在处的切线都垂直于直线（）求，的值（）若时，求的取值范围【思路引导】（）根据导数的几何意义求解即可。（）由（）设，则，故只需证即可。由题意得，即，又由，得，分， ，三种情况分别讨论判断是否恒成立即可

10、得到结论。（iii）若， ，则在上单调递增，而，从而当时， 不可能恒成立，综上可得的取值范围是学&3已知函数（I）求曲线在点处的切线方程（II）求证：当时，（III）设实数使得对恒成立，求的最大值【思路引导】（I），得，又，可得在处切线方程为（II）令，求导得出的增减性，然后由得证（III）由（II）可知，当时， 对恒成立 时，令，求导，可得上单调递减，当时，F， 即当时， ，对不恒成立，可得k的最大值为2来源:Z&X&X&K（II）证明：令，学&即在时，（III）由（II）知，在时，对恒成立，点晴：本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题要证明一个不等式，我们可以先根据题意所给条件化简这个不

11、等式，如第二问的不等式，可以转化为，第三问的不等式可以转化为，划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果4已知函数（其中）在点处的切线斜率为1（1）用表示；（2）设，若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围；（3）在（2）的前提下，如果，证明： 【思路引导】（1）由题意即得；（2）在定义域上恒成立，即，由恒成立，得，再证当时， 即可；（3）由（2）知，且在单调递减；在单调递增，当时，不妨设，要证明，等价于，需要证明，令，可证得在上单调递增， 即可证得解法二：（分离变量）恒成立，分离变量可得来源:对恒成立，令，则。这里先证明，记

12、，则，易得在上单调递增，在上单调递减， ，所以。因此， ，且时，所以，实数的取值范围是。学&（3）由（2）知，且在单调递减；在单调递增， 5已知函数（）（1）若在处取到极值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）求证：当时， 【思路引导】（1）根据极值的概念得到，可得到参数值；（2）转化为函数最值问题，研究函数的单调性，分时， 时， ，三种情况讨论单调性，使得最小值大于等于0即可。（3）由（1）知令，当时， ，当时，给x赋值：2，3，4，5等，最终证得结果。试题解析：来源:Z&X&X&K（1），在处取到极值，即，经检验， 时， 在处取到极小值（3）证明：由（1）知令，当时， （当且仅

13、当时取“”），当时， 即当2，3，4， ，有 点睛：这个题目考查了导数在研究函数极值和单调性，最值中的应用，最终还用到了赋值的思想，证明不等式。其中有典型的恒成立求参的问题。一般是转化成函数最值问题，或者先变量分离，将参数和变量分离到不等号的两侧，再转化为最值问题。6已知函数， ，其中（1）若，求函数在上的值域；（2）若， 恒成立，求实数的取值范围【思路引导】（1）代入， ，从而求导，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值；（2）令，化简求导得到，再令并求导得，从而解得，使得，使在上单调递减，在上单调递增，从而可得，且，从而化简求出实数的取值范围 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（

14、1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为7已知函数（1）当时，求在区间上的最值；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，有恒成立，求的取值范围【思路引导】（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数在区间上符号变化规律，确定函数最值（2）先求导数，根据导函数符号是否变化进行分类讨论： 时， ， 时， ， 时，先负后正，最后根据导数符号对应确定单调性（3）将不等式恒成立转化为对应函数最值，由（2）得，即，整理化简得，解得的取值范围（）， 当，即时， ，在上单调递减；来源:ZXX

15、K当时， ，在上单调递增；当时，由得，或（舍去）在单调递增，在上单调递减；综上，当， 在上单调递增；当时， 在单调递增，在上单调递减；当时， 在上单调递减；（）由（）知，当时， 即原不等式等价于即整理得，又，的取值范围为点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题8已知（1）当时，求在处的切线方程；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围【思路引导】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程即可得到所求切线的方程；（2）由题意可

16、得存在x00，+），使得，设，两次求导，判断单调性，对a讨论，分和时，通过构造函数和求导，得到单调区间，可得最值，即可得到所求a的范围 所以 设， ，令， 所以在上单调递增，所以所以在单调递增，所以，所以所以，当时， 恒成立，不合题意综上，实数的取值范围为9已知函数（）（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围【思路引导】由导函数研究切线的斜率可得切线方程为来源:令，结合函数的性质分类讨论和两种情况可得实数的取值范围。（）当，即时， 在上，在上，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，由得， ，所以综上所述，的取值范围是点睛：本题考查了导数的几何意义以及利用导数判断函数单调性的知识，在处理任意性的时候要转化为最值问题，解决好最大值与最小值之间的关系，在解答过程中需要注意分类讨论10已知函数，直线的方程为（1）若直线是曲线的切线，求证：对任意成立；（2）若对任意恒成立，求实数是应满足的条件【思路引导】（1）根据切线的方程，写出斜率和截距，构造新函数，对新函数求导，得到在x（-，t）上单调递减，在x（t，+）为单调递增，即得到函数的最小值，根据函数思想得到不等式成立（2）构造新函数，对新函数求导，判断函数的单调性，针对于k的不同值，函数的单调性不同，需要进行讨论，求出函数的最小值，得到要写的条件（2）令当时， ，则在单调递增，来源:ZXXK26