北师大版2019-2020学年江西省九年级（上）第二次月考数学试卷解析版

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1、2019-2020学年江西省九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1（3分）如图，一个几何体是由两个小正方和一个圆锥构成，其俯视图是ABCD2（3分）点是反比例函数的图象上的一点，则ABC1D23（3分）用因式分解法解一元二次方程时，原方程可化为ABC D4（3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是AB且CD或5（3分）一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是ABCD6（3分）已知2是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三

2、角形的两条边长，则三角形的周长为A10B14C10或14D8或10二、填空题（本大题共6小题，每小题3，共18分）7（3分）如图，小军、小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，已知小军、小珠的身高分别为，则路灯的高为 8（3分）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 9（3分）一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有3个若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，那么可以推算出的值大约是 10（3分）如图，两根竹竿和斜靠在棱上，量得，则竹竿与的长度之比为11（3分）如图，在中，将放置

3、在平面直角坐标系中，且轴，点的横坐标为1，点的纵坐标为3，恰有一条双曲线同时经过、两点，则点的坐标是 12（3分）等腰的腰边上的高，且，则三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13（6分）用适当的方法解下列方程（1）计算：；（2）解方程；14（6分）如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，、的延长线交于点，、的延长线交于点，连接（1）求证：；（2）若正方形的边长为6，求的长15（6分）如图，晓明在墙上挂了一面镜子，调整好标杆，正好通过标杆顶部在镜子上边缘处看到标杆顶端的影子已知，求旗杆的高度16（6分）如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正

4、方形的个数，请你画出它的主视图和左视图17（6分）如图，四边形为菱形，为上一点，连接交对角线于点，并且（1）求证：；（2）若点为的中点，同时，求三角形的面积四、（本大题共3小题，每小题8分，共32分）18（8分）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为 ；（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点的横坐标再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点的纵坐标，请用树状图或表格列出点所有可能的坐标，并求出

5、点落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率19（8分）我市某楼盘准备以每平方米8000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米6480元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打9.8折销售；不打折，一次性送装修费每平方米80元试问哪种方案更优惠？20（8分）定义：如图1，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”运用：如图2，在平面直坐标系中，已知，两点

6、（1），点是点，关于直线的“等角点”；（2）若直线垂直于轴，点是点，关于直线的“等角点”，其中，求证：五、（本大题每小题9分，共18分）21（9分）如图，四边形为正方形，点坐标为，点坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过、两点（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）若点是反比例函数图象上的一点，的面积恰好等于正方形的面积，求点的坐标22（9分）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”（1）若是“准互余三角形”， ，则；（2）如图，在中，若是的平分线，不难证明是“准互余三角形”试问在边上是否存在点（异于点，使得也是“准互余三角形”？若存在，请求出的长；

7、若不存在，请说明理由（3）如图，在四边形中，且是“准互余三角形”，求对角线的长六、（本大题共12分）23（12分）已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处（）如图1，已知折痕与边交于点，连接、若与的面积比为，求边的长（）如图2，在（）的条件下，擦去折痕、线段，连接动点在线段上（点与点、不重合），动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点试问当动点、在移动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律若不变，求出线段的长度参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1（3分）如图，一个几何体是由两个小正方和一个圆锥构成，其俯

8、视图是ABCD【分析】从上面看，看到的图形为：能看到一个正方形，圆锥的俯视图是一个圆，圆心是实点，组合在一起形成下面的图形，【解答】解：俯视图为：故选：【点评】考查三视图的画法，从上面看到的图形是俯视图，能看到的轮廓线为实线，看不见的轮廓线为虚线2（3分）点是反比例函数的图象上的一点，则ABC1D2【分析】直接将点代入即可求出的值【解答】解：点是反比例函数的图象上的一点，解得：，故选：【点评】题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数3（3分）用因式分解法解一元二次方程时，原方程可化为ABC D【分析】先移项，再分解因式，即可得出选项【解答】解：

9、，故选：【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确分解因式是解此题的关键4（3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是AB且CD或【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后其出两个不等式的公共部分即可【解答】解：根据题意得且，解得且故选：【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根5（3分）一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是ABCD【分析】由题意可得，共有10可能的结果，其中从口袋中任意

