专题1.3以多参数为背景的填空题 高考数学压轴题分项讲义(江苏专版)解析版
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1、专题一 压轴填空题第三关 以多参数为背景的填空题【名师综述】基本不等式是C级要求,是高中数学的重要知识,高考对基本不等式的考查,主要以多元最值为背景的题型进行考查等价代换或转换是解题方法,也是解题难点类型一 代入转换例1【2019江苏南师大附中第一学期期中考】己知实数x,y,z0,4,如果x2,y2,z2是公差为2的等差数列,则的最小值为_【答案】42【解析】由于数列是递增的等差数列,故,且,故, ,而函数在上为增函数,故当时取得最大值为,所以学-【名师点睛】本小题主要考查等差数列的性质,考查含有两个绝对值符号式子的化简,考查函数求最小值的方法,属于难题【举一反三】已知xy1,y0,x0,则的
2、最小值为_【答案】类型二 放缩转换例2若不等式对任意都成立,则实数的最小值为_【答案】100【解析】由正弦定理得 因此,即的最小值为100 【名师点睛】利用三角形中三边不等关系放缩消元是解题关键【举一反三】已知,则的最小值为_【答案】类型三 分离转换例3已知且对任意的恒成立,则的最小值为_【答案】1【解析】设,则由得: ,当当时,当时,所以当时,有唯一极值,也是最小值,所以由对任意的恒成立,得,可得,因为 ,故成立,令(),当时,当时,所以当时,所以,故填例4已知正数x,y满足,那么y的最大值为【答案】 【解析】【名师点睛】运用分离变量法,将目标转化为求函数值域及解对应不等式【举一反三】已知正
3、实数a,b,c满足+=1,+=1,则实数c的取值范围是【答案】 【解析】,因为,所以 学-类型四 设参转换例5【2019安徽A10联盟】若两个锐角满足,则的最大值是_【答案】【解析】,令,则,即,当且仅当时取等号,的最大值时故填:【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用,涉及了两角和的正切公式等知识,应用了换元转化法求解;利用基本不等式求最值时,必须同时满足三个条件“一正,二定,三相等”要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误来源:例6若实数x,y满足2x2xy
4、y21,则的最大值为_【答案】 【名师点睛】引进参数不是增加元,而是巧妙消元【举一反三】设实数x,y满足y21,则3x22xy的最小值是_【答案】 46来源:【解析】由y21,得1,假设ym,yn,即mn1,则xmn,y所以3x22xy4m22n26mn26mn46(当且仅当4m22n2时取等号)类型五 构造函数转换例7【2019辽宁沈阳模拟】已知对满足的任意正实数x,y,都有,则实数a的取值范围为_【答案】(,【解析】因为正实数x,y满足,而4xy(x+y)2,代入原式得(x+y)24(x+y)50,解得x+y5或x+y1(舍去),由x2+2xy+y2axay+10可得a(x+y)(x+y)
5、2+1,即ax+y+,令t=x+y5,+),则问题转化为at+,因为函数y=t+在5,+)递增,所以ymin=5+=,所以a,故答案为:(,【名师点睛】本题考查基本不等式,考查对勾函数的单调性质,求得x+y5是关键,考查综合分析与运算的能力,属于中档题例8若实数x,y满足x24xy4y24x2y24,则当x2y取得最大值时,的值为_【答案】 2【解析】解法1:因为实数x,y满足x24xy4y24x2y24,所以(x2y)24x2y28xy4,即(x2y)24(xy1)28,所以(x2y)284(xy1)2,所以当(xy1)20时,即xy1时,x2y取得最大值,此时x,y,所以2解法2:因为实数
6、x,y满足x24xy4y24x2y24,所以(x2y)24x2y24,令x2y2cos,xysin,则(x2y)2(x2y)28xy4cos28sin,所以(x2y)24sin28sin4,所以当sin1时,(x2y)2取得最大值,此时xy1,x2y0,所以2 【名师点睛】从式子结构出发寻找函数关系,关键熟练掌握代数关系【举一反三】【2019河北廊坊一联】设正数满足,则当取得最大值时,的最大值为_【答案】4【解析】试题分析:利用基本不等式和x25xy+9y2z=0,求出z的最小值,确定取得最小值的x,y,z之间的关系,将中的x,z代换成y表示,转化成了关于的二次函数,利用二次函数的性质,即可求
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