专题1.4以三角形为背景的填空题 高考数学压轴题分项讲义(江苏专版)解析版
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1、专题一 压轴填空题第四关 以三角形为背景的填空题【名师综述】三角形在高中数学中有专题研究,即解三角形近年来,高考对三角形的命题,除充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化,主要把三角形作为载体,注重研究与函数或平面解析几何或不等式或平面向量相结合的命题思路,呈现出“综合应用,融会贯通”的特色,充分彰显三角形的交汇价值类型一 以三角形中点、线位置关系考查不等式或函数最值典例1【2019江苏如皋一模】在ABC中,D为AB的中点,若,则的最小值是_【答案】【解析】根据D为AB的中点,若,得到,化简整理得,即,根据正弦定理可得,进一步求得,所以,求导可得当时,式子取得最大值,代入求得其结果为,故答案为
2、【名师点睛】该题考查的是有关三角函数值的最值的求解问题,在解题的过程中,涉及到的知识点有向量的加减运算,向量的数量积的定义式,正弦定理,正切函数的和角公式以及诱导公式,最后应用导数研究函数的最大值,正确应用公式是解题的关键【举一反三】中,角的对边分别为,若,则外接圆面积的最小值为_【答案】【解析】由条件及正弦定理得,整理得在中,由余弦定理得,当且仅当时等号成立,设外接圆的半径为,则,故故外接圆面积的最小值为类型二 综合考查三角形中边与角关系典例2【201高考江苏卷】在中,角所对的边分别为,的平分线交与点,且,则的最小值为 【答案】9【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”
3、等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误学-【举一反三】在锐角三角形ABC中,的最小值为_【答案】25【解析】如图,不妨设CD=1,AD=m,BD=n,tanA=,tanB=,(m0,n0),tanC=-tan(A+B)=, , ,当且仅当,即 时取等号类型三 以向量数量积考查三角形有关心的性质来源:ZXXK典例3【2019江苏扬州中学10月月考】已知点在所在平面内,且则取得最大值时线段的长度是_【答案】【解析】由易得:O为的外心,且半径为3,过圆上一点引圆的切线且与AB垂直相交于E
4、点,当C为切点时,由数量积几何意义不难发现取得最大值,取AB的中点为,连接OF,此时,故答案为:【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的几何意义,考查了三角形外心的概念,考查了数形结合的思想方法,属于中档题典例4已知是锐角的外接圆圆心,则实数的值为_【答案】由正弦定理及上式得,因为,所以,所以= =【名师指点】本题考查了向量的分解、垂径定理、数量积等内容本题属于中等题【举一反三】已知正三角形ABC的边长为2,圆O是该三角形的内切圆,P是圆O上的任意一点,则的最大值为_【答案】1【解析】在正三角形ABC中,内切圆半径r21,AOBO2,AOB120,POD(0,()()2()222212cos4c
5、os1202cos1 ()max1【精选名校模拟】1【2019江苏盐城一模】在ABC中,tanA3,ABC的面积SABC1,P0为线段BC上一定点,且满足CP0BC,若P为线段BC上任意一点,且恒有,则线段BC的长为_【答案】2在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3a2-b2+3abcosC=0,则的最小值为_【答案】2【解析】,整理可得:,当且仅当时等号成立,即的最小值为2,故答案为23【2019江苏如皋调研三】如图,已知为等腰直角三角形,其中,且,光线从边上的中点出发,经,反射后又回到点(反射点分别为,),则光线经过的路径总长_【答案】【解析】以A为坐标原点,AB、AC分别
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