10、摸出一个球是白球的有5情况，利用概率公式即可求得答案【解答】解：从装有2个黄球、3个红球和5个白球的袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中摸出的球是白球的结果有5种，从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是，故选：【点评】此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比6（3分）已知2是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则三角形的周长为A10B14C10或14D8或10【分析】先将代入，求出，则方程即为，利用因式分解法求出方程的根，分两种情况：当6是腰时，2是底边；当6是底边时，2是腰进行讨论注意两种情况都要用三

11、角形三边关系定理进行检验【解答】解：是关于的方程的一个根，解得，当6是腰时，2是底边，此时周长；当6是底边时，2是腰，不能构成三角形所以它的周长是14故选：【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验二、填空题（本大题共6小题，每小题3，共18分）7（3分）如图，小军、小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，已知小军、小珠的身高分别为，则路灯的高为3【分析】根据，得到，根据相似三角形的性质可知，即可得到结论【解答】解：如图，即，解得：答：路灯的高为【点评】本题考查了中心投影，相似

12、三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键8（3分）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为12【分析】先利用因式分解法解方程得到，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长为5，然后计算三角形的周长【解答】解：，所以，而三角形的两边长分别是3和4，所以三角形第三边的长为5，所以三角形的周长为故答案为12【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解9（3分）一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有3个若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球

13、的频率稳定在附近，那么可以推算出的值大约是15【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解【解答】解：由题意可得，解得，个故答案为15【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率关键是根据红球的频率得到相应的等量关系10（3分）如图，两根竹竿和斜靠在棱上，量得，则竹竿与的长度之比为【分析】在两个直角三角形中，分别求出、即可解决问题【解答】解：在中，在中，故答案为：【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型11（3分）如图，在中，将放置在平面直角坐标系中，且

14、轴，点的横坐标为1，点的纵坐标为3，恰有一条双曲线同时经过、两点，则点的坐标是，【分析】连结，作于，于，如图，先利用三角函数的定义得到，则设，则，再利用平行四边形的性质得到，接着计算出，然后表示出，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，解方程求出即可得到点坐标【解答】解：连结，作于，于，如图，在中，设，则，在中，四边形为平行四边形，而轴，轴，在中，点的纵坐标为3，即，整理得，解得（舍去），故答案为，【点评】本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和平行四边形的性质；会运用三角函数解三角形；理解坐标与图形性质12（3分）等腰的腰边上的高，且，则或或【分析】分两种情形分别

15、求解即可解决问题；【解答】解：如图 1 中， 当是锐角三角形，时，在中，如图 2 中， 当是钝角三角形，时，在中，如图 3 中， 当是钝角三角形，时， 设，在中，综上所述，或或故答案为或或【点评】本题考查解直角三角形、 等腰三角形的性质等知识， 解题的关键是喜欢呀分类讨论的思想思考问题， 属于中考常考题型 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13（6分）用适当的方法解下列方程（1）计算：；（2）解方程；【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂进行计算，再求出即可；（2）整理后求出的值，再代入公式求出即可【解答】解：（1）原式；（2），【点评】本题考查了特殊角的三角

16、函数值，零指数幂，负整数指数幂，解一元二次方程等知识点，能正确运用知识点进行计算是解此题的关键14（6分）如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，、的延长线交于点，、的延长线交于点，连接（1）求证：；（2）若正方形的边长为6，求的长【分析】（1）证即可得；（2）作，由正方形的边长为6且为的中点知、，再根据勾股定理得，由直角三角形性质知【解答】解：（1）四边形是正方形，；（2）如图，过点作于点，正方形的边长为6，为的中点，则，【点评】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质15（6分）如图，晓明在墙上挂了一面镜

17、子，调整好标杆，正好通过标杆顶部在镜子上边缘处看到标杆顶端的影子已知，求旗杆的高度【分析】过作分别交、于、，根据可求出、，再根据相似三角形的判定定理可得，再根据三角形的相似比解答即可【解答】解：过作分别交、于、因为，所以所以，又因为，所以，所以，即旗杆的高【点评】本题考查了相似三角形的应用，此题难度不大，解答此题的关键是作出辅助线构造出相似三角形，利用平行线的性质及相似三角形的相似比解答16（6分）如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方形的个数，请你画出它的主视图和左视图【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，3，1；左视图有

18、3列，每列小正方形数目分别为3，2，2据此可画出图形【解答】解：如图所示：【点评】本题考查几何体的三视图画法由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字17（6分）如图，四边形为菱形，为上一点，连接交对角线于点，并且（1）求证：；（2）若点为的中点，同时，求三角形的面积【分析】（1）根据菱形的对角线平分一组对角，得出，再根据，得出，然后根据等角对等边证明即可（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得【解答】（1）

19、证明：四边形是菱形，；（2）解：，点为的中点，【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键四、（本大题共3小题，每小题8分，共32分）18（8分）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点的横坐标再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点的纵坐标，请用树状图或表格列出点所有可能的坐标，并求出点落在如图所

20、示的正方形网格内（包括边界）的概率【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出点落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率；故答案为；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中点落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数为6，所以点落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率19（8分）我市某楼盘

21、准备以每平方米8000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米6480元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打9.8折销售；不打折，一次性送装修费每平方米80元试问哪种方案更优惠？【分析】（1）设出平均每次下调的百分率为，利用准备每平方米销售价格每次下调的百分率）开盘每平方米销售价格，列方程解答即可；（2）分别利用两种销售方式求出房子的优惠价，进而得出答案【解答】解：（1）设平均每次下调的百分比为，由题意

22、得：，解得：，（不合题意，舍去），所以平均每次下调的百分率为；（2）方案购房优惠：（元；方案可优惠：（元故选择方案更优惠【点评】此题考查了一元二次方程的应用，基本数量关系：准备每平方米销售价格每次下调的百分率）开盘每平方米销售价格20（8分）定义：如图1，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”运用：如图2，在平面直坐标系中，已知，两点（1），点是点，关于直线的“等角点”；（2）若直线垂直于轴，点是点，关于直线的“等角点”，其中，求证：【分析】（1）点关于直线的对称点为，由待定系数法求出直线的解析式为，当时，即可得出结果；（2）过点作直线的对

23、称点，连接，交直线于点，作于点，由点和关于直线对称，得出，证明，得出，求出，由，得出，在中，【解答】（1）解：点关于直线的对称点为，设直线的解析式为：，则，解得：，直线的解析式为：，当时，点是点，关于直线的“等角点”；（2）证明：过点作直线的对称点，连接，交直线于点，作于点，如图所示：点和关于直线对称，即：，在中，【点评】本题考查了三角函数、相似三角形的判定与性质、对称点的性质、待定系数法求直线解析式、新概念“等角点”等知识，正确理解新概念“等角点”，证明三角形相似是解题的关键五、（本大题每小题9分，共18分）21（9分）如图，四边形为正方形，点坐标为，点坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函

24、数的图象经过、两点（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）若点是反比例函数图象上的一点，的面积恰好等于正方形的面积，求点的坐标【分析】（1）先根据点和点坐标得到正方形的边长，则，于是可得到，然后利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式；（2）设，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到，然后解绝对值方程求出即可得到点坐标【解答】解：（1）点的坐标为，点的坐标为，四边形为正方形，把代入得，反比例函数解析式为，把，代入得，解得，一次函数解析式为；（2）设，的面积恰好等于正方形的面积，解得或，点坐标为或【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函

25、数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点22（9分）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”（1）若是“准互余三角形”， ，则15；（2）如图，在中，若是的平分线，不难证明是“准互余三角形”试问在边上是否存在点（异于点，使得也是“准互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由（3）如图，在四边形中，且是“准互余三角形”，求对角线的长【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明，可得，由此即可解决问题；（3）如图中，将沿翻折得到只要证明，可得，设，则有：，推出或（舍弃），再利用勾股定理求出即

26、可；【解答】解：（1）是“准互余三角形”， ，解得，故答案为：；（2）如图中，在中，是“准互余三角形”，也是“准互余三角形”，只有，可得，（3）如图中，将沿翻折得到，、共线，只有，设，则有：，或（舍弃），在中，【点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题六、（本大题共12分）23（12分）已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处（）如图1，已知折痕与边交于点，连接、若与的面积比为，求边的长（）如图2，在（）的条件下，擦去

27、折痕、线段，连接动点在线段上（点与点、不重合），动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点试问当动点、在移动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律若不变，求出线段的长度【分析】（1）先证出，再根据，得出，即可证出；根据与的面积比为，得出，设，则，由勾股定理得，求出，最后根据即可求出边的长；（2）作，交于点，求出，得出，根据，得出，根据，证出，得出，再求出，由（1）中的结论求出，最后代入即可得出线段的长度不变【解答】解：（1）如图1，四边形是矩形，由折叠可得，又，；与的面积比为，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，边的长为10；（2）作，交于点，如图2，在和中，由（1）中的结论可得：，在（1）的条件下，当点、在移动过程中，线段的长度不变，它的长度为【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